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2012年高考试题分类解析汇编数列

时间:2013-12-27


2012 年高考真题理科数学解析汇编:数列
一、选择题 1 . (2012 年高考(新课标理) )已知

?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?
( ) C. ?? D. ??

A. 7

B. 5

2 . (201

2 年高考(浙江理) )设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下

列命题错误 的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列
3 . ( 2012 年高考(重庆理) ) 在等差数列 {an } 中, a2





? 1, a4 ? 5 , 则 {an } 的前 5 项和 S5 =
( ) D.25

A.7

B.15

C.20

4 . ( 2012 年 高 考 ( 四 川 理 ) ) 设 函 数 f ( x) ? 2 x? cosx, {an } 是 公 差 为

? 的等差数 8
( )

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )]2 ? a1a3 ? A. 0 B.

1 2 ? 16

C. ?

1 8

2

D.

13 2 ? 16

5 . (2012 年高考(上海理) )设 an

? , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 在 S1, S2 ,?, S100 中, ?1 sin n n 25

B.50. C.75. D.100. 6 . ( 2012 年高考(辽宁理) ) 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 ? 2 3 3 4 4 5 5 7 . ( 2012 年高考(江西理) ) 观察下列各式:a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,,则 10 10 a +b = ( ) A.28 B.76 C.123 D.199 8 . (2012 年高考(湖北理) )定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等 比数列 {an } , { f (an )} 仍 是等比数列 ,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) ? (0,?? )上的如下 函 数:① f ( x) ? x2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | . ( D.② ④ )

正数的个数是 A.25.





则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③

9 . (2012 年高考(福建理) )等差数列

?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为
( ) C .3 D.4[来源:]

A.1

B.2

10. ( 2012 年高考(大纲理) ) 已知等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列
( )

? 1 ? ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
A.

100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

11. (2012 年高考(北京理) )某棵果树前 n 年得总产量 Sn 与 n 之间的

关系如图所示 , 从目前记录的结果看 , 前 m 年的年平均产量最 高, m 的值为 A.5 B.7 C . 9 D.11
12. (2012 年高考(安徽理) )公比为 3





2 等比数列 {an } 的各项都是正
( )

数 ,且 a3a11 ? 16 ,则 A. 4
二、填空题 13. (2012 年高考(新课标理) )数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)
n

B. 5

C. ?

D. ?

an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和

为_______
14. (2012 年高考(浙江理) )设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若
S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=______________.

15 . ( 2012 年 高 考 ( 上 海 春 ) )已知等差数列

{an } 的 首 项 及 公 差 均 为 正 数 , 令

bn ? an ? a2012? n (n ? N * , n ? 2012). 当 bk 是数列 {bn } 的最大项时, k ? ____.
16. (2012 年高考 (辽宁理) ) 已知等比数列

?an ? 为递增数列,且 a52 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,

则数列的通项公式 an ? ______________.
17. (2012 年高考(江西理) )设数列

?an ?,?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则

a5 ? b5 ? __________。
18. (2012 年高考 (湖南理) ) 设 N=2 (n∈N ,n≥2),将 N 个数 x1,x2,,xN 依次放入编号为 1,2,,N
n
*

的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原 顺序依次放入对应的前

N N 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为 C 变 2 2

换,将 P1 分成两段,每段 成 2 段,每段
i

N 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分 2

N 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 2i

x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 19 . ( 2012 年高考(湖北理) ) 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 . 如 22,121,3443,94249 等 . 显然 2 位回文数有 9 个 :11,22,33,,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有__________个; (Ⅱ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有_________个.
2 20 . ( 2012 年高考(广东理) ) ( 数列) 已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则

an ? ______________.
21 . ( 2012 年高考(福建理) ) 数列

?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 , 前 n 项和为 Sn , 则 2

S2012 ? ___________.
22. (2012 年高考(北京理) )已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ?

