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? ? F 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大 如果一个物体受到的回复力

机械振动和机械波 §5.1 简谐振动 5.1.1、简谐振动的动力学特点

小成正比,方向相反。即满足: F回 ? ? K x 的关系,那么这个物体的 运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律,物体的 加速度 加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比,方 何相反。 现有一

劲度系数为 k 的轻质弹簧, 上端固定在 P 点,下端固定一个质量为 m 的物体,物体平衡时的 位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松手,使其上 下振动,如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有
F回 ? F ? mg ? k ( x0 ? x) ? mg kx0

a?

F回 K ?? m m ,因此作简谐振动的物体,其

P

x

图 5-1-1

式 中 x0 为 物 体 处 于 平 衡 位 置 时 , 弹 簧 伸 长 的 长 度 , 且 有 ? mg ,因此
F回 ? k x

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。 因回复力指向平衡位置 O,而位移 x 总是背离平衡位置,所以回复 力的方向与离开平衡位置的位移方向相反,竖直方向的弹簧振子 也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动, 讨论起来极 A ? 不方便,为此。可引入一个连续的匀速圆周运 ?0 x O 动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振 动,以平衡位置 O 为圆心,以振幅 A 为半径作
图 5-1-2

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圆,这圆就称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点在参考圆上以角 速度 ? 作匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角为 ? 0 , 那么在时刻 t,参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 的夹角就成为 ? ? ?t ? ? 0 ,它在 x 轴上的投影点的坐标 x ? A cos(?t ? ? 0 ) (2) 这就是简谐振动方程,式中 ? 0 是 t=0 时的相位,称为初相: ?t ? ? 0 是 t 时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为 A? ,其方向与参考圆相切,这个 线速度在 x 轴上的投影是 v ? ? A? cos( t ? ? 0 ) ? (3) 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为 A? 2 ,其方向指向圆心,它在 x 轴 上的投影是
a ? ? A? 2 cos( t ? ? 0 ) ?

(4)

这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)、(4)可得
a ? ?? 2 x

由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
a? F k ?? x m m k m

因此有
?2 ?

(5) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以

T?

2? m ? 2? ? w k

5.1.3、简谐振动的判据 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即 为简谐运动: F ? ?kx ; ①物体运动中所受回复力应满足

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a ? ?? 2 x ; ②物体的运动加速度满足 x ? A cos( t ? ? 0 ) 。 ? ③物体的运动方程可以表示为 事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本 的,由它可以导出另外两个条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别 加以讨论。 5.2.1、弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力 k 为一个线性回复力,因此弹簧振子的运动是简谐振 m 动,振动周期

k

m T ? 2? k 。

m

图 5-2-1 (1)恒力对弹簧振子的作用 比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧 振子,如果 m 和 k 都相同(如图 5-2-1),则它们的振动周期 T 是相同的,也就是说,一个振动方向上的恒力不会改变振动的周 期。 如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 l0 ,振子的质 量为 m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长 ?l =0.10m,从 t=0 时,开始电 梯以 g/2 的加速度加速下降 t ? ?s ,然后又以 g/2 加速减速下降直至 停止试画出弹簧的伸长 ?l 随时间 t 变化的图线。 由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速 度的非惯性系,因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运 动中,惯性力是一个恒力,不会改变振子的振动周期,振动周期

T ? 2? / ? ? 2? / k m 因为 k ? mg / ?l ,所以 T ? 2? ?l g ? 0.2? ( s)

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都为
n ? t / T ? ? / 0.2? ? 5(次)

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当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此 力和重力 mg 的共同作用下,振子的平衡位置在
?l1 ?

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置在
?l2 ?

1 mg / k ? ?l / 2 2

的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次全振 动,因此两个阶段内振子的振幅都是 ?l / 2 。弹簧的伸长随时间变 化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以思考一下,如果电梯第二阶段 的匀减速运动不是从 5T 时刻而是 ?l 从 4.5T 时刻开始的,那么 ?l ~ t 图 2?l 线将是怎样的? ?l (2)弹簧的组合 设有几 个劲度系数分别为 k1 、k 2 ?? k n 的 O ? 2? t T 轻弹簧串联起来,组成一个新弹 图 5-2-2 簧组,当这个新弹簧组在 F 力作 用下伸长时,各弹簧的伸长为 x1 , 那么总伸长
x ? ? xi
i ?1 n

3 mg / k ? 3?l / 2 2

各弹簧受的拉力也是 F,所以有
xi ? F / ki
i ?1 故 根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

x ? F?

