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高2014级学生学业调研抽测试卷数学理科(第一次)

时间:2014-01-18


[机密]2014 年 1 月 15 日前

高 2014 级学生学业调研抽测(第一次) 数学试题卷(理科)
数学试题卷(理科)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡

皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并收回。 特别提醒: 14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ? x | x ? 1? ,则 A ? ? UB ? A. x 1 ? x ? 2

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. ? x | x ? 1? 【

2. “ a ? 1 ”是“ a ? A.充分不必要条件 C.充要条件

a ”的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.函数 f ( x) ? 2 ? x ? 2 的零点所在区间是
x

1 1 B. ( ,1) 2 2 2 6 4. ( x ? ) 展开式中常数项为 x
A. (0, ) A. 60 零售价 x (元/瓶) 销量 y (瓶) B. ?60

C. (1, 2)

D. (2,3)

C. 250

D. ?250

5.某小卖部销售一品牌饮料的零售价 x (元/瓶)与销量 y (瓶)的关系统计如下:

3.0
50

3.2
44

3.4
43

3.6
40

3.8
35

4.0
28

? ? ?20 a ? ?a ? 其中 b ? ? 当单价为 4.2 y ? bx 已知 x, y 的关系符合线性回归方程 ? , , ? y ? bx .
元时,估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为 A. 20 B. 22 C. 24 D. 26

数学试卷(理科) 第 1 页 共 9 页

6.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,切点分别为 a 2 b2

A 、 B ,双曲线左顶点为 M ,若 ?AMB ? 1200 ,则该双曲线的离心率为
A. 2 B.

3

C. 3

D.

2

?x ? y ? 4 ? 0 ? 2 7. 设点 ( a, b ) 是区域 ? x ? 0 内的随机点, 函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间[ 1, ?? ) ?y ? 0 ?
上是增函数的概率为 A.

1 4
??? ? ??? ?

B.

2 3

C.

1 3
??? ?

D.

1 2
??? ? ?

8.设 F 为抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点, A, B, C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 | FA | ? | FB | ? | FC | 的值为 A. 36 B. 24 C. 16 D.12

??? ?

??? ?

9.在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于 P 点,一分钟后,其 位置在 Q 点,且 ?POQ ? 90? ,再过两分钟后,该物体位于 R 点,且 ?QOR ? 30? ,则

tan ?OPQ 的值为
A.

3 2

B.

2 3 3
2

C.

3 2
2

D. 【来源:全,

2 3

10. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) , 且 f ( y ? 2 y ? 3) ? f ( x ? 4 x ? 1) ? 0 , 则当 y ? 1 时,

y 的取值范围是 x ?1 1 3 A. [ , ] 4 4

B. [0, ]

3 4

C. [ , ]

1 4 4 3

D. [0, ]

4 3

二.填空题:本大题 6 个小题,考生作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在 答题卡相应的位置上.

? ? ? ? 11.设向量 a ? (2, ?1) , b ? (3, 4) ,则向量 a 在向量 b 上的投影为
12. 已知函数 f ( x) ? ?

. .

?log 3 x, ( x ? 0)
x ?9 , ( x ? 0)

,则 f [ f (?2)] ?

13.任取集合 {1, 2,3, 4,5,6,7,8} 中的三个不同数 a1 , a2 , a3 ,且满足 a2 ? a1 ? 2 ,a3 ? a2 ? 3 , 则选取这样三个数的方法共有 种.(用数字作答)

数学试卷(理科) 第 2 页 共 9 页

考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.如图, BD 是半圆 O 的直径, A 在 BD 的延长线上,

AC 与半圆相切于点 E , AC ? BC ,若 AD ? 2 3 , AE ? 6 ,则 EC ?
. 第 14 题图 15.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点 P 为

?x ? t ? 直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 上一点, 点 Q 为曲线 ? 上一点, 则 | PQ | 1 2 (t 为参数) y ? t ? ? 4
的最小值为 . .

16. 若函数 f ( x) ? | x ? 2 | ? | x ? m | ?4 的定义域为 R , 则实数 m 的取值范围为

三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理 过程,并答在答题卡相应的位置上. 17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? a ln x (a ? 0) .
2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)设函数 f ( x) 图象上任意一点的切线 l 的斜率为 k ,当 k 的最小值为 1 时,求此时切 线 l 的方程.

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 为了参加 2013 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出 12 人组成男 子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 人数 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁

4

4

2

2

该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率; (Ⅱ) 设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ? , 求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 数学试卷(理科) 第 3 页 共 9 页

19. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? cos x( a sin x ? cos x) ? cos (
2

?

? x) 满足 f (? ) ? f (0) . 2 3

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)设锐角△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 且

a 2 ? c2 ? b2 c , 求 f ( A) 的取值范围. ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 3S n ? 4an ? 4 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an , Tn ? 求使 k

1 1 1 ? ??? , c1 c2 cn

n?2n ? (2n ? 9)Tn 恒成立的实数 k 的取值范围. n ?1

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分. ) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? 3, 0) 、 F2 ( 3, 0) , a 2 b2
?