1 , S ? a3 ,则 2 2

a2 ? ________.
三、解答题 23. (2012 年高考 (天津理) ) 已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 =

b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N+ ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

24 . ( 2012 年 高 考 ( 新 课 标 理 ) ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对

边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

25. (2012 年高考(重庆理) )(本小题满分 12 分,(I)小问 5 分,(II)小问 7 分.)

设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列 ; (II)若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

26. (2012 年高考(四川理) )已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x

2

?

an 与 x 轴正半 2

轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由. 4 f (0) ? f (1)

27. (2012 年高考(四川理) )已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an

? S2 ? Sn 对一切正整

数 n 都成立. (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 大值.

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最 an

28 .( 2012

年 高 考 ( 上 海 理 )) 对 于 数 集

X ? {?1, x1, x2 , ?, xn} , 其 中

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1;

(3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通 项公式.

29. (2012 年高考(上海春) )本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 6 分. 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

30. (2012 年高考 (陕西理) ) 设

?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4

成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N? , Sk ?2 , [来源:]

Sk , Sk ?1 成等差数列.

31. (2012 年高考(山东理) )在等差数列

?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * , 将数列 ?an ? 中落入区间 (9 , 9
m 2m

) 内的项的个数记为 bm ,求数列

?bm?

的前 m 项和 Sm .

32. (2012 年高考(江西理) )已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最 2

大值为 8. (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn. 2n

2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件 33. (2012 年高考(江苏) )设集合 P …, n ? {1,
的集合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A .
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示).
34. (2012 年高考(江苏) )已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满

足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1 )设 bn ?1

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

35 .( 2012

年 高 考 ( 湖 南 理 )) 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 记 A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }

的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数
?

A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列.

36. (2012 年高考(湖北理) )已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项 和.

37. (2012 年高考(广东理) )设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n ?1 ? 1 , n ? N ,
*

且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

38. (2012 年高考(大纲理) )(注意:在试卷上作答无效 ) ........

函 数 f ( x) ?

2

x? 2 x ? .3 定 义 数 列

?xn ?

如 下 : x1 ? 2, xn?1 是 过 两 点

P( 4 , 5 Q x n ) ,n

(f n的直线 ,x ( PQ ) n)与 x 轴交点的横坐标.

(1)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式.

39. (2012 年高考(北京理) )设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数

的绝对值不大于 1,且所有数的和为零.记 S (m, n) 为所有这样的数表构成的集合. 对于 A ? S (m, n) ,记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 1 ? i ? m , c j ( A) 为 A 的第 j 列各数 之和 1 ? j ? n ; 记 k ( A) 为 | r |, | c1 ( A) |,…, | cn ( A) |中的最小值. |, | r2 ( A) |,…, | rm ( A) |, | c2 ( A) 1 ( A) (1)对如下数表 A,求 k ( A) 的值; 1 0.1 (2)设数表 A= S (2,3) 形如 1 1 1 -0.3 -0.8 -1

a

b

1 -1

求 k ( A) 的最大值; (3)给定正整数 t ,对于所有的 A∈S(2, 2t ? 1 ),求 k ( A) 的最大值。

40. (2012 年高考(安徽理) )数列 {xn } 满足: x1

2 ? 0, xn?1 ? ?xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列.

2012 年高考真题理科数学解析汇编:数列参考答案 一、选择题 1.

【解析】选 D a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4

a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{S n}是递增数列,但是 S n>0 不成立. 3. 【答案】B 【 解 析 】
2.

2d ?
故 S5 ?

4

a ?

2

5

, aa a2 ? 1 3d ? 1 ? 6 ? 7 ,1 5 ??

?

4

d

(a1 ? a5 ) ? 5 6 ? 5 ? ? 15 . 2 2

【考点定位】 本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解 答. 4. [答案]D [解析]∵数列{an}是公差为

? 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? 8

∴( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 5? ∴ (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 得 a3 ? 即 ( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? 2 ? 5a3 ? 5?

?
2

, a1 ?
2

?
4

, a5 ?

