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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第10章 第3节 变量间的相关关系与统计案例

时间:2015-04-17


走向高考 · 数学
北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十章
统计、统计案例

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r />第十章 第三节
变量间的相关关系与统计案例

第十章

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第十章

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考纲要求 1.会作两个有关联变量数据的 散点图,会利用散点图认识变量 间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想, 能根据给出的线性回归方程系数 公式建立线回归方程(线性回归方 程系数公式不要求记忆). 3.了解独立性检验(只要求 2×2列联表)的基本思想、方法及 其简单应用. 4.了解回归分析的基本思 想、方法及其简单应用. (文)5.了解条件概率和两个事 件相互独立的概念.

命题分析

本节内容为新课标中 的新增内容,主要考查线 性回归分析和独立性检验 的统计分析方法,题型多 以选择题和填空题为 主.解答题的考查形式为 线性回归方程的求法及用 回归方程进行预测. 预测2016年高考仍延 续这种考查形式,单独考 查以选择、填空形式出 现,难度不大,也可能作 为解答题中一问与其他知 识结合命题,应予以关注.
第十章 统计、统计案例

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统计、统计案例

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1.散点图

(1) 将变量所对应的点描出来,就组成了变量之间的一个
散点图. 图, 这种图为变量之间的______ (2)若两个变量x和y的散点图中,所有点看上去都在一条直

线附近波动,则称变量间是线性相关 ________的.若所有点看上去都在
某条曲线(不是一条直线 ) 附近波动,则称此相关为非线性相关 __________ 的.如果所有的点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间 是不相关的.

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2.线性回归方程
(1)最小二乘法 如果有n个点:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)可以用下面 的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度: [y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2 直线y=a+bx 就是我们要求的直 使得上式达到最小值的 _____________ 线,这种方法称为最小二乘法.

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( 2 ) 回 归 直 线 方 程 回 归 直 线 方 程
n

y=a+b x 中
n

? ?xi- x ??yi- y ? ? ?xiyi-n x y ?
i=1 i=1

b=



? ? x i- x ?
i=1

n

2

2 2 x - n x ?i i= 1

n

y - a=_ _ _ _ _ _ _ _b x

x1+x2+?+xn y1+y2+?+yn 其 中 x= ,y= n n
第十章 统计、统计案例

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3.线 性 相 关 系 数 ( 1 ) 公 式 两 个 随 机 变 量 的 数 据 分 别 为 (x1,y1)(x2,y2)?(xn,yn),则

?xiyi-n x y
i=1

n

变 量 间 线 性 相 关 系 数

r= xi2-n i=1

?

n

x

2

?yi2-n y 2
i =1

n

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(2)性质 [-1,1] ; ①r∈________
越高 ; ②|r|值越大,变量之间的线性相关程度________ 越低 . |r|越接近0,变量之间线性相关程度________ 正相关 ; ③当r>0,两个变量________

当r<0,两个变量负相关;
当r=0,两个变量线性不相关.

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4.独 立 性 检 验 设 A、 B为 两 个 变 量 , 每 一 个 变 量 都 可 以 取 两 个 值 , 变 量 A1,A2= A1 ; 变 量 B:B1,B2= B1 . 通 过 观 察 得 到 下 表 所 示 数 据 : B A A1 A2 总 计 B1 a c a+c B2 b d b+d 合 计 a+b c+d n=a+b+c+d A:

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其 中 , a表 示 变 量 示 变 量 A 取 A1, 且 变 量

A 取 A1, 且 变 量

B 取 B1 时 的 数 据 ; c表 示 变 量

b表

B 取 B2 时 的 数 据 ; d表 示 变 量

A 取 A2,

且 变 量 B 取 B1 时 的 数 据 ; 时 的 数 据 .

