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四川省成都七中2013-2014学年高一数学上学期期末模拟试题新人教A版


高一上学期期末模拟数学试题
一、选择题: 1. 集合{1,2,3}的真子集共有( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 2. 已知角α 的终边过点 P (-4,3) ,则 2sin ? ? cos ? 的值是( ) D. 2 5 2 3. 已知扇形 OAB 的圆心角为 4rad ,其面积是 2cm 则该扇形的周长是( A.8 B.6 C.4 D.2 A.-

1 B.1 C. ? 4. 已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? x y ? lg(2 x ? x 2 ) ,则 M ? N 为( A. (1, 2) B. (1, ??) C. ?2,?? ? D. ?1,?? ?

2 5

)cm. )

?

?

?

?

6. 函数

y ? sin(2 x ?

5? ) 是 ( 2



A.周期为 ? 的奇函数

B.周期为 ? 的偶函数 C.周期为

? 的奇函数 2

D.周期为

? 的偶函数 2 7. 右图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象,此函数的解析式为可为(
A. y ? 2 sin(2 x ? ? ) 3 B. y ? 2 sin( 2 x ?

)

2? ) 3

x ? C. y ? 2 sin( ? ) 2 3
2

) D. y ? 2 sin( 2 x ? ? ) 3

8.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ax ? 3a ) 在区间[2,+ ? )上是增函数, 则 a 的取值范围是( A. ( ? ?,4] ) B. ( ? ?,2] C. ( ? 4,4] D. ( ? 4,2]

9. 已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3), y ? f ( x ? 1) 的图象关于点

(1, 0) 对称,则
f (2013) ? (


1

A.10

B. ?5

C.5

D.0

? ?x 10. 已知函数 f ( x) ? ?2 ? 1( x ? 0) , 若方程f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则实 ? f ( x ? 1)( x ? 0)

数 a 的取 值范围为( ) A. (??, 0] 二、填空题: 11. sin 600? = __________. 12. 函数 y ? B. (??,1) C. [0,1) D. [0, ??)

x2 ? lg ? 2 x ? 1? 的定义域是__________. 2? x

13. 若 2 a ? 5b ? 10 ,则

1 1 ? ? __________. a b
2

14. 函数 f ( x) ? 3sin ? x ? log 1 x 的零点的个数是__________. 15. 函数 f ( x) 的定义域为 D , 若存在闭区间 [a, b] ? D , 使得函数 f ( x) 满足 :① f ( x) 在

[a, b] 内是单调函
数;② f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ,则称区间 [a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间”.下列 函数中存在 “倍值区间”的有________ ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ? R ) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? sin 2 x( x ? R)

三、解答题 16. 已知 tan ? ?

1 , 3 sin ? ? 2 cos? (1)求: 的值 5 cos? ? sin ? (2)求: sin ? cos? ? 1 的值

2

3 讨论关于 x 的方程 f ( x) ? m 解的个数。

π 18.已知 f(x)=2sin(2x+ )+a+1(a 为常数). 6 (1)求 f(x)的递增区间; π (2)若 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; 2 (3)求出使 f(x)取最大值时 x 的集合.

19. 设函数 f ( x) ?

1 1? x ? lg x?2 1? x

⑴求 f ( x) 的定义域。 ⑵判断函数 f ( x) 的单调性并证明。 ⑶解关于 x 的不等式 f ? x ( x ? ) ? ? 2 ? 2 ?

?

1 ?

1

20.已知指数函数 y ? g ? x ? 满足: g (3) ? 8 ,又定义域为 R 的函数 f ? x ? ? 奇函数.

m ? 2g ? x?

n ? g ? x?



3

(1)确定 y ? g ? x ? 的解析式; (2)求 m, n 的值; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f 2t ? 3t 围.

?

2

? ? f ?t

2

? k ? ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范

x 21.已知函数 f ( x) ? ? x ? a ? x ? 2 , g ( x) ? 2 ? x ? 2 ,其中 a ? R .