3? 4
2 2

3? 2 13? 2 ? ∴ [ f (a3 )] ? a1a3 ? (2a3 ? cos a3 ) ? a1 a5 ? ? ? 16 16
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使 用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外, (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 隐蔽 性较强,需要考生具备一定的观察能力. 5. [解析] 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数.
? ? 当 26≤k≤49 时,令 25 ? ? ,则 k ? k? ,画出 k?终边如右, 25

y
13? 23? 24? ? 12? ? 2?

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) , 所以 Sk ? sin ? + sin 2? ++
1 1 1 2 1 23

?

sin 23? + sin 24? +0
1 24

26? 27? ?

?

49? 48?

x

37? 38?

1 1 + 26 sin 26? + 27 sin 27? + 1 k sin k?

1 1 1 1 =1 sin ? + 1 sin 2? ++ ( 24 ? 26 ) sin 24? + ( 23 ? 27 ) sin 23? + 1 2

+ ( 501 ?1 ) sin(50 ? k )? ,其中 k=26,27,,49,此时 0 ? 50 ? k ? k , ?k k 所以 501 ?1 ? 0 ,又 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,所以 sin(50 ? k )? ? 0 , ?k k 从而当 k=26,27,,49 时,Sk 都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上,可选 D. [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号,为此,需 借助分类讨论、 数形结合、 先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终 边的对称性,此为攻题之关键. 6. 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式,同时考查运算求 解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 7. C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别 为 1,3,4,7,11,, 发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,, 故 a ? b ? 123.
10 10

【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解 归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 8. 考点分析:本题考察等 比数列性质及函数计算.
2 2 2 2 f ?an ? f ?an ? 2 ? ? an an ? 2 ? an 解 析 : 等 比数列 性质 , an an ? 2 ? an ?1 ?1 ,①

? ?

2

? f 2 ?an ?1 ? ;
;③ ;④



f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2an 2an?2 ? 2an ? an?2 ? 22an?1 ? f 2 ?an ?1 ?
an an ? 2 ? an ?1 ? f 2 ?an ?1 ?
2
2

f ?an ? f ?an ? 2 ? ?

f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ?ln an ?1 ? ? f 2 ?an ?1 ? .选 C
9.

【答案】B 【解析】? a1 ? a5 ? 10 ? 2a1 ? 4d ? 10 ,而 a4 ? a1 ? 3d ? 7 ,解得 d ? 2 .

【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力. 10.答案 A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以及裂项 求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂 项求和. 【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得

?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 1 d ? 15 ? ?5a1 ? ? ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 100 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 100 101 101 101
11. 【答案】C

【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度 可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平 均产量最高,就需要随着 n 的增大, Sn 变化超过平均值的加入 ,随着 n 增大, Sn 变化不 足平均值,故舍去. 12. 【解析】选 B
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5

二、填空题 13. 【解析】 {a n } 的前 60 项和为 1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ?
14. 【答案】

15 ?14 ? 16 ? 1830 2

3 2 【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子.

即 ?

? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两 式 作 差 得 : a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 2 3 3 a ? a q ? a q ? a q ? 3 a q ? 2 ? 1 1 1 1 1

即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?
15. 1006 16. 【答案】 2
n

3 or q ? ?1(舍去). 2

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), ? an ? 2 n 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 17. 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

(解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,解 得 a5 ? b5 ? 35 . (解法二)设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d2 ) ? 21, 所以 d1 ? d2 ? 7 .所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 35 . 【点评】 对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用 等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的 通项公式,前 n 项和,等差中项的性质等.
18. 【答案】(1)6;(2) 3 ? 2
n?4

? 11

【解析】(1)当 N=16 时,

P 0 ? x1 x2 x3 x4 x5 x6 ? x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5,6,?,16) ,
P 1 ? x1 x3 x5 x7 ? x15 x2 x4 x6 ? x16 ,即为 (1,3,5,7,9,? 2, 4,6,8,?,16) , P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6 ? x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,?,16) , x7 位于 P2 中的
第 6 个位置,; (2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2
n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 19.考点分析:本题考查排列、组合的应用. 解析:(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 0,有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种. 答案:90 (Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,所以 可以算出 2n+2 位回文数的个数.2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不能 为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数.计算四位数的回文数是可以 看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有 90 个按此规 律推导 因此 ,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数, ,则答案为 9 ? 10 .
n
2

