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2011-2014年课标2及2014年各地高考真题汇编:三角函数(解析版)

时间:2015-04-16


2015 届高三文科数学专题复习:三角函数 【2011 年课标全国文· 三角函数】
7.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = A. ?

4 5

B. ?

11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. y ? f ( x)

在 (0, B. y ? f ( x) 在 (0, C. y ? f ( x) 在 (0, D. y ? f ( x) 在 (0,

?

3 5

C.

? ? ?
2

) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4

?

3 5

D.

4 5

) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ?

? ? ?
4

对称 对称 对称 对称

2 2

2 4

?

?

2 2 15. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为_________.
答案:7.B 11.D 15.

15 3 4

【2012 年课标全国文· 三角函数】
π 5π 9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ=( 4 4 π π π 3π (A) (B) (C) (D) 4 3 2 4 17.(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = 3asinC-ccosA (1) 求 A (2) 若 a=2,△ ABC 的面积为 3,求 b,c 答案:9.A )

【2013 年课标全国Ⅱ 文· 三角函数】
4.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B ?

π π , C ? ,则△ ABC 的面积为( 6 4

).

A. 2 3+2 6.已知 sin 2α=

B. 3+1

C. 2 3 ? 2 ).

D. 3 ? 1

1 A. 6

2 π? ? ,则 cos 2 ? ? ? ? =( 3 4? ? 1 1 2 B. 3 C. 2 D. 3

16. 函数 y = cos(2x + φ)( - π≤φ < π) 的图像向右平移 __________. 4.答案:B 解析:A=π -(B+C)= π ? ? 由正弦定理得

π π? ? 个单位后,与函数 y = sin ? 2 x ? ? 的图像重合,则 φ = 2 3? ?

? π π ? 7π , ? ?? ? 6 4 ? 12

a b ? , sin A sin B 7π 2sin b sin A 12 ? 6 ? 2 , 则a ? ? π sin B sin 6 1 1 2 ∴S△ABC= ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? ? 3 ? 1. 2 2 2
6.答案:A 解析:由半角公式可得, cos ? ? ?
2

? ?

π? ? 4?

π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? 1 ? sin 2 ? 2 ? ?? 3 ? 1. ? = 2 2 2 6 5π 16.答案: 6 π ? ? π? ? 解 析 : y = cos(2x + φ ) 向 右 平 移 个 单 位 得 , y ? cos ? 2 ? x ? ? ? ? ? = cos(2x - π + φ ) = 2 2? ? ? ?
π π π? π? π? ? ? ? 而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合, 令 2x+φ - =2x+ +2kπ , sin ? 2 x ? π+? + ? =sin ? 2 x ? ? ? ? , 2 3 3? 2? 2? ? ? ?
k∈Z,
得? ?

5π +2kπ ,k∈Z. 6
5π . 6

又-π ≤φ <π ,∴ ? ?

【2014 年课标全国Ⅱ 文· 三角函数】
14.函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为_________. 17.(本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2. (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。 答案:14[解析] f(x)=sin(x+φ)-2sinφ cos x=sin xcosφ +cos xsinφ -2sinφ cos x=sin xcosφ -cos xsinφ =sin(x-φ), 其最大值为 1. 17.解:(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C=13-12cos C,①

BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A=5+4cos C.② 1 由①②得 cos C= ,故 C=60°,BD= 7. 2 1 1 1 1 ?1?2+ ?3?2?sin 60°=2 3. (2)四边形 ABCD 的面积 S= AB?DAsin A+ BC?CDsin C=? 2 ?2 ? 2 2

【2014 年各地高考文科数学· 三角函数】
考点 1:角的概念及任意角的三角函数 2.[2014· 全国卷] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( 4 A. 5 3 B. 5 4 D.- 5 [解析] 根据题意,cos α = -4 (-4) +3
2 2=-5.