(1)写出 f ( x) 的单调区间(不需要证明) ; (2)如果对任意实数 m ? ? 0,1? ,总存在实数 n ? ? 0, 2? ,使得不等式 f (m) ? g (n) 成立, 求实数 a 的取 值范围.

4

高一上期末模拟训练题 2013.12

5. 函数 y=lg

1 的大致图象为( D | x ? 1|

)

6. 函数

y ? sin(2 x ?

5? ) 是 ( B ) 2
B.周期为 ? 的偶函数 C.周期为

A.周期为 ? 的奇函数

? 的奇函数 2

D.周期为

? 的偶函数 2 7. 右图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象,此函数的解析式为可为( B )
A. y ? 2 sin(2 x ? ? ) 3 B. y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

x ? C. y ? 2 sin( ? ) 2 3
2

) D. y ? 2 sin( 2 x ? ? ) 3

8.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ax ? 3a ) 在区间[2,+ ? )上是增函数, 则 a 的取值范围是( A. ( ? ?,4] C ) B. ( ? ?,2] C. ( ? 4,4] D. ( ? 4,2]

9. 已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3), y ? f ( x ? 1) 的图象关于点

(1, 0) 对称,则
f (2013) ? (

D ) B. ?5 C.5 D.0
5

A.10

? ?x 10. 已知函数 f ( x) ? ?2 ? 1( x ? 0) , 若方程f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则实 ? f ( x ? 1)( x ? 0)

数 a 的取 值范围为( B ) A. (??, 0] 二.填空题:
3 11. sin 600? = __________. ? 2

B. (??,1)

C. [0,1)

D. [0, ??)

12. 函数 y ?

x2 1 ? ? lg ? 2 x ? 1? 的定义域是__________. ? ? ? ,2? 2? x ? 2 ?

13. 若 2 a ? 5b ? 10 ,则

1 1 ? ? __________.1 a b

1 , 3 sin ? ? 2 cos? (1)求: 的值 5 cos? ? sin ? (2)求: sin ? cos? ? 1 的值 1 【解析】 : (1) 2 7 (2) ? ........... 10 ? ( x ? ?1) ? x?2 ? 2 17.设 f ( x) ? ? x (?1 ? x ? 2) ?log x ( x ? 2) ? 1 ? 2
16.已知 tan ? ?



(1)在直角坐标系中画出 f ( x) 的图象;并指出该函数 的值域。

6

(2)若 f ( x) ? 3 ,求 x 值;

(3)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? m 解的个数。

解(1)图略,值域{x∣x ? 4}---------(2) x= 3 ----------

(3)①m>4 无解;②1<m ? 4 或-1 ? m<0,1 解;③m=1 或 m<-1, 2 解;④0<m<1,3 解。 18.已知 f(x)=2sin(2x+ (1)求 f(x)的递增区间; (2)若 x∈[0, π ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; 2 π )+a+1(a 为常数). 6

(3)求出使 f(x)取最大值时 x 的集合. 解(1)当 2kπ - 即 kπ - π π π ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2

π π ≤x≤kπ + ,k∈Z 时,f(x)单调递增, 3 6

∴当 sin(2x+

π )=1 时,f(x)有最大值为 2×1+a+1=4,∴a=1; 6

π π π (3)当 x∈R,f(x)取最大值时,2x+ = +2kπ ,k∈Z,∴x= +kπ ,k∈Z, 6 2 6 π ∴当 x∈R,使 f(x)取得最大值时 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z}. 6 19. 设函数 f ( x) ?

1 1? x ? lg x?2 1? x

⑴求 f ( x) 的定义域。 ⑵判断函数 f ( x) 的单调性并证明。 ⑶解关于 x 的不等式 f ? x ( x ? ) ? ? 2 ? 2 ? 解 : ( I )

?

1 ?

1

f ( x)

















数....................................................
7



x1



x2

?