20. 解 析 : 2 n ? 1 . 设 公 差 为 d ( d ? 0 ), 则 有 1 ? 2 ,解得 d ?2 ,所以 d ?? 1 ? d? ? 4

an ? 2n ? 1 .
21. 【答案】 3018











an ? n cos

n? ?1 2

,





S2012 ? (1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1? ?? 2012 ?1) ? 2012
? (?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012) ? 2012 ? 2 ? 503 ? 2012 ? 3018
【考点定位】 本题主要考察数列的项、 前 n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并 项求和.
22. 【答案】1,

1 n(n ? 1) 4
析 】





? S2 ? a3

,





a1 ? a ? d ? a1 ? 2d ? d ?

1 1 ? n(n 2? 1) . 1 a ? a ? d ? 1, Sn ? 2 4

1

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 n 项和公式的计 算.
三、解答题 23. 【命题意图】 本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、 通项公式、 前 n 项和公式、

数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力. (1) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得
3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 ,故 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由条件得方程组 ? ?? 3 q ? 2 ? ? 8 ? 6 d ? 2 q ? 10 ? ?

3

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * )
( 2 )

a a Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ?2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? 2 ? ? ? nn ) 2 2 ?1 an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2

Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 ) ? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ?12 ? 10bn ? 2an
方法二:数学归纳法 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 12 ? a1b1 ? 12 ? 16, ?2a1 ? 10b1 ? 16 ,故等式成立。

【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用, 但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空 间留有余地,符合高考命题选拔性的原则. 24. 【解析】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2
25. (1)证明:由 S2

? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 .
a2 ? a2 , a1

因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

又由题设条件知 Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? , 即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列. an ?1

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 S n ?

n (a1 ? an ) ,等号成立. 2

设 n ? 3 , a2 ? ?1且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2n?1 ,所以要证的不等式化为:

n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 2 n 1 ? a2 n ? ? n ? 2 ? 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立. 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1 与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为负; 当 a2 ? 1 时,

a2r ?1与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为正;

因此当 a2 ? ?1且 a2 ? 1 时,总有 ( a2r ?1 )( a2n?r ?1 )>0,即

a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 ).
2 n?r n 上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2 ) ? (n ? 1) 1 ? a2

?

?

n ?1 1 ? a2 n ? ? 2 n 综上 , 当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时 , 有 S n ? (a1 ? an ) , 当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

立.

26. [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为

? ? ? ? ?
A

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 ? 2 2 ? ?
n

y ? ?2 x
程 为

'




n



线




n


n


n



线



y ? ? 2 a (x ?
(2)由(1)知 f(n)= 即知,
n

a
a

n

2
n

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a
,则

f (n) ? 1 n3 n ? 3 成立的充要条件是 ? 2n 3 ? 1 a f (n) ? 1 n ? 1

a

? 2n 3 ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥ 17

当 a ? 17, n ? 3时 ,

a ? 4 ? (1? 3)
n n
1 2

n

? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ?
2 3 3

1

2

2

3

3

? 1? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3

? 1? 2n ?
>2n +1
3

3

2 1 ? n 5 (n ? 2) ? (2n ? 5)? ? ? ? 2 ?

当 n=0,1,2 时,显然

( 17 )

n

? 2n ?1

3

f ( n) ? 1 故当 a= 17 时, ? f ( n) ? 1
所以满足条件的 a 的最小值是 (3)由(1)知 f ( k ) ?
n

n 对所有自然数都成立 n ?1
3

3

17 .
n 1 1 f (1) ? f (n) a ? a , ?? k ? 2k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a f (0) ? f (1) 1 ? a n

a
1

n

,则

?
k ?1

n

下面证明:

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

27 f (1) ? f (n) ? . 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时,

1 x?x
3

?