)

3 C.- 5 2.D

4

考点 2: 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2. 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 若 tan α >0,则( A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 2.C [解析] )

2sin α cos α 2tan α 因为 sin 2α = 2 = >0,所以选 C. sin α +cos2α 1+tan2α 考点 3:三角函数的图象与性质 π 2.[2014· 陕西卷] 函数 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期是( 4? ? π A. 2 B.π C.2π D.4π )

2π 2.B [解析] T= =π . 2 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y= π π cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为( 6? 4? ? ? )

A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 7.A [解析] 函数 y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为π ,①正确;将函数 y=cos x 的图像中位于 x 轴上方的图像 不变,位于 x 轴下方的图像对称地翻转至 x 轴上方,即可得到 y=|cos x|的图像,所以其最小天正周期也为π ,②正 π π π 确;函数 y=cos?2x+ ?的最小正周期为π ,③正确;函数 y=tan?2x- ?的最小正周期为 ,④不正确. 2 6? 4? ? ? π 7.[2014· 福建卷] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像,则下列说法正确的是( 2 A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2

)

π D.y=f(x)的图像关于点?- ,0?对称 ? 2 ? π π 7.D [解析] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位后,得到函数 y=f(x)=sin?x+ ?的图像,即 f(x)=cos x.由 2 ? 2? 余弦函数的图像与性质知, f(x) 是偶函数,其最小正周期为 2 π ,且图像关于直线 x = k π (k∈Z) 对称,关于点

?π +kπ ,0?(k∈Z)对称,故选 D. ?2 ?
12. ,[2014· 山东卷] 函数 y= 12.π [解析] 因为 y= 3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 2

1+cos 2x 3 sin 2x+ = 2 2

2π π 1 sin?2x+ ?+ ,所以该函数的最小正周期 T= =π . 2 6? 2 ? π 5. 、[2014· 江苏卷] 已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横坐标为 的交点,则 φ 的值 3 是________. π 5. 6 π π 5π π 1 2 2 [解析] 将 x= 分别代入两个函数,得到 sin?2? +φ?= ,解得 π +φ= +2kπ (k∈Z)或 π +φ= + 3 2 3 6 3 6 3 ? ?

π π π +2kπ (k∈Z)或 φ= +2kπ (k∈Z).又 φ∈[0,π ),故 φ= . 2 6 6 π π 11.[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数( ) 2 3 ? ? π 7π A.在区间? , ?上单调递减 ?12 12 ? π 7π B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? π π C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3? π π D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? π 2 ? π 11.B [解析] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,得到 y=3sin? ?2x-3π ?的图像 ,函数单调递 2 3? ? π π π 7π 2 2 2x- π ?的单调 增,则- +2kπ ≤2x- π ≤ +2kπ ,k∈Z,即 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,即函数 y=3sin? 3 ? ? 2 3 2 12 12 π 7π π 7π 递增区间为? +kπ , +kπ ?,k∈Z,当 k=0 时,可知函数在区间? , ?上单调递增. 12 ?12 ? ?12 12 ? 2kπ (k∈Z),化简解得 φ=- 18.[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求 f? 5π ? ? 4 ?的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 18.解:方法一: (1)f? 5π ? 5π 5π ? 5π ? ? 4 ?=2cos 4 ?sin 4 +cos 4 ?

π π π =-2cos ?-sin -cos ?=2. 4? 4 4? (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1, 4? ?

2π 所以 T= =π ,故函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 方法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)f? 11π 5π ? ? 4 ?= 2sin 4 +1 π +1 4

= 2sin =2.

2π (2)因为 T= =π ,所以函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ?

考点 4:函数 y ? A sin(? x ? ?) 的图象与性质 8.[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,若相邻交 π 点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( ) 3 π 2π A. B. C.π D.2π 2 3 π 8.C [解析] ∵f(x)=2sin?ω x+ ?=1, 6? ? π π π 5π 2π π 1 ∴sin?ω x+ ?= ,∴ωx1+ = +2k1π (k1∈Z)或 ω x2+ = +2k2π (k2∈Z),则 ω(x2-x1)= +2(k2-k1) 6 6 6 6 3 6? 2 ? π π .又∵相邻交点距离的最小值为 ,∴ω=2,∴T=π . 3 7.[2014· 安徽卷] 若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图像向右平移 φ 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 φ 的最小正 值是( ) π A. 8 3π C. 8 π B. 4 3π D. 4

π π 7.C [解析] 方法一:将 f(x)= 2sin?2x+ ?的图像向右平移 φ 个单位,得到 y= 2sin?2x+ -2φ?的图像,由所 4? 4 ? ? ? π π kπ 3π π π 得图像关于 y 轴对称,可知 sin? -2φ?=±1,即 sin?2φ - ?=± 1,故 2φ- =kπ + ,k∈Z,即 φ= + , 4 2 2 8 4? ?4 ? ?