椭圆上的点 P 满足 ?PF1 F2 ? 90 ,且△ PF1 F2 的面积为 S ?PF1F2 ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 . 2

(Ⅱ)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A 、 B ,过点 Q (1, 0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M 、

N 两点,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R ,证明:点 R 总在直线 BM 上.

22. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分. ) 已知函数 f ( x) ? tx ? t ? ln x (t ? 0) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数,求实数 t 的取值范围; (Ⅱ)当 n ? 2 且 n ? N 时,证明:
*

1 1 1 ? ?? ? ln n . ln 2 ln 3 ln n

数学试卷(理科) 第 4 页 共 9 页

高 2014 级学生学业调研抽测(第一次)
数学(理科)参考答案及评分意见
一. 选择题:1-5:D C B A D 二. 填空题: 11. 三.解答题: 17.解: (I) f ( x) 的定义域为( 0, ?? )时,????????????????1 分 当 a ? 1 时, f '( x) ? 2 x ? 3 ?
2

6-10:D C B B A 13. 10 14. 3 15.

2 5

12. ?4

3 2 2

16.(??, ?6] ? [2, ??)

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ???????????2 分 ? x x
1 , 2

由 2 x ? 3 x ? 1 ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 由 2 x ? 3x ? 1 ? 0 得 x ?
2

1 1 2 ,或 x ? 1 ,由 2 x ? 3 x ? 1 ? 0 得 ? x ? 1 ,???3 分 2 2 1 1 ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) ;单调递减区间为 ( ,1) ????5 分 2 2
∴ f ( x) 极大值为 f ( 1 ) ? ? 5 ? ln 2 ;极小值为 f (1) ? ?2 ?????????7 分 2 4 (II)由题意知 f '( x) ? 2 x ? 3 ? 此时 2 x ?

a ? 2 2a ? 3 ? 1 x

∴ a ? 2 ????????9 分

a 2 ,即 2 x ? ,∴ x ? 1 ,切点为 (1, ?2) ,??????????11 分 x x

∴此时的切线 l 方程为: x ? y ? 3 ? 0 . ???????????????13 分 18.解: (I) “从这 12 名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件 A ,
2 2 2 2 C4 ? C4 ? C2 ? C2 7 .????????????????6 分 ? 则 P ( A) ? 2 33 C12

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 ??????????????????7 分 则 P (? ? 0) ?
0 2 1 1 2 0 C4 C8 14 C4 C8 16 C4 C8 1 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , , 2 2 2 33 33 11 C12 C12 C12

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

数学试卷(理科) 第 5 页 共 9 页

P

14 33

16 33

1 11

?????????????????????????????10 分

14 16 1 2 ?????????????????13 分 ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3 a 2 ? 19.解: (I) f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos ( ? x) ? sin 2 x ? cos 2 x ????2 分 2 2
∴ E? ? 0 ? 由 f (? ∴

?
3

) ? f (0) 得: ?

3a 1 ? ? ?1 ,∴ a ? 2 3 ??????????4 分 4 2

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ??????????????????5 分 6 ? ? 3 ? 5 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? 得: k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 2 6 2 3 6 ? 5 ∴ f ( x) 的单调递减区间为: [k? ? , k? ? ? ] ??????????7 分 3 6
(II)∵ 分 , 2a cos B ? c cos B ? b cos C 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C , 即 由 正 弦 定 理 得 :

?

a 2 ? c2 ? b2 c 2ac cos B c cos B c ,由余弦定理得: ,?8 ? ? ? 2 2 2 2a ? c 2ab cos C b cos C 2a ? c a ?b ?c

1 ? ,∴ B ? ????????11 分 2 3 ? ? ? ? 5? ∵△ ABC 锐角三角形,∴ ? A ? , ? 2 A ? ? ???????12 分 6 2 6 6 6

2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A , cos B ?

) 的取值范围为 (1, 2] . ????????????13 分 6 20.解: (I)由 3S n ? 4an ? 4 可得 a1 ? 4 ,???????????????1 分
∵ 3S n ? 4an ? 4 , ∴ 3S n ? 3S n ?1 ? (4an ? 4) ? (4an ?1 ? 4) , ∴ 3an ? 4an ? 4an ?1 ,即

∴ f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

an ? 4 , ?????????????????3 分 an ?1
n 2n

∴数列 {an } 是以 a1 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列,∴ an ? 4 ? 2 .???5 分 (Ⅱ) cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ? 2 ? 4 ? ? ? 2( n ? 1) ? 2n ? n( n ? 1) ?7 分 数学试卷(理科) 第 6 页 共 9 页

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ??? ? c1 c2 cn 1 ? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ? 1