27 x 4

27 2 x( x ? x) ? 1,0 ? x ? 1 4 81 2 则g ' ( x) ? x( x ? ) 4 3 2 2 ( ' x) ? 0;当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 当 0 ? x ? 时, g 3 3 2 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g ( ) ? 0 3
设函数 g ( x) ? 所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

1 x?x
k
2

? 1

27 x 4 ? 27 k ,从而 4 a

由 0<a<1 知 0<a <1( k ?
k

N

*

),因此

a ?a

2k

?
k ?1

n

n 1 1 ?? k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a2 k

?

27 n k ? 4 k ?1 a
n ?1

27 a ? a ? ? 4 1? a

27 a ? a ? ? 4 1? a 27 f (1) ? f (n) ? ? 4 f (0) ? f (1)
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的 能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、 分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、 特殊与一般等数学思维方法.

n

27. [解析]取 n=1,得 a2 a 1
2

? s2 ? s1 ? 2a1 ? a2 ,
② ③



取 n=2,得 a2 ? 2a1 ? 2a2 , 又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0, (2)若 a2 ? 0,易知a2 ? a1 ? 1, 由①④得: a1 ?



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2; 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ?

当 n ? 2时,有( 2 ? 2)an ? s2 ? sn , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 所以,an= 2an?1 (n ? 2) 所以 an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 an 2 2
1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2

所以,数列{bn}是以 ? 则 b1>b2>b3>>b7= lg

10 ? lg1 ? 0 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 当 n≥8 时,bn≤b8= lg 2 128 2
所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最 大值为

T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 2 2

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比 数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力; 第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
28. [解](1)选取 a1

? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b)

所以 x=2b,从而 x=4 (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X [来源:] 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1 (3)[解法一]猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, , n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 . 由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n.

当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) , 并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有 且只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?
q s

? q ,这不可能;

所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1 t2 ??s 2

.

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2
xn xn?1

?

xn xn?2

???
xn x2

xn x2

?
xn x1

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

?

x n ?1 x1

x2 x1

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, , n x1

29.解:(1)? an?1 ? an

? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 ,?b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8
n3 , 2n ? 7

(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 , 即 b4 ? b5 ? b6 ? ? ; 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 , 即

b1 ? b2 ? b3 ? b4
?k ? 4 .
(3) 由

an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n)

,



bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) , ?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2),?, bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)

当 n ? 2k (k ? N * ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ?
2 ? 2n n ? 3 2 2 ? 2n n 2n n 5 ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3
*

2 ? 2n?1 (?2) n ? 1 ? (?2) 2

?

? bn ?

当 n ? 2k ?1(k ? N ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6

? 2n n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? ? bn ? ? , (k ? N * ) n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
30.解析:(1)设数列

?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 )
2 4 3

由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q 由 a1 ? 0, q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2,
2

q2 ? 1(舍去)

∴ q ? ?2 (2)证法一:对任意 k ? N?

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk )

? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N? , Sk ?2 , 证法二

Sk , Sk ?1 成等差数列

2a1 (1 ? q k ) 对任意 k ? N? , 2Sk ? 1? q a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q

Sk ?2 ? Sk ?1 ?

2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ?
?

a1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) 1? q

?

a1q k 2 (q ? q ? 2) ? 0 1? q

因此,对任意 k ? N? , Sk ?2 ,
31. 解 析 :(Ⅰ) 由

Sk , Sk ?1 成等差数列.
可 得 3a4 ? 84, a4 ? 28, 而 , a9=73, 则 于 是

a3+a4+a5=84,a5=73 ,

5d ? a9 ? a4 ? 45, d ? 9

a1 ? a4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1

an ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 ,即 an ? 9n ? 8 .
(Ⅱ)对任意 m∈N ﹡, 9 ? 9n ? 8 ? 9
m 2m

,则 9 ? 8 ? 9n ? 9
m

2m

? 8,

即9

m ?1

?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? ,而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 92m?1 ? 9m?1 , 9 9

于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

?

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92

9 2 m?1 ? 1 9 m ? 即 Sm ? . 80 8
32. 【解析】
? 解 : (1) 当 n ? k ? N 时 , S n ? ?

