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2011年4月金太阳高考 数学(理科卷)


2011 年 4 月金太阳高考 数学(理科卷)
一、选择题:本大题 共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. (1)已知全集 U=R,集合 M={x||x-1| ? 2},则 CU M= (A){x|-1<x<3} (2) 已知 ( )

(B){x|-1 ? x ? 3} (C)

{x|x<-1 或 x>3} (D){x|x ? -1 或 x ? 3} )

a ? 2i a ? 2i ? b ? i, ? b ? i (a,b∈R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b=( i i

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 (3) 在空间,下列命题正确的是 ( (A)平行直线的平行投影重合 ( B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 (4)设 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= ( (A) 3 (B) 1
2
x





(C)-1

(D)-3 )

(5) 已知随机变量 Z 服从正态分布 N (0,e ) ,若 P(Z>2)=0.023,则 P(-2≤Z≤2)= ( (A)0.477
2 3

(B)0.625

(C)0.954

(D)0.9 77 ( )

(6)由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为 (A)

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

(7)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位、节目 乙不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位, 该台晚会节目演出顺序的编排方案共( ) (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 (8)设 {an } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是数列 {an } 是递增数列的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件、 (D)既不充分也不必要条件 ( )

? x ? y ? 2 ? o, ? (9)设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0, ,则目标函数 z=3x-4y 的最大值和最小值 ? x ? y ? 8 ? 0, ?
分别为 (A)3,-11 (B) -3, -11 (10)定义平面向量之间的一种运算“ ( (C)11, -3 (D)11, 3 ”如下,对任意的 a=(m,n) , b ? (p,q) ,令 ( B. a ) )

a

下面说法错误的是 b=mq-np , A.若 a 与 b 共线,则 a

b=0

b=b

a

C.对任意的 ? ? R ,有 (?a)

b=?( a
1

b)

D. (a

b)2 +(ab)2 =|a|2 |b|2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ( 11 ) 执 行 右 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 x ? 10 , 则 输 出 y 的 值 为 .

( 12 ) 若 对 任 意 x>0 , 是 .

x ?a 恒成立,则 a 的取值范围 x ? 3x ? 1
2

(13)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ?

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为



(14)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被 圆 C 所截得的弦长为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 .

(15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 的解集为 __________ __ . B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt ?ABC 的两条直角边
A

AC, BC 的长分别为 3cm,4cm ,以 AC 为直径
的圆与 AB 交于点 D ,则

D O

BD ? __________ . DA

B

C

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程 ?

? x ? cos? ( ? 为参数), 以原点为极 ? y ? 1 ? sin ?

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的 交点的直角坐标为 __________ __ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分)已知函数

π 1 1 1 ?? ? . f ? x ? ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? ,其图象过点( , ) 6 2 2 2 ?2 ?
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,求函数 g ? x ? 在[0,

1 ,纵坐标 2

π ]上的最大值和最小值. 4

2

(17) (本小题满分 12 分) 已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点 M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角线 BD'的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线; D? C? (Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; A? (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积.
w_w w. k#s5 _u.c o *m

B?

M? D A

?O
C
B

(18) (本小题满分 12 分) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A, B, C , D 四个问题,规则如下: ① 每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A, B, C , D 分别加 1 分、2 分、3 分、 6 分,答错任一题减 2 分; ② 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当 累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局,当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束 ,进入下一 轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 A, B, C , D 顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题 A, B, C , D 回答正确的概率依次为 之间没有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅱ)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列和数学的 E? .

3 1 1 1 , , , ,且各题回答正确与否相互 4 2 3 4

3

(19) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? ax(a ? 0) 。 (1)当 a=1 时,求 f ? x ? 的单调区间。 (2)若 f ? x ? 在 ? 0, 1? 上的最大值为

1 ,求 a 的值。 2

(20) (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(21) (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 a2 b2 2

点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶 点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立? 若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.

4

5


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