? ?1,1?



x1 ? x2 ........................................................................
.
2 x2 x1 x2 ? x2 x12 ? x1 ? x1 x2 ( x ? x1 )(1 ? x2 x1 ) ? ? = 2 2 2 2 2 1 ? x2 1 ? x1 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) =

因为 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , 1 ? x2 x1 ? 0 所以有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 即 有

f ( x)

















数............................................................................ (II)因为 f ( x) 定义域为 ? ?1,1? 且关于原点对称,又 f (? x) = ? 所以 f ( x) 在定义域内为奇函数................ 由 f (t ? ) ? f (t ) ? 0 有 f (t ? ) ? ? f (t ) ? f (?t ) 又 f ( x) 在 ? ?1,1? 上单调递增 即 ?1 ? t ?

x = ? f ( x) 1 ? x2

1 2

1 2

1 ? 1 1? ? ?t ? 1 ...所以: t ? ? ? , ? . 2 ? 2 4?

解: (1) 设 g ? x ? ? a

x

? a ? 0且a ? 1? ,则 a3 ? 8 ,

?a=2, ? g ? x ? ? 2 x ,
(2)由(1)知: f ? x ? ?

n ? 2x , m ? 2 x ?1

因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 ∴ f ? x? ?

n ?1 ? 0 ? n ?1 , 2?m

1 ? 2x , 又 f (?1) ? ? f ?1? , 2 x ?1 ? m
8

1 1? 2 ? 2 =? ? m ? 2; m ?1 4?m 1?
(3)由(2)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 , ?? ? x x ?1 2?2 2 2 ?1

易知 f ( x) 在 R 上为减函数. 又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:

f ? 2t ? 3t 2 ? ? f ? t 2 ? k ? ? 0
等价于 f 2t ? 3t

?

2

? ? ? f ?t

2

? k ? = f ?k ? t2 ? ,
2 2

因 f ( x) 为减函数,由上式得: 2t ? 3t ? k ? t ,?? 即对一切 t ? R 有: 2t ? 2t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? ? ?2 ? ? 4 ? 2 ? k ? 0 ? k ?
2

1 . 2

x 21.已知函数 f ( x) ? ? x ? a ? x ? 2 , g ( x) ? 2 ? x ? 2 ,其中 a ? R .

(1)写出 f ( x) 的单调区间(不需要证明) ; ( 2 ) 如果对任 意实数 m ? ? 0,1? , 总 存在实 数 n ? ? 0, 2? ,使 得不等式 f (m) ? g (n) 成立, 求实数 a 的取值范围.

解: (1) f ( x ) ? ?

?( x ? a )( x ? 2) , x ? 2, ??( x ? a )( x ? 2), x ? 2.

①当 a ? 2 时, f ( x) 的递增区间是 (??, ??) , f ( x) 无减区间;

a?2 a?2 , ??) ;f ( x) 的递减区间是 (2, ); 2 2 a?2 ③ 当 a ? 2 时 , f ( x) 的 递 增 区 间 是 (??, ) , (2, ??) , f ( x) 的 递 减 区 间 是 2 a?2 ( , 2) . 2
②当 a ? 2 时,f ( x) 的递增区间是 (??, 2) , ( (2)由题意, f ( x) 在 [0,1] 上的最大值小于等于 g ( x) 在 [0, 2] 上的最大值. 当 x ? [0, 2] 时, g ( x) 单调递增,∴ [ g ( x)]max ? g (2) ? 4 . 当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ?( x ? a)( x ? 2) ? ? x ? (2 ? a) x ? 2a .
2

9

①当

a?2 ? 0 ,即 a ? ?2 时, [ f ( x)]max ? f (0) ? ?2a . 2 由 ?2a ? 4 ,得 a ? ?2 .∴ a ? ?2 ;

②当 0 ?

a ? 2 a 2 ? 4a ? 4 a?2 . )? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 0 时, [ f ( x)]max ? f ( 2 4 2

10


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