A 取 A2,且变量 B 取 B2

n?ad-bc?2 ? a + d + c??b+ d? χ2=__ _ _ _ _ _ _ _ b??c+ _ _ _ _??a_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

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2.706 ( 1 ) 当 χ2≤_ _ _ _ _ _ 时 , 认 为 变 量
( 2 ) 当 χ2> 2 7 .0 6 联 ; ( 3 ) 当 χ2> 3 8 .4 1

A,B 是 没 有 关 联 的 ; 的 把握 判 定 变 量 A,B 有关

90% 时 , 有 _ _ _ _ _ _ _ _

时 , 有 9 5 % 的 把 握 判 定 变 量

A,B 有 关 联 ; A,B 有 关 联 .

6.635 ( 4 ) 当 χ2> _ _ _ _ _ _ 时 , 有 9 9 % 的 把 握 判 定 变 量

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1.(教材习题改编)下面哪些变量是相关关系( A.出租车车费与行驶的里程

)

B.房屋面积与房屋价格
C.身高与体重 D.铁块的大小与质量 [答案] C [ 解析 ] A , B , D 都是函数关系,其中 A 一般是分段函 数,只有C是相关关系.

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2.废品率x%和每吨生铁成本 (元)之间的回归直线方程为 =2x+256,这表明( ) A.y与x的相关系数为2 B.y与x的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1

C.废品率每增加1%,生铁成本增加258元
D.废品率每增加1%, 生铁成本平均每吨增加2元 [答案] D

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[解 析] 相 关 系 数 是

选项 A, 回 归 直 线 中

^ ^ y=a+bx 的 系 数 叫 回 归 系 数 , B, 当 相 关 系 数 r

r,|r|≤1, 所 以 A不 正 确 ; 选 项

=1 时 所 有 点 都 在 同 一 直 线 关 系 不 一 定 是 线 性 关 系 所 以

^ ^ y=a+bx 上 反 之 亦 成 立 , 但 是 函 数 B不 正 确 , 选 项 ^ C,Δy=bΔx, 因

为 Δx=1, 所 以 Δy=2 所 以 C不 正 确 ; D 正确.

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3.(2015·石家庄调研)下列结论正确的是(

)

①函数关系是一种确定性关系;
②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的 一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 一种常用方法. A.①② C.①②④ B.①②③ D.①②③④

[答案] C
[解析] 由回归分析的方法及概念判断.
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4. 某 校 为 了 研 究 学 生 的 性 别 和 对 待 某 一 活 动 的 态 度 和 不 支 持 两 种 态 度 经 计 算 χ2=7 0 .6 9 )的 关 系 , 运 用 2×2 列 联 表 进 行 独 立 性 检 验 , ( )

(支持

, 则 所 得 到 的 统 计 学 结 论 是 : 有 ”.(

)的 把 握

认 为 “学 生 性 别 与 支 持 活 动 有 关 系 附 : P(χ2≥k0) k0 A.0 1 .% C.9 9 % 0 1 .0 0 2 7 .0 6 0 0 .5 0 3 8 .4 1

0 0 .2 5 5 0 .2 4 B.1 % D.9 9 9 .%

0 0 .1 0 6 6 .3 5

0 0 .0 1 1 0 8 .2 8

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[答案] C [解析] 因为7.069与附表中6.635最接近,所以得到的统计 学结论是:有1-0.010=0.99=99%的把握认为“学生性别与支

持该活动有关系”.

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5.下面是一个 2×2 列联表 y1 x1 x2 总计 a 12 b y2 21 25 46 总计 73 37

则表中 a、b 处的值分别为________.

[ 答案] [ 解析]

5 2 6 ,4 ∵a+21=73,∴a=52.又∵a+12=b,∴b=64.

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6. 下 列 是 某 厂

1~4 月份用水量(单 位 : 百 吨 1 4.5 2 4 3 3 4

)的一组数据,

月份 x 用水量 y

2.5

由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相 关关系,其线性回归方程是 y=-0.7x+a,则 a=______.

[ 答案]
[ 解析]

5 2 .5
- - a= y -b x =3 5 . +0 7 . ×2 5 . =5 2 .5 .

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利用散点图判断两个变量的相关关系 山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7块并排、形状大 小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x对产量y影响

的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg):
施化肥量x 棉花产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1)画出散点图; (2)判断是否具有相关关系.

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[ 思路分析 ] 量,逐一画点.

