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高三数学数列综合练习题

时间:2015-03-18


高三数学数列综合练习题
1、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=

( D.176 ( D. ??



A.58
2.已知

B.88

C.143

?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ?

2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?
B. 5 C. ??



A. 7

3、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n ∈N*,则 S10 的值为( (A). -110 ) (B). -90 (C). 90 (D). 110 ) D.31

4、设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 S5 等于( A.7 B.15 C.30

5.夏季高山上气温从山脚起每升高 100 m 降低 0.7 ℃,已知山顶的气温是 14.1 ℃,山脚的气 温是 26 ℃.那么,此山相对于山脚的高度是( ) A.1500 m B.1600 m C.1700 m D.1800 m 6、公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 是 a3与a7 的等比中项,S8 ? 32 ,则 S10 等于 ( A.18 ) B.24 C.60 D.90 ) D. (-∞, -1]∪[3, +∞)

7.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.[3,+∞)

8. 满足 a1 ? 1,log2 an?1 ? log2 an ? 1(n ? N* ) , 它的前 n 项和为 Sn , 则满足 Sn ? 1025 的最小 n 值是( A.9 ) B.10 C.11 D.12

9、设数列 ?an ? ,?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? _________ 10.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2012 ? ___________. 2

11、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 , 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) ,数列 ?bn ? 满足
bn ? b1 ? 2 , an bn?1 ? 2an?1bn .(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求证:数列 ? ? ? 为等比数列;并 ?n?

求数列 ?bn ? 的通项公式.

12.已知数列 an 满足 a1 ? 2a 2 ? 2 a3 ? ? ? ? ? 2
2

n ?1

an ?

n (n ? N * ) 2

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项;(Ⅱ)若 bn ?

n 求数列 ?bn ? 的前 n 项 S n 和 an

13、数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t ,点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 y ? 3x ? 1 上, n ? N? .(Ⅰ)当实 数 t 为 何 值 时 , 数 列 {an } 是 等 比 数 列 ? (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的 结 论 下 , 设

bn ? log 4 an?1 , cn ? an ? bn , Tn 是数列 {cn} 的前 n 项和,求 Tn 。

1 1 ? ? 1. an ? ? a ? 0 1 ? a 1 ? a 1 n ? 1 n 14、设数列 满足 且
(Ⅰ)求

?a n? 的通项公式;
bn ? 1 ? an?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1 n

(Ⅱ)设

15、等比数列

?an ? 中, a1, a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1, a2 , a3 中的任
第一列 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 3 6 9

何两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列

?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

高三数学数列综合练习题一
1. B 在等差数列中, 2. D a4

a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4

a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
3、 D 解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a7 =a3?a9,所以 a7 =(a7+8) (a7-4) ,所以 a7=8, 所以 a1=20,所以 S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选 D 4、 B 5、 C 6、 C
2 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,
2 2

由等差数列通项公式得: 5 ? 1 ? 2d , d ? 2, a1 ? ?1, S5 ? 15

56 d ? 32 得 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 2 90 ? d ? 60 .故选 C. 所以 S1 0 ? 10a 1 2
再由 S8 ? 8a1 ?
7. B
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5

1 1 8.D 解析:设 a1=x,且 x≠0,则 S3=x+1+x,由函数 y=x+x的图像知: 1 1 x+x≥2 或 x+x≤-2,∴y∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 9、 C 因为 a1 ? 1,log2 an?1 ? log2 an ? 1(n ? N* ) 则满足 Sn ? 1025 的最小 n 值是 11; 10、C 1 1 2 1 2 3 1 将数列分为第 1 组一个,第 2 组二个,…,第 n 组 n 个,( ),( , ),( , , ),…,(n, 1 2 1 3 2 1 n 2 5 ,…, ),则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1,则 为第 10 组中的第 5 个,其项数为 1 6 n- 1 (1+2+3+…+9)+5=50 , 所以

an?1 ? 2an , an ? 2 n?1 , S n ? 2n ? 1 ,

11、35 (解法一)因为数列 {an },{bn }都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质 , 得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? , 即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 , 解得

a5 ? b5 ? 35 .
(解法二)设数列 {an },{bn }的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d2 ) ? 21, 所以 d1 ? d2 ? 7 .所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 35 . 12、 S n ?