n

1 ki

k ?F/x
i ?1 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹 簧组,那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都

1/ k ? ?

n

1 ki

m
图 5-2-3

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伸长 x ,需要的外力
F ? ? ki x ? x ? ki
i ?1 i ?1 n n

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数
k?
n F ? ? ki x i ?1

导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后,在解题中要灵活 地应用,如图 5-2-3 所示的一个振动装置,两根弹簧到底是并联还 是串联?这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征:串联的本质 特征是每根弹簧受力相同;并联的本质特征是每根弹簧形变相同。 由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。 当 m 向下偏离平衡位置 ?x 时, 弹簧组伸长了 2 ?x , 增加的弹 力为
F ? 2?xk ? 2?x k1k 2 k1 ? k 2
k1k 2 4k k ? 1 2 ?x k1 ? k 2 k1 ? k 2

m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)
?F ? 2 ? 2?x

所以 m 的振动周期
T ? 2? m(k1 ? k 2 ) 4k1k 2

?

= 再看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 ?l1 时,弹簧 2 由平衡位置伸长了 ?l2 ,那么,由杆的平衡条件一定有 (忽略杆的质量) k ? ?l a ? k ?l b
1 1 2 2

m( k1 ? k 2 ) k1k 2

?l2 ?

k1 a ? ? ?l1 k2 b
b a
1

2

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降

k2

k1

m
图 5-2-4

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?x? ? ?l2

a k1 a 2 ? ? ? ?l1 b k2 b 2

因此物体 m 总的由平衡位置下降了
? k a2 ? ?x1 ? ?l1 ? ?x? ? ? 1 ? 2 ? 1??l2 ?k b ? ? 2 ?

此时 m 所受的合外力
k1k 2b 2 ?F ? k1?l1 ? ?x1 k1a 2 ? k 2b 2

所以系统的振动周期
T ? 2? m( k1a 2 ? k 2b 2 ) k1k 2b 2

(3)没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 mA 和 mB 的两木 块 A 和 B,用一根劲度系数为 k 的轻弹簧联接起来,放在光滑的 水平桌面上(图 5-2-5)。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放, 求系统振动的周期。 想象两端各用一个大小为 F、 方向相反的力将弹簧压缩, 假设 某时刻 A、B 各偏离了原来的平衡位置 x A 和 x B ,因为系统受的合 力始终是零,所以应该有 mA x A ? mB xB ① A、B 两物体受的力的大小 FA ? FB ? ( x A ? xB )k ② 由①、②两式可解得
FA ? k m A ? mB xA mB m ? mB FB ? k A xB mB

A
图 5-2-5

B

由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是
T ? 2? m A mB k ( m A ? mB )

此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧

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是不动的,所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为 l0 ,左边一
mB m A ? mB mA l0 k l0 段原长为 m A ? mB , 劲度系数为 mB ; 右边一段原长为 m A ? mB ,

m A ? mB k 劲度系数为 mB ,这样处理所得结果与上述结果是相同的,有

兴趣的同学可以讨论,如果将弹簧压缩之后,不是同时释放两个 物体,而是先释放一个,再释放另一个,这样两个物体将做什么 运动?系统的质心做什么运动? O 5.2.2、单摆 一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花 ? F 板上的 O 点,小球摆动至与竖直方向夹 ? 角,其受力 情况如图 5-2-6 所示。其中回复力,即合力的切向分 力为
F回 ? mg ? sin?

B

当 ? <5?时,△OAB 可视为直角三角形,切向分力 指向平衡位置 A,且
F回 ? mg x l k? mg l )

x mg

A

sin? ?

x l ,所以

图 5-2-6

F回 ? k x (式中

说明单摆在摆角小于 5?时可近似地看作是一个简谐振动,振 动的周期为
T ? 2? m ? 2? k l g

在一些异型单摆中, l 和 g 的含意 以及值会发生变化。 (1)等效重力加速度 g ? 单摆的等效重力加速度 g ? 等于摆 球相对静止在平衡位置时, 指向圆心的 弹力与摆球质量的比值。

O
?

图 5-2-7

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如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆,当摆球相对 静止在平衡位置时,绳子中张力为 m( g ? a) , a 因此该单摆的等效重力加速度为 g ? = g ? a 。 周 O 期为 再如图 5-2-7 所示, 在倾角为 ? 的光滑斜 面上有一单摆,当摆球相对静止在平衡位置 时,绳中张力为 mg sin? ,因此单摆的等效重
T ? 2? l g sin ?

T ? 2?

l g?a

?