(1) 用 x 轴表示化肥施用量, y 轴表示棉花产

(2)根据散点图,分析两个变量是否存在相关关系. [ 规范解答] (1)散点图如图所示

(2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附近, 所以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系.
第十章 统计、统计案例

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[方法总结]

利用散点图判断两个变量是否有相关关系是

比较简便的方法.在散点图中如果所有的样本点都落在某一函 数的曲线上,就用该函数描述变量之间的关系.即变量之间具 有函数关系.如果所有的样本点落在某一函数的曲线 ( 不是直

线)附近,变量之间就有非线性相关关系.

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对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图
(1) ;对变量 u , v 有观测数据 (ui , vi)(i = 1,2 ,?, 10) ,得散点 图(2).由这两个散点图可以判断( )

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A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关

[答案] C
[解析] 由题图(1)可知,各点整体呈递减趋势,x与y负相 关;由题图(2)可知,各点整体呈递增趋势,u与v正相关.

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利用回归方程对总体进行估计 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过 程中记录的产量 x(t) 与对应的生产能耗 y( 吨标准煤 ) 的几组对应 数据. x 3 4 5 y 2.5 3 4 (1)请画出上表数据的散点图; 6 4.5

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线 性回归方程y=bx+a;

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(3)已知该厂技改前100t甲产品的生产能耗为90t标准煤,试 根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100t甲产品的生产能耗

比技改前降低多少t标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) [ 思路分析 ] (2) 问利用公式求 a , b 即可求出线性回归方 程.(3)问将x=100代入回归直线方程即可.

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[规 范 解 答 ]

( 1 ) 由 题 设 所 给 数 据 , 可 得 散 点 图 如 下 图 .

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( 2 ) 由 表 中 数 据 , 计 算 得 :

2 x 6, ? i =8 i=1

4

3+4+5+6 2 5 . +3+4+4 5 . x= =4 5 . ,y= =3 5 . , 4 4 已 知 ?xiyi=6 6 5 . ,
i=1 4

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所 以 , 由 最 小 二 乘 法 确 定 的 回 归 直 线 方 程 的 系 数 为 : y ?xiyi-4 x ·
i=1 4

b=

2 ?x2 i -4 x i=1

4

6 6 5 . -4×4 5 . ×3 5 . = =0 7 . , 2 8 6 -4×4 5 .

^ a= y -b x =3 5 . -0 7 . ×4 5 . =0 3 .5 . 因 此 , 所 求 的 线 性 回 归 方 程 为 y=0 7 . x+0 3 .5 .

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(3)由(2)的回归方程及技改前生产100t甲产品的生产能耗,
得 降 低 的 生 产 能 耗 为 : 90 - (0.7×100 + 0.35) = 19.65(t) 标 准 煤.

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[ 方法总结] 线 性 回 归 方 程 的 关 键 . ( 2 ) 回 归 直 线 方 程

( 1 ) 正 确 理 解 计 算

^ ^ b ,a 的 公 式 和 准 确 计 算 是 求

^ ^ ^ y=bx+a必 过 样 本 中 心 点

( x , y ).

( 3 ) 在 分 析 两 个 变 量 的 相 关 关 系 时 , 可 根 据 样 本 数 据 作 出 散 点 图 来 确 定 两 个 变 量 之 间 是 否 具 有 相 关 关 系 , 若 具 有 线 性 相 关 关 系 , 则 可 通 过 线 性 回 归 方 程 来 估 计 和 预 测 .

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某 考 察 团 对 全 国 居 民 人 均 消 费 水 平

1 0 大 城 市 的 职 工 人 均 工 资 水 平 y(千元)进 行 统 计 调 查 ,

x( 千 元 )与

y与x具 有 相 关 关 系 ,

回归方程 y = 0 6 .6 x + 1 5 .6 2 7 6 .7 5 ( 约 为(

, 若 某 城 市 居 民 人 均 消 费 水 平 为

千元), 估 计 该 城 市 人 均 消 费 额 占 人 均 工 资 收 入 的 百 分 比 ) B.7 2 % D.6 6 %

A.8 3 % C.6 7 %

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[答案] A [ 解析 ] 由 7.675 = 0.66x + 1.562 得 x = 9.2621 ,则城市居民 人均消费水平为7.675÷9.2621≈83%.