1 2 1 1 n ? kn 取 最 大 值 , 即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 故 2 2 2

9 7 9 ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n ? n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 (2) 因为 bn ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
k ? 4 ,从而 an ? S n ? S n ?1 ?
【点评】 本题考查数列的通项,递推、 错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 利用 an ? ?

? S1 (n ? 1), 来实现 an 与 Sn 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注 S ? S n ?1 ? n

意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减 法求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、 另一项是等比数列.
33. 【答案】解:(1)当 n =4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, ?1, 4?, ?2,3?, ?1,3, 4? ,

∴ f (4) =4. ( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商 必为奇数.此时记商为 m .于是 x =m?2k ,其中 m 为奇数 k ? N * . 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数. 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定. 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数. 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是

n n ?1 ( ). 2 2

? n 2 ?2 ? n为偶数 ? ∴ f (n)= ? n ?1 . ?2 2 n为奇数 ? ? ?
【考点】集合的概念和运算,计数原理. 【解析】(1)找出 n =4 时,符合条件的集合个数即可. (2)由题设,根据计数原理进行求解.

34. 【答案】解:(1)∵ bn ?1

? 1?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

2

.



bn ?1 an ?1

2 ? 2 ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ? 1 ? ? n ? .∴ ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? n ? ? 1? n ? N *? ? ? ? an ? ? an ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? ?

2

2

2

.

2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列. a ? ?? n ? ? ?

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? .
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 .(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾. q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾. q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 .∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 . 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列. = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1

若 a1 ? 2 ,则

2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 . a1
即 a1 ?

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

.

∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾.∴ a1 = 2 .

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2.

∴ a1 =b2 = 2 . 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法. 【解析】(1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1 ? 1 ?

bn ?b ? b ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 而证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证. ? an ?1 ? ? an ?

(2) 根据基本不等式得到 1 < an?1 ? 比 q =1 .

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 , 用反证法证明等比数列 {an } 的公

从 而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 等比数列.最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 .
35. 【解析】

bn 2 2 的 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以

?

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
即 an?1 ? a1 ? an?2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (Ⅱ)(1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于 0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
?

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则 [来源:]

B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) ,
于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1.
由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 . 因为 an ? 0 ,所以

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, an ?1 a1

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差 数列定义可得;第二问要从充分性、 必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易 得证. 36.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算. 解析:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2

?2a1 ? a2 ? 3 ? 37.解析:(Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
n ? 1 (Ⅱ) 由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可 得 2Sn?1 ? an ? 2 ( n ? 2 ), 两 式 相 减 , 可 得

2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2n , 即 an?1 ? 2n?1 ? 3 an ? 2n

?

?

, 所 以 数 列

?a

n

? 2n ? ( n ? 2 ) 是 一 个 以 a2 ? 4 为 首 项 ,3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 由 2a1 ? a2 ? 3 可

得 , a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 , 即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ), 当 n ? 1 时 , a1 ? 1 , 也满足该 式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
n ?1 n ?1 n n1 ? 2? 2 ?, 2 (Ⅲ) 因 为 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3 所 以 3n ? 2n ? 3? ,所以

1 1 ? ,于是 an 3n ?1

?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 3? ?1? ? 3 3? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 a1 a2 an 3 3 2? ? 2 ? ?3? ? 1? 3
n 1 1 1 3? ?1? ? 点评 : 上述证法实质上是证明了一个加强命题 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? , 该加强 a1 a2 an 2 ? ? ? ? 3? ?

n

命题的思考过程如下. 考虑构造一个公比为 q 的等比数列 ?bn ? , 其前 n 项和为 Tn ?

b1 ?1 ? q n ? 1? q

, 希望能得到

n b1 ?1 ? q n ? b 3 b 1 1 1 b1 ?1 ? q ? 3 , 考虑到 ? ??? ? ? ? 1 , 所以令 1 ? 即可 . 由 1? q 2 a1 a2 an 1? q 2 1? q 1? q

an 的通项公式的形式可大胆尝试令 q ?
1 1 ? bn ? n ?1 就可以了. an 3
当然, q 的选取并不唯一,也可令 q ? 在于,当 n ? 1 时,

