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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:导数在切线上的应用


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编:导数在切线上的应用

一、选择题 错误!未指定书签。 . (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)曲线 y

? ln ? x ? 2 ?


在点 P ? ?1, 0 ? 处的切线方程是 A. y ? x ? 1 B. y ? ?

x ? 1 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? ?2 x ? 1



y' ?
【答案】A【解析】

1 1 k? ?1 x ? 2 ,所以在点 P 处的切线斜率 ?1 ? 2 ,所以切线方程为
1 2
x

y ? x ? ( ?1) ? x ? 1 ,选 A.
错误!未指定书签。 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))曲线 y ? ( ) 在 x

? 0点

处的切线方程是 A. x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
【答案】B【解析】 y ' ? ( ) ln

( B. x ln 2 ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0



1 x 1 1 ? ? ln 2 ? ( ) x , y ' | x ?0 ? ? ln 2 即切线的斜率为-ln2.切点为 (0,1) ,所以 2 2 2 ②③④切线方程为 y ? 1 ? ? ln 2 ? ( x ? 0) ,即 x ln 2 ? y ? 1 ? 0 ,选 B. 错误! 未指定书签。 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 试题) 设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x
的图像在点 (t , f (t )) 处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t)的部分图像为

【答案】B

【解析】函数的导数为 f '( x) ? x sin x ? cos x ? x cos x ,即 k ? g (t ) ? t cos t .则函数 g (t ) 为奇函数,所 以图象关于原点对称,所以排除 A, C.当 0 ? t ?

?
2

时, g (t ) ? 0 ,所以排除排除 D,选 B.

错误!未指定书签。 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)若函数 f ( x) ? ?

1 ax e (a>0, b>0) b
( )

的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x ? y ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是
2 2

A.4

B. 2 2

C.2

D. 2

1 ax 1 a e ? a ,所以 f '(0) ? ? e0 ? a ? ? ,即在 x ? 0 处的切线斜率为 b b b a 1 1 1 1 a k ? ? , 又 f (0) ? ? e0 ? ? , 所 以 切 点 为 (0, ? ) , 所 以 切 线 方 程 为 y ? ? ? x , 即 b b b b b b 1 ax ? by ? 1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 ax ? by ? 1 ? 0 的 距 离 d ? ? 1 , 即 a 2 ? b2 ? 1 , 所 以 2 2 a ?b 1 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2ab ,即 0 ? ab ? .又 a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 1 ,所以 (a ? b) 2 ? 2ab ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 , 2 即 a ? b ? 2 ,所以 a ? b 的最大值是 2 ,选 D. 错误!未指定书签。 . (山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)若曲线 f ? x ? ? a cos x 与
【答案】D 函数的导数为 f '( x ) ? ?

曲线 g ? x ? ? x ? bx ? 1 在交点 ? 0, m ? 处有公切线,则 a ? b ?
2

( D.2



A. ?1

B.0

C.1

【答案】C 错误!未指定书签。 . (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知偶函数 f (x) 在

R 上的任一取值都有导数,且 f '(1) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f (x) 在 x ? ?5 处的切线的斜 率为 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】D 【 解析】 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 得 f ( x ? 4) ? f ( x), 可知函数的周期为 4,又函数 f (x) 为偶函数,所以 由

f ( x ? 2) ? f ( x ? 2)=f (2 ? x) , 即 函 数 的 对 称 轴 为 x ? 2 , 所 以 f (?5) ? f (3) ? f (1) , 所 以 函 数 在 x ? ?5 处的切线的斜率 k ? f '(?5) ? ? f '(1) ? ?1 ,选 D.
错误!未指定书签。 .(2012 年大纲版高考压轴卷)过原点与曲线 y ?

A. y ?

1 x 2

B. y ? 2 x

C. y ? x

x ? 1 相切的切线方程为 ( 1 D. y ? x 3



错误! 未指定书签。 . (山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ) 设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x

【答案】A

的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k ,则函数 k ? g ? t ? 的图像为

?

?

【答案】B 错误!未指定书签。 . (山东省济宁邹城市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)设曲线 y

?

点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 直,则 a= A.2
【答案】B 错误!未指定书签。 (2012 西安五大名校押题试题数学文)函数 .

x ?1 在 x ?1


( D.