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独立性检验 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用 简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:

性别 是否需要志愿者 需要 不需要

男 40 160

女 30 270

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(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的
比例; (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者 提供帮助与性别有关? (3) 根据 (2) 的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地

区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理
由. 附:
P(χ2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

2 n ? ad - bc ? χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

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[思路分析]

第(2)问由a=40,b=30,c=160,d=270,

代入公式可求χ2,由χ2的值与6.635比较断定.第(3)问从抽样方 法说明本题综合考查了统计的知识,主要涉及抽样方法、独立 性检验等内容,知识覆盖面广,难度不大,主要体现了新课标

下数学知识的结合点,题目定位属于中档题,在解题时要抓住
样本特征,适当选择.

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[规 范 解 答 ]

( 1 ) 调 查 的 5 0 0 位 老 年 人 中 有

7 0 位 需 要 志 愿 者

提 供 帮 助 , 因 此 该 地 区 老 年 人 中 , 需 要 帮 助 的 老 年 人 的 比 例 的 7 0 估 计 值 为 5 4 % . 0 0 =1
2 5 0 0 × ? 4 0 × 2 7 0 - 3 0 × 1 6 0 ? ( 2 ) χ2= ≈9 9 .6 7 . 2 0 0 ×3 0 0 ×7 0 ×4 3 0

由 于 9 9 .6 7 > 6 6 .3 5 是 否 需 要 帮 助

, 所 以 有

9 9 % 的 把 握 认 为 该 地 区 的 老 年 人

与 性 别 有 关 .

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(3) 由 (2) 的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有
关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中 需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老

年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层
抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.

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[ 方法总结 ]

1. 独立性检验原理只能解决两个对象,每个

对象有两类属性的问题,所以对于一个实际问题,我们要首先 确定能否用独立性检验的思想加以解决. 2.进行独立性检验时,通常有以下几个步骤: ①根据数据绘制成表格;

②根据公式求出χ2值;
③比较χ2与临界值的关系; ④作出统计推断.

第十章

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通 过 随 机 询 问

1 1 0

名 性 别 不 同 的 大 学 生 是 否 爱 好 某 项 运

动,得到如下的列联表:

男 爱好 40

女 20

总计 60

20 30 50 不爱好 60 50 110 总计 2 n ? ad - bc ? 由 K2= 算得,K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

110×?40×30-20×20?2 ≈7.8. 60×50×60×50
第十章 统计、统计案例

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附 表 : P(K2≥k) k 参 照 附 表 , 得 到 的 正 确 结 论 是 A. 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 项 运 动 与 性 别 有 关 ” 0 1 .% 的 前 提 下 , 认 为 “爱 好 该 0 0 .5 0 3 8 .4 1 0 0 .1 0 6 6 .3 5 ( ) “爱 好 该 0 0 .0 1 1 0 8 .2 8

0 1 .% 的 前 提 下 , 认 为

B. 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 项 运 动 与 性 别 无 关 ”

C. 有 9 9 % 以 上 的 把 握 认 为 D. 有 9 9 % 以 上 的 把 握 认 为

“爱 好 该 项 运 动 与 性 别 有 关 “爱 好 该 项 运 动 与 性 别 无 关
第十章

” ”
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[答案] C [解析] 本小题考查内容为独立性检验.

6.635<K2=7.8<10.828,∴我们有99%的把握认为二者有
关,或者说在犯错的概率不超过1%的前提下二者有关.

第十章

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统计与概率的综合问题 从近两年高考看,以考查独立性检验,回归分析为主,多

为选择题、填空题,也可能以解答题形式考查,主要以实际问
题为背景,考查阅读理解、分析问题、解决问题的能力,在解 决一些简单实际问题的过程中考查基本的统计思想.