k∈Z,又φ >0,所以 φmin=

3π . 8

π π 13.[2014· 重庆卷] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标 2 2? ? π π 不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图像,则 f? ?=________. 6 ?6? 2 13. [解析] 函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到 y=sin(2ωx+φ)的图像,再向右 2 π π ωπ ωπ 平移 个单位长度,得到 y=sin2ωx- +φ=sin?2ω x- +φ?的图像.由题意知 sin?2ω x- +φ?=sin x,所以 6 6 3 3 ? ? ? ? ωπ π π π π π 1 1 2ω=1,- +φ =2kπ (k∈Z),又- ≤φ ≤ ,所以 ω= ,φ= ,所以 f(x)=sin? x+ ?,所以 f? ?= 3 2 2 2 6 ?2 6 ? ?6? π 2 1 π π sin? ? + ?=sin = . 4 2 ?2 6 6 ? 4.[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( ) π A.向右平移 个单位 12 π B.向右平移 个单位 4 π C.向左平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 4 4.A π π π [解析] y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ?= 2cos?3?x- ??,故将函数 y= 2cos 3x 的图像向右平移 个单 12 4 12 ? ? ? ? ??

位可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,故选 A. 3.[2014· 四川卷] 为了得到函数 y=sin(x+1)的图像,只需把函数 y=sin x 的图像上所有的点( ) A.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动π 个单位长度 D.向右平行移动π 个单位长度 3.A [解析] 由函数 y=sin x 的图像变换得到函数 y=sin(x+1)的图像,应该将函数 y=sin x 图像上所有的点向左平 行移动 1 个单位长度,故选 A. π 16.[2014· 北京卷] 函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图像如图 14 所示. 6? ?

图 14 (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 12? ? 2 16.解:(1)f(x)的最小正周期为π . 7π x0= ,y0=3. 6 π π π 5π (2)因为 x∈?- ,- ?,所以 2x+ ∈?- ,0?. 6 ? 6 12? ? 2 ?

π 于是,当 2x+ =0, 6 π 即 x=- 时,f(x)取得最大值 0; 12 π π 当 2x+ =- , 6 2 π 即 x=- 时,f(x)取得最小值-3. 3 18. 、 、 、[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 2π 2π 1 π π 3 - ?- =10. 18.解:(1)f(8)=10- 3cos? ?8?-sin? ?8?=10- 3cos -sin =10- 3?? 2 ? ? 2 3 3 ?12 ? ?12 ? 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. π π 3 π 1 π (2)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? 又 0≤t<24, π π π 7π π π 所以 ≤ t+ < ,所以-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.. 考点 5:三角恒等变换解决求值、化简与证明 15.[2014· 江苏卷] 已知 α∈? (1)求 sin? π ? ? 4 +α?的值; 5π ? ? 6 -2α?的值. π 5 ? ? 2 ,π ?,sin α = 5 .

(2)求 cos?

π 5 15.解: (1)因为 α∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ? 2 所以 cos α =- 1-sin2α =- 5 5 .

π π π 故 sin? +α?=sin cos α +cos sin α = 4 4 ?4 ? 2 ? 2 5? 2 5 10 ? + ? =- . 2 ?- 5 ? 2 5 10 (2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2? 5 ? 5