n 2n ? 1

因为 S n ? n(2n ? 1)an , S n?1 ? (n ? 1)(2n ? 3)an?1 (n ? 2) , 两式相减得 (2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1, (n ? 2) ,求得 a n ?
13. 2 n ? 1
2

1 4n ? 1
2

, Sn ?

n 2n ? 1

解析:设公差为 d ( d ? 0 ),则有 1 ? 2d ? ?1 ? d ? ? 4 ,解得 d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 .
14、 3018

由 an ? n cos

n? ? 1 ,可得 S2012 ? (1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1 ? 2

? 2012 ?1) ? 2012

? (?2 ? 4 ? 6 ?
15(1)由已知 ?

? 2010 ? 2012) ? 2012 ? 2 ? 503 ? 2012 ? 3018

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22.

解得

1 为公比的等比数列 4
16.(Ⅰ)

2an ? an?1 ? an?1 ? 数列 ?an ? 为等差数列……3 分又 a1 ? 1, a2 ? 2 所以 d ? a2 ? a1

? 2 ? 1 ? 1, 数列 ?an ? 的通项 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n …………6 分
(Ⅱ)∵ an ? n ,∴ nbn?1 ? 2(n ? 1)bn .∴

bn ?1 b b1 bn ? ? 2 为首项, ? 2 ? n . 所以数列 ? ? ? 是以 1 ?n? n ?1 n

bn ? 2 ? 2 n ?1 ? bn ? n ? 2 n n 1 n a1 ? 2a 2 ? 2a3 ? ? ? ?2 n?1 a n ? ………………(1) 17(Ⅰ) n ? 1时a1 ? 2 2 n 1 n ? 2时 a1 ? 2a 2 ? 2a3 ? ? ? ?2 n ?2 a n ?1 ? ………..(2) 2 1 1 1 1 n ?1 (1)-(2)得 2 a n ? 即 a n ? n 又 a1 ? 也适合上式? a n ? n 2 2 2 2
q ? 2 为公比的等比数列…………10 分?
(Ⅱ) bn ? n ? 2n

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2n
2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 1? 2

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?
? Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2

18(Ⅰ)∵点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 y ? 3x ? 1 上∴ an?1 ? 3Sn ? 1,

an ? 3Sn?1 ? 1,(n ? 1) ...2 分

an?1 ? an ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 3an , , ∴ an?1 ? 4an , n ? 1 ......4 分 a2 ? 3S1 ? 1 ? 3a1 ? 1 ? 3t ? 1, ∴当 t=1 时, a2 ? 4a1, 数列 {an } 是等比数列。.....6 分
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下, an?1 ? 4an ,

an?1 ? 4n ,

...........8 分 .....10 分

bn ? log4 an?1 ? n ,....9 分 cn ? an ? bn ? 4n?1 ? n ,
Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (40 ? 1) ? (41 ? 2) ? ... ? (4n?1 ? n) ? (1 ? 4 ? 42 ? ... ? 4n?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ?

4n ? 1 (1 ? n)n .......12 分 ? 3 2

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an 14、解: (I)由题设
1 1 1 { } ? 1, 故 ? n. 1 ? a 1 ? a 1 ? a n 1 n 即 是公差为 1 的等差数列。 又
1 an ? 1 ? . n 所以
(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ,
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n

…………8 分

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1 …………12 分

15、解: (I)当 当 当

a1 ? 3 时,不合题意;

a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; a1 ? 10 时,不合题意。

因此

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18,

所以公式 q=3, 故

an ? 2 ? 3n?1. bn ? an ? (?1)n ln an

(II)因为

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,

所以

S2n ? 2(1 ? 3 ?
所以

? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ?

? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ?

? (?1) n n]ln3,

当 n 为偶数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2

当 n 为奇数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2

? 3n ?

n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

综上所述,

? n n 3 ? ln 3 ? 1, n为偶数 ? ? 2 Sn ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2


2015高三数学数列测试题

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