1 1 , 则 b1 ? 1 , 于是 bn ? n?1 , 此时只需证明 3 3

3 1 3 1 ,此时 b1 ? , bn ? n?1 ,与选取 q ? 不同的地方 4 2 2 3

1 1 ? bn ,当 n ? 2 时, ? bn ,所以此时我们不能从第一项就开始放缩, an an

应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当
n ?1 时 ,

1 3 ?1? ; 当 n?2 a1 2

时 ,

1 1 1 3 ? ?1? ? a1 a2 5 2

; 当 n?3

时,

1 1 1 1 1 3 ? ? ?1? ? ? . a1 a2 a3 5 19 2 1 ? bn ,所以 an

当 n ? 4 时,

1 1 1 1 1 ? ?? ? ?1? ? ? a1 a2 an 5 19
综上所述,命题获证. 下面再给出

3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1? 1 2

n ?3

? ? ? ? ?1? 1 ? 1 ? 3 ? 3 . 5 19 16 2

1 1 1 3 ? ? ? ? ? 的两个证法. a1 a2 an 2

法 1:(数学归纳法) ①当 n ? 1 时,左边 ?

1 3 ? 1 ,右边 ? ,命题成立. a1 2
1 3 ? 成立.为了证明当 n ? k ? 1 时命 i 2 i ?1 3 ? 2
i k

②假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N )时成立,即 ? 题也成立,我们首先证明不等式:
i ?1

1 1 1 ( i ? 1 , i ? N ). ? ? i i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i 1 1 1 1 1 要证 i ?1 ,只需证 i ?1 ,只需证 3i ?1 ? 2i ?1 ? 3i ?1 ? 3 ? 2i , ? ? i ? i ?1 i ?1 i i ?1 i 3 ?2 3 ? 3? 2 3 ?2 3 3 ?2 1 1 1 只需证 ?2i ?1 ? ?3 ? 2i ,只需证 ?2 ? ?3 ,该式子明显成立,所以 i ?1 . ? ? i i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i k ?1 k ?1 1 1 1 1 k 1 1 3 3 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ,所以命 于是当 n ? k ? 1 时, ? i ? ? i i i i i 3 ? 2 i ?2 3 ? 2 3 i ?1 3 ? 2 3 2 2 i ?1 3 ? 2
题在 n ? k ? 1 时也成立. 综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的 ,其实这是一个 错误的认识. 法 2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当 n ? 1 时,

1 3 1 1 1 3 ? 1 ? 显然成立.当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? 显然成立. a1 2 a1 a2 5 2
n

1 2 n ?1 当 n ? 3 时, an ? 3n ? 2n ? ?1 ? 2? ? 2n ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n

1 2 n ?1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n ? n ? 1? , 又因 为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ,

所以 an ? 2n ? n ? 1? ( n ? 2 ),所以

1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ( n ? 2 ),所以 an 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?

1 1 1 1 1? 1 1 1 1 1? 1? 1? 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? . a1 a2 a3 an 2? 2 3 4 n ?1 n ? 2? n? 2
综上所述,命题获证.

38. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先

从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推 公式构造等比数列进而求得数列的通项. 解:(1)为 f (4) ? 42 ? 8 ? 3 ? 5 ,故点 P(4,5) 在函数 f ( x ) 的图像上,故由所给出的两点

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在.故有
直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) ,令 y ? 0 ,可求得 xn ? 4

?5 ?

xn 2 ? 2 xn ? 8 4x ? 3 ?5 ( x ? 4) ? ? x?4? x ? n xn ? 4 xn ? 2 xn ? 2
4 xn ? 3 xn ? 2

所以 xn ?1 ?

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2




2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ?

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ?3 xk ? 2 4 4 xk ? 2

2 ? xk ?1 ? 3 也成立
综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立. 下面证明 xn ? xn?1 由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2
2

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1) ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立. (2) 由 xn ?1 ?