?-2 5?=-4, 5 5 ? ?
cos 2α =1-2sin2α =1-2?? 所以 cos? 5?2 3 = , ?5? 5

5π 5π 5π ? ? 6 -2α?=cos 6 cos 2α +sin 6 sin 2α =

?- 3??3+1??-4?=-4+3 3. 10 ? 2 ? 5 2 ? 5?
π 16. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f? ?=0,其中 a∈R,θ ∈(0,π ). ?4? (1)求 a,θ 的值; α? π? 2 ?π ? ? (2)若 f? ?4?=-5,α∈? 2 ,π ?,求 sin?α + 3 ?的值. 16. 解: (1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数, 而 y1=a+2cos2x 为偶函数, 所以 y2=cos(2x+θ )为奇函数. 又 π θ∈(0,π ),得 θ= , 2 所以 f(x)=-sin 2x?(a+2cos2x). π 由 f? ?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. ?4? 1 (2)由(1)得,f(x)=- sin 4x. 2 α 1 2 因为 f? ?=- sin α =- , 2 5 ?4? π 4 所以 sin α = ,又 α∈? ,π ?, 5 ?2 ? 3 从而 cos α =- , 5 π π 4-3 3 π 所以有 sin?α + ?=sin α cos +cos α sin = . 3 3 10 3? ? . π 17. 、 、 、[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 17.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π π 2kπ π 2kπ 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z, 2 4 2 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ). 4? 5 ? 4? ? π π 所以 sin α cos +cos α sin = 4 4 π π? 4? (cos2α -sin2α ), 5?cos α cos 4 -sin α sin 4 ? 4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 在第二象限内,得 α= +2kπ ,k∈Z. 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 5 由 α 是第二象限角,得 cos α-sin α <0,此时 cos α -sin α =- . 2 5 综上所述,cos α -sin α =- 2或- . 2 考点 8:解三角形 1 12.[2014· 北京卷] 在△ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=________;sin A=________. 4

12.2

15 8

b2+c2-a2 1 [解析] 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2?2?1? =4,即 c=2;cos A= = 4 2bc 7?2 15 1-? ?8? = 8 .

4+4-1 7 = ,∴sin A= 2?2?2 8

14.[2014· 福建卷] 在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 2sin 60° BC AC 14.1 [解析] 由 = ,得 sin B= =1, sin A sin B 3 即 B=90°,所以△ABC 为以 AB,BC 为直角边的直角三角形, 则 AB= AC2-BC2= 22-( 3)2=1,即 AB 等于 1. 7. 、[2014· 广东卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 7.A [解析] 设 R 是三角形外切圆的半径,R>0,由正弦定理,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B.故选 A. ∵sin≤A sin B,∴2Rsin A≤2Rsin B,∴a≤b.同理也可以由 a≤b 推出 sin A≤sin B. π 13.[2014· 湖北卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a=1,b= 3,则 B=________. 6 π 2π π 2π a b 1 3 3 13. 或 [解析] 由正弦定理得 = ,即 = ,解得 sin B= .又因为 b>a,所以 B= 或 . 3 3 sin A sin B sin B 2 3 3 π sin 6 14. 、[2014· 江苏卷] 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是______. 14. 6- 2 4
2

[解析] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则由正弦定理得 a+ 2b=2c.故
2 2

2 2 3 2 1 2 ?a+ 2b? 3 2 1 2 a2+b2-? ? a + b - ab a+ b 2 2 2 4 2 a +b -c ? 2 ? 4 2 cos C= = = = - ≥ 2ab 2ab 2ab 2ab 4

3 2 1 2 a? b 4 2 6- 2 2 - = , 2ab 4 4

a 2 当且仅当 3a2=2b2,即 = 时等号成立. b 3 2sin2B-sin2A 5.[2014· 江西卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 的值为( sin2A 1 1 7 A.- B. C.1 D. 9 3 2 2b2-a2 ?b?2 3?2 7 5.D [解析] 由正弦定理得,原式= =2?a? -1=2?? 2 ?2? -1=2. a 6 16.[2014· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a-c= b,sin B= 6sin C. 6 (1)求 cos A 的值; π (2)求 cos?2A- ?的值. 6? ? b c 6 16.解:(1)在△ABC 中,由 = ,及 sin B= 6sin C,可得 b= 6c.又由 a-c= b,有 a=2c. sin B sin C 6 b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以 cos A= = = . 2bc 4 2 6c2 6 10 1 15 (2)在△ABC 中,由 cos A= ,可得 sin A= .于是 cos 2A=2cos2A-1=- ,sin 2A=2sin A?cos A= . 4 4 4 4 π π 15- 3 π 所以 cos?2A- ?=cos 2A?cos +sin 2A?sin = . 6 6 8 6? ? )

18.[2014· 浙江卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin2

A-B +4sin Asin B=2+ 2. 2

(1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 18.解:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2, 化简得-2cos Acos B+2sin Asin B= 2, 故 cos(A+B)=- 2 , 2

