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高中数学必修二知识点总结

时间:2013-04-20


高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1、棱柱

定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
ABCDE ? A' B &

#39; C ' D ' E '

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平 行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。 2、棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五 棱锥等 ' ' ' ' ' 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相 似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 3、棱台

定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部 分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五 棱台等 表示:用各顶点字母,如四棱台 ABCD—A'B'C'D' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧 棱交于原棱锥的顶点 4、圆柱

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半 径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 5、圆锥

定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围 成的几何体

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图 是一个扇形。
6、圆台

定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部 分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③ 侧面展开图是一个弓形。 球体

定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何 体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半 径。 ※空间几何体的结构特征:面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶 点、轴 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与平行投影 中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

2、三视图 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下

画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图:斜二测画法 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱 (4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 ' (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为 母线)
S 直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

1 S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? 2 ch'
S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V圆柱 ? S h ? ?
2

r h

1 V锥 ? Sh 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' 2 2 V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r ? rR ? R )h 3 3


(4)球体的表面积和体积公式:V

4 3 ?R =3

; S 球面 = 4? R

2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

?平面:公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线 在 此平面内。 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 只有一条过改点的公共直线 ?线线关系:1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都 适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据 ?线面位置关系 (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A 4、面面关系 平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1、线面平行判定

a∥α

定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平 面平行,符号表示: 作用:直线与平面的判定定理 2、面面平行 定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平 行, 作用:证面面平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 1、线面垂直 定理:一条直线与一个平面内的两条直线都垂直,则该直线与此平面 垂直。 作用:证线面垂直 线面角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。 ※在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的 垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂 直性质易得垂线。 2、面面垂直 (1)定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 作用:证面面垂直 (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 (3)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面 角。 (4)直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直; 反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 (5)求二面角的方法 ?定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱 的射线得到平面角 ?垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面两 个面的交线所成的角为二面角的平面角 3、垂直关系的性质定理 ①线面垂直性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行。 ②面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此, 倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾 斜程度。 当 ? ? ?0 ,90 ?时, k ? 0 ; k 不存在。
? ?

? ? ? 当 ? ? ?90 ,180 ? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时,

k?

②过两点的直线的斜率公式:

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

注意:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线 上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2 直线的方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用 点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ?

x y ? ?1 ④截矩式: a b

其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距 分别为 a, b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 注意:○各式的适用范围 1 ○特殊的方程如: 2 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数); 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线 系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ? x0 , y0 ? ; (ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直 线系方程为 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数),其中直线 l 2 不在直线系 中。 (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

交点坐标即方程组

的一组解。

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 B 2、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点, 3、点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离
d? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

则 | AB |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

4、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点 为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程
2 2 2 (1)标准方程 ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r;
2 2 (2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ?

? D E? ? ? ,? ? 2 2?

,半径为

1 r? D 2 ? E 2 ? 4F 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不 表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条 件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来 确定圆心的位置。 4.2 直线、圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列 两种方法判断: 2 2 2 (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 C ?a, b? 到 l
2 2 2 2

的距离为

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ;
2 2 2

d ? r ? l与C相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,先将方程联立消 元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相 切的问题,其中 ? x0 , y 0 ? 表示切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程:

①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 2
xx0 ? yy0 ? r

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 2、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之 间的大小比较来确定。 2 2 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ?x ? a 2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大 小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一 条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切 线; d ? R?r 当 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; d ? R?r 当 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

4.3 空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D A B C 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
, , , ,

(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形 成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指 指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z) 来 表示,有序实数组 ( x, y, z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记作 M ( x, y, z) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做 点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ?
( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2


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