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 , 解得 x?2 xn ? 2

x ? 3 或 x ? ?1

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (?1) ?

4 xn ? 3 5x ? 5 ② ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ,而 1 ? ? ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n ?1 ? 1 4 1 1 ? 3? . ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
法 二 ( 先 完 成 Ⅱ, 用 Ⅱ 证 Ⅰ):(Ⅱ) Q PQn 的 方 程 为

y ?5 ? x?4 , 令 y ? 0 得 x ? 2xn ? 3? 5 xn ? 4
2 n

xn?1 ? 4 ? 5 xn ? 2
(不动点法) 令 x ? 4 ? 5 ,得函数 g ( x) ? 4 ? 4 的不动点 x1 ? ?1, x2 ? 3 . x?2 x?2

5(x ?1) ?xn?1 ?1? 5? 5 ? n xn ? 2 xn ? 2 (x ?3) ?xn?1 ?3 ?1? 5 ? n xn ? 2 xn ? 2
上两式相除得

xn?1 ?1 x ?1 x ?1 是等比数列,其中公比 q ? 5 ,首项为 ? 5? n .可见数列 n xn?1 ? 3 xn ? 3 xn ? 3

? ?

x1 ?1 x ?1 4 (n? N ? ) 即为所求. ? ?3 . ? n ??3?5n?1 ? xn ? 3? x1 ? 3 xn ?3 3?5n?1 ?1
(Ⅰ)①由上知 xn ? 3? ②又 xn?1 ? 3? ③易见,数列

4 4 ) ? 2 (当 n ?1 时). ? 2 ? (1? 3?5n?1 ?1 3?5n?1 ?1

4 ? 3 (当 n ?1 时). 3?5n ?1

?3?54 ?1? (n? N ) 单调递减,所以数列 ?3? 3?54 ?1? (n? N ) 单调递增,即
n?1
?

n?1

?

xn ? xn?1 . 综合①②③得: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 . 【点评】 以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式. 既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的 难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系 式即可.
39. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严

谨的逻辑思维能力. 解 :(1)











r1 ? A? ? 1.2 , r2 ? A? ? ?1.2 , c1 ? A? ? 1.1 , c2 ? A? ? 0.7 , c3 ? A? ? ?1.8 ∴ k ? A? ? 0.7

(2)先用反证法证明 k ? A?≤ 1: 若 k ? A? ? 1 则 | c1 ? A? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 由题目所有数和为 0 即 a ? b ? c ? ?1

同 理 可 知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 ∴ c ? ?1 ? a ? b ? ? 1 与题目条件矛盾 ∴ k ? A?≤ 1. 易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在 (3) k ? A? 的最大值为

∴ k ? A? 的最大值为 1

2t ? 1 . t?2 2t ? 1 首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai, j }(i ? 1,2, j ? 1,2,...,2t ?1) : t?2 t ?1 , a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ?2 ? ... ? a1,2t ?1 ? ? t?2

a2,1 ? a2,2

t 2 ? t ?1 ? ... ? a2,t ? , a2,t ?1 ? a2,t ?2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)
2t ? 1 , t?2

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

| c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ?

t 2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 , ?1? ? t (t ? 2) t ?2 t ?2
t ? 1 2t ? 1 . ? t?2 t?2

| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

2t ? 1 是 最 大 值 . 若 不 然 , 则 存 在 一 个 数 表 A ? S (2, 2t ? 1) , 使 得 t?2 2t ? 1 . k ( A) ? x ? t?2

由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的数的 和,其绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由 于 x ? 1 ,故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g ?h ,则

g ? t, h ? t ? 1 . 另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每 个正数的绝对值不超过 1(即每个正数均不超过 1),每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每 个负数均不超过 1 ? x ). 因此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ?1)(1 ? x) ? 2t ?1 ? (t ?1) x ? x ? ? 2t ?1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾. 因此 k ? A? 的最大值为

2t ? 1 . t?2

40. 【解析】(I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列

充分条件
2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x12 ? 0

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)由(I)得: C ? 0 ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意 ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn ?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1)

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn [来源:]
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列 4


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