B.-2

C.-

1 2

1 2

1 f ? x ? ? ln ,则此函数图像在点 ?1, f ?1? ? 处 x
( ) D.
4

的切线的倾斜角为 A.0
【答案】D

B.

? 4

C.

? 2

3? 4
2

, 错误!未指定书签。 (2013 大纲卷高考数学(文))已知曲线 y ? x ? ax ? 1 在点 ? ?1 a ? 2 ? 处切线的斜率 .
为 8,则 a= A. 9 ( B. 6 ) C. -9 D. -6 y? |x ??1 ? (4 x3 ? 2ax) |x ??1 ? ?4 ? 2a ? 8 ,则 a ? ?6 .故选 D 【答案】D 【解析】由题意知
2 ? cos x 在 sin x

错误! 未指定书签。 (山东省烟台市 2011—2012 学年度高三第二学期数学检测(理科))设曲线 y ? .

点 ( , 2) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于 2 A.2 B.-2 C.-1 【答案】D
二、填空题

?

( D.1



错误! 未指定书签。 山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学 . ( (理) 试题) 若函数

f ( x) ?

2x 在点 (2, f (2)) x ?1
2

处的切线为 l ,则直线 l 与 y 轴的交点坐标为____ _____.

【答案】 (0,

32 ); 25
2

错误!未指定书签。 (2013 广东高考数学(文))若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 .

a ? ____________. 1 1 2 2 【答案】 ;因为 y ? ax ? ln x ,所以 y? ? 2ax ? ,因为曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 2 x 1 x 轴,所以 y? x ?1 ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 a ? ; 2 错误!未指定书签。(山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学(理)试题)已知函数 f ( x ) 的图像在点 . M (1, f (1)) 处的切线方程是 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 f (1) ? f ?(1) ? ________. 5 【答案】 3 错误!未指定书签。(山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学)已知函数 f ( x) 的导函数为 . f ' ? x ? , 且 满 足 f ? x ? 2 x?' f? 1 ? l n x f ? x ? 在 点 M ( 1f ,? ? 1处) 的 切 线 方 程 为 , 则 ?
_____________________
【答案】 x ? y ? 1 ? 0

【解析】函数的导数为 f '( x) ? 2 f '(1) ?

解 得 f ' ( 1? ? , 即 f ? x ? ? 2 xf ' ?1? ? ln x ? ?2 x ? ln x ) 1 三解答题

,所以

1 ,令 x ? 1 ,所以 f '(1) ? 2 f '(1) ? 1 , x f ( 1 ) ? 2? l n ? ? 2 ? 1

,所以在点

M (1, ?2) 处的切线方程为 y ? (?2) ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 (2012 年 高 考 ( 广 东 理 )) 曲 线 y ? x3 ? x ? 3 在 点 ?1 , 3 处 的 切 线 方 程 为 . ?

___________________. 【答案】解析: 2 x ? y ? 1 ? 0 . y? |x ?1 ? 3 ?12 ? 1 ? 2 ,所以切线方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .
错误!未指定书签。 (2013 江西高考数学(文))若曲线 y ? x ? 1 (α ∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点, .
?

则 α =_________.
【答案】2

解: y? ? ? x

? ?1

,则 k ? ? ,故切线方程 y ? ? x 过点(1,2)解得 ? ? 2

错误!未指定书签。 (2013 广东高考数学(理))若曲线 .

y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则

k ? ______.
1 x ,依题意 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?1 . 【答案】 ?1 ;求导得 错误!未指定书签。 (2012 年高考(课标文))曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为________ . 【答案】 【解析】∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 . 1 3 ? 4? 错误! 未指定书签。 (2012 年浙江省高三名校交流模拟卷(文数))曲线 y ? x ? x在点 ?1, ? 处的切线与两 . 3 ? 3? y? ? k ?
坐标轴所围成的三角形面积是__________.

1 4 1 2 2 解析: y? ? x ? 1, 切线方程y ? ? 2( x ? 1) ,与两两坐标轴的交点是 ( , 0), (0, ? ) ,所求三 9 3 3 3 1 1 2 1 角形面积为 ? ? ? ? . 2 3 3 9 错误!未指定书签。 (2012 密云高三一模数学文科)如图 2 所示,函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线方程 .
【答案】



y ? ? x ? 8 ,则 f ? 5 ? ? ________, f ? ? 5 ? ? ________.

y

y ? ?x ? 8
P

O 图2

5

x

【答案】 3 ; ?1


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