第十章

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电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收
视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名, 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图:

第十章

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将日均收看该体育节目时间不低于 40min 的观众称为“体

育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是 否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50min的观众称为“超级 体育迷 合计

体育迷”,已知“超级体育迷”中有2 名女性,若从“超级体
育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
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[ 规范解答 ]

(1) 由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人

中,“体育迷”为25人,从而完成2×2列联表如下:

非体育迷 男 女 合计 (3 分) 30 45 75

体育迷 15 10 25

合计 45 55 100

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将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 χ2 的观测值为
2 2 n ? n n - n n ? 100 × ? 30 × 10 - 45 × 15 ? 100 11 22 12 21 2 χ = = = 33 n1+n2+n+1n+2 75×25×45×55

≈3.030. 因为 3 0 .3 0 < 2 7 .0 6 与性别有关.(6 分) , 所 以 我 们 有 90%的把握认为“体育迷”

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(2)由频率分布直方图可知, “超级体育迷”为5名,从而 一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω={(a1,a2),(a1,a3), (a2 , a3) , (a1 , b1) , (a1 , b2) , (a2 , b1) , (a2 , b2) , (a3 , b1) , (a3,b2),(b1,b2)}

其中ai表示男性,i=1,2,3,bj表示女性,j=1,2.(9分)
Ω由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可 能的.

第十章

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用A表 示 “任 选 2人 中 , 至 少 有 则

1人 是 女 性 ”这 一 事 件 ,

A={ ( a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2)}, 事 件 A由7个 基 本 事 件 组 成 , 因 而 7 P(A)=1 1 .2 0( 分)

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答题模板: 第一步:理清题意,理解问题中的条件和结
论.尤其是直方图中给定的信息,找关键量. 第二步:由直方图确定所需的数据,列出2×2列联表. 第三步:利用独立性检验的步骤进行判断. 第四步:确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个

数.
第五步:利用概率公式求事件的概率. 第六步:反思回顾、检查关键点、易错点及答题规范.

第十章

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(2014·安徽高考)某高校共有15000人,其中男生10500人,

女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,
采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间 的样本数据(单位:小时)

(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时 间的频率分布直方图 ( 如图所示 ) ,其中样本数据的分组区间 为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生 每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
第十章 统计、统计案例

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( 3 ) 在 样 本 数 据 中 , 有

6 0 位 女 生 的 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间

超 过 4个 小 时 . 请 完 成 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 与 性 别 列 联 表 , 并 判 断 是 否 有 时 间 与 性 别 有 关 9 5 % 的 把 握 认 为 ”.
第十章 统计、统计案例

“该 校 学 生 的 每 周 平 均 体 育 运 动

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2 n ? a d - b c ? 附 : K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k0) k0

0 1 .0 2 7 .0 6

0 0 .5 3 8 .4 1

0 0 .1 0 6 6 .3 5

0 0 .0 5 7 8 .7 9

[ 解析] 数据.

( 1 ) 3 0 0

4500 ×15000=90, 所 以 应 收 集

90 位女生的样本

( 2 ) 由 频 率 分 布 直 方 图 得

1-2×( 0 1 .0 0

+0.025)=0.75, 所 以

该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小 时 的 概 率 的 估 计 值 为 0.75.
第十章 统计、统计案例

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(3) 由 (2) 知, 300 位学生中有 300×0.75 = 225 人的每周平均
体育运动时间超过 4 小时,75 人的每周平均体育运动时间不超 过4小时,又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关 于女生的,所以每周平均体充运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计 45 165 210 30 60 90 总计 75 225 300

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2 300 × ? 2250 ? 100 2 综合列联表可算得 K = = 21 75×225×210×90

≈4 7 .6 2 > 3 8 .4 1 . 所 以 , 有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动

时间与性别有关.”

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两个规律 (1)函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的

关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关
系是非随机变量与随机变量的关系. (2)当χ2≥3.841时,则有95%的握说事A与B有关; 当χ2≥6.635时,则有99%的把握说事件A与B有关; 当χ2≤2.706时,则认为没有充分理由认为事件A与B有关.

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三个注意
(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有 实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义. (2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而

来的,存在误差,这种误差会导致预报结果的偏差;而且回归
方程只适用于我们所研究的样本总体.

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课时作业
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