3π π 所以 A+B= ,从而 C= . 4 4 1 (2)因为 S△ABC= absin C, 2 π 由 S△ABC=6,b=4,C= ,得 a=3 2. 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 c= 10. 16. 、[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 2.求 cos A 与 a 的值. 16.解: 由三角形面积公式,得 1 2 2 ?3?1?sin A= 2,故 sin A= . 2 3 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cos A=± 1-sin2A=± 8 1 1- =± . 9 3

1 1 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2?1?3? =8, 3 3 所以 a=2 2. 3. 1? 1 ②当 cos A=- 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2?1?3?? ?-3?=12,所以 a=2 3 17. , ,[2014· 山东卷] △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A= (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2 π 6 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 3 2 ? ? asin B 由正弦定理可得,b= = sin A 3? 6 3 =3 2. 3 3 3 . 3

π 6 ,B=A+ . 3 2

π π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2 3 2? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B), 所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B



3 ? 6 6 3? ? + ? 3 ?- 3 ? 3 3

1 = . 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ?3?3 2? = . 2 2 3 2 18. 、[2014· 重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 A 2B (2)若 sin Acos +sin Bcos2 =2sin C, 2 2 9 且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 7 18.解:(1)由题意可知 c=8-(a+b)= . 2 a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= = 2ab 2 2 5? ?7? 22+? ?2? -?2? 1 =- . 5 5 2?2? 2 B A (2)由 sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C 可得 2 2 1+cos B 1+cos A sin A? +sin B? =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c.又 a+b+c=8,所以 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9,从而 a2-6a+9=0,解得 a=3,所以 b=3. 2 2 1 → → 17. 、[2014· 辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA?BC=2,cos B= ,b= 3 3.求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 17.解:(1)由BA?BC=2,得 c· acos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2?2=13. ? ? ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, 联立? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. 1?2 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1-? ?3? = 3 . c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= ? = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2C= 4 2?2 7 1 -? = . ? 9 ? 9 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= 1 7 2 2 4 2 23 ? + ? = . 3 9 3 9 27 1 18. 、[2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求 B. 3 18.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A,

故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= , 3 所以 cos C=2sin C, 1 所以 tan C= , 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

=-1, 所以 B=135°. 16. 、 、[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cos B 的值. 16.解: (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)由题设有 b2=ac,c=2a, ∴b= 2a. a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 由余弦定理得 cos B= = = . 2ac 4a2 4 16.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 13,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC= 100 m,则山高 MN=________m.

图 13 16.150 [解析] 在 Rt△ABC 中,BC=100,∠CAB=45°,所以 AC=100 2.在△MAC 中,∠MAC=75°,∠MCA sin 60° AM AC =60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有 = ,即 AM= ?100 2=100 3,于是在 Rt sin∠MCA sin∠AMC sin 45° △AMN 中,有 MN=sin 60°?100 3=150 . 8. 、[2014· 四川卷] 如图 13 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球 的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

图 13 A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 60 8.C [解析] 由题意可知,AC= =120. sin 30°

∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,所以 sin∠ABC=sin 105°=sin(60°+45°)= 6+ 2 sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°= . 4 AC BC 在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin∠ABC ∠BAC 2 120? 2 240 2 于是 BC= = =120( 3-1)(m).故选 C. 2+ 6 2+ 6 4 2π 19. 、 、[2014· 湖南卷] 如图 14 所示,在平面四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DE=1,EC= 7,EA=2,∠ADC= , 3 π ∠BEC= . 3 (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

图 14 19.解:设∠CED=α. (1)在△CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CD· DE· cos∠EDC, 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD- 6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). EC CD 在△CDE 中,由正弦定理,得 = . sin∠EDC sin α 2π 3 CD?sin 2? 3 2 21 于是,sin α = = = ,即 EC 7 7 21 sin∠CED= . 7 π (2)由题设知,0<α < ,于是由(1)知, 3 21 2 7 cos α = 1-sin2α = 1- = . 49 7 2π 而∠AEB= -α,所以 3 2π 2π 2π cos∠AEB=cos? -α?=cos 3 cos α +sin 3 sin α 3 ? ? 1 3 =- cos α + sin α 2 2 1 2 7 3 21 7 =- ? + ? = . 2 7 2 7 14 EA 2 在 Rt△EAB 中,cos∠AEB= = ,故 BE BE 2 2 BE= = =4 7. cos∠AEB 7 14


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