?????????8 分

由k

n?2n 2n ? 9 恒成立; ? (2n ? 9)Tn 对任意 n ? N * 恒成立,即实数 k ? n ?1 2n

2n ? 9 2(n ? 1) ? 9 2n ? 9 11 ? 2n , d n ?1 ? d n ? , ? ? n 2 2n ?1 2n 2n ?1 ∴当 n ? 6 时,数列 {d n } 单调递减, 1 ? n ? 5 时,数列 {d n } 单调递增;?????10 分 1 3 3 又 d5 ? ,∴数列 {d n } 最大项的值为 d 6 ? ? d6 ? 32 64 64 3 ∴k ? ??????????????????????????12 分 64
设 dn ? 21.解: (Ⅰ)由题意知: F1 F2 ? 2c ? 2 3 ,?????????????????1 分

?椭圆上的点 P 满足 ?PF1F2 ? 90? ,且 S?PF1F2 ?
? S?PF1F2 ?

3 , 2

1 1 3 F1 F2 ? PF1 ? ? 2 3 ? PF1 ? . 2 2 2

? PF1 ?

1 , PF2 ? 2

F1F2 ? PF1 ?

2

2

7 . 2

? 2a ? PF1 ? PF2 ? 4, a ? 2 ??????????????????????2 分
又? c ? 3,? b ?

a 2 ? c 2 ? 1 ?????????????????????3 分

?椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????4 分 4

(Ⅱ)由题意知 A(?2, 0) 、 B (2, 0) ,

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时,M (1,

3 3 3 ) 、N (1, ? ) , ( x ? 2) , 则 AN 的方程是:y ? ? 2 2 6

BM 的方程是: y ? ?

3 ( x ? 2) ,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R(4, ? 3) , 2
数学试卷(理科) 第 7 页 共 9 页

∴点 R 在直线 BM 上. ??????????????????????????6 分 (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

R(4, y0 )
? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

8k 2 4k 2 ? 4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ???????????????????7 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

??? ? ???? 6 y2 ??????8 分 AR ? (6, y0 ) , AN ? ( x2 ? 2, y2 ) , A, N , R 共线,∴ y0 ? x2 ? 2
又 BR ? (2, y0 ) , BM ? ( x1 ? 2, y1 ) ,需证明 B, M , R 共线, 需证明 2 y1 ? y0 ( x1 ? 2) ? 0 ,只需证明 2k ( x1 ? 1) ?

??? ?

???? ?

6k ( x2 ? 1) ( x1 ? 2) ? 0 x2 ? 2

若 k ? 0 ,显然成立,若 k ? 0 , 即证明 ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? 3( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? 0 ∵ ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? 3( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ?2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8

?

?2(4k 2 ? 4) 5 ? 8k 2 ? ? 8 ? 0 成立,?????????????????11 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

∴ B, M , R 共线,即点 R 总在直线 BM 上. ???????????????12 分 22.解: (I)函数 f ( x) ? tx ? t ? ln x 的定义域为 (0, ??) .????????????1 分

f '( x) ? t ?
. ∵

1 1 ? 0 在 x ? [1, ??) 上恒成立,即 t ? 在 x ? [1, ??) 上恒成立,??2 分 x x

(Ⅱ)由(I)当 t ? 1 , x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ,又 f (1) ? 0 , ∴ x ? 1 ? ln x ? 0 (当 x ? 1 时,等号成立) ,即 x ? 1 ? ln x ?????????5 分 又当 x ? (0,1] 时,设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , 数学试卷(理科) 第 8 页 共 9 页

1 ?1 x

∴ t ? 1 ,∴ t 的取值范围为 [1, ??) ???????????????4 分

则 g '( x) ?

x ?1 ? 0 ∴ g ( x) 在 (0,1] 上递减, x

∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x 在 (0,1] 恒成立, ∴ x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? ln x ?①恒成立, (当且仅当 x ? 1 时,等号成立) ,??7 分 用 x 代替 x ? 1 , x ? ln( x ? 1) ?②恒成立(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) , ∴当 k ? 2 时, k ? N * ,由①得 k ? 1 ? ln k ,即 当 k ? 2 时, k ? N * ,

1 1 , ? ln k k ? 1

1 1 1 ? 0 ,由②得 ? ln(1 ? ). k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 * ∴当 k ? 2, k ? N 时, ? ln k ? ln(k ? 1) .??????10 分 ? ln(1 ? ) ,即 ln k ln k k ?1 1 1 1 ∴ ? ln 2 ? ln1 , ? ln 3 ? ln 2 , ? ln 4 ? ln 3 , ln 2 ln 3 ln 4 1 ? ln n ? ln(n ? 1) . ?? ln n 1 1 1 ∴ ? ?? ? ln n .???????????????????????12 分 ln 2 ln 3 ln n

数学试卷(理科) 第 9 页 共 9 页


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