A

f ? ma

mg
图 5-2-8

力加速度为 g ? = g sin? ,周期为 又如一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆,车厢以加速度 a 在 水平地面上运动(如图 5-2-8)。由于小球 m 相对车厢受到一个惯 性力 f ? ma ,所以它可以“平衡”在 OA 位置, , 此单摆可以在车厢中以 OA 为中心做简 谐振动。当小球相对静止在平衡位置 A 处时, 绳中张力为
g? ? a ? g
2 2

tga ?

a g

?

l

m a2 ? g 2

,等效重力加速度

m
图 5-2-9

,单摆的周期
T ? 2? l a ? g2
2

(2)等效摆长 l ? 单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点 的距离,而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如 图 5-2-9 中的双线摆,其等效摆长不是 l ,而 是 l sin? ,周期
l sin ? T ? 2? g

B D

?
A

l?

m
C

?
图 5-2-10

再如图 5-2-10 所示,摆球 m 固定在边长 为 L、质量可忽略的等边三角形支架 ABC 的

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顶角 C 上,三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动,AB 边与竖直 方向成 a 角。 当 m 作小角度摆动时,实际上是围绕 AB 的中点 D 运动,故 等效摆长
l ? ? L cos 30 0 ? 3 L 2

正因为 m 绕 D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向 D 点的 弹力为 mg sin a ,等效重力加速度为 g sin a ,因此此异型摆的周期
T ? 2? l? 3L ? 2? g? 2 g sin a

(3)悬点不固定的单摆 如图 5-2-11,一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上,车厢 中悬有一个摆长为 l ,摆球的质量为 m 的单摆。显然,当摆球来回 摆动时,车厢也将作往复运动,悬点不固定。 由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆,故取车厢为非 惯性系,摆球受到重力 mg,摆线拉力 N 和惯性力 ma M 的作用,如 图 aM 分析摆球 ? N N= mg cos? ? maM sin? ①(忽略摆 球向心力) M F ? mg s i n ? ma M c o ? ? s 回复力 maM mg ② 分析车厢: 图 5-2-11 N sin? ? MaM ③ 因为 ? 很小,所以可认为 sin? ? ? , cos? ? 1 , sin2 ? ? 0 则由①、③式可得
aM ? m g? M
m )? M

把它代入②
F ? mg (1 ?

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摆球偏离平衡位置的位移 所以 因此摆球作简谐振动,周期
T ? 2?

x ? ?l

F?

mg ( M ? m) x MI

ml ( M ? m) g T ? 2? l g

由周期表达式可知:当 M?m 时, 因为此时 M 基本不动,一般情况下,



T ? 2?

l g

§5.3 振动能量与共振 5. 3.1、简谐振动中的能量 以水平弹簧振子为例,弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧 的弹性势能构成,在振动过程中,振子的瞬时动能为:
EK ? 1 2 1 mv ? mA2? 2 sin 2 (?t ? ? ) 2 2 1 2 1 kx ? m? 2 A2 cos2 (?t ? ? ) 2 2 1 1 m? 2 A2 ? kA2 2 2

振子的瞬时弹性势能为:
Ep ?

振子的总能量为:
E ? EK ? E p ?

简谐振动中,回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值 k 以及 振幅 A F回 中,系统的机械能守恒。 如以竖直弹簧振子为例,则弹簧振子的能量 kx 由振子的动能、 重力势能和弹簧的弹性势能构成, 尽管振动过程中,系统的机械能守恒,但能量的 研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹 O
1 2 kA 都是恒量,即 2 是恒量,因此振动过程

x x

图 5-3-1

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力和重力共同提供的,而且是线性力(如图 5-3-1),因此,回复
1 2 kx 力做的功 2 (图中阴影部分的面积)也就是系统瞬时弹性势能

和重力势能之和,所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式, 式中 x 应指振子离开平衡位置的位移,则 E p 就是弹性势能和重力 势能之和,不必分开研究。 简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法, 这种方法不涉及振子所受的力,在力不易求得时较为方便,将势 能写成位移的函数,即 另有
??
k ? m

Ep ?

2E p 1 2 k? 2 kx x 2 ,


x
c
R
图 5-3-2

2E p mx 2

也可用总能量和振幅表示为
??
2E p mx 2

M

5.3.2、阻尼振动 简谐振动过程的机械能是守恒的,这类振动一旦开始,就永 不停止,是一种理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全避免, 在没有外来动力的条件下,振动总会逐渐减弱以致最后停息。这 种振幅逐渐减小的振动,称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。 ①振动模型与运动规律 如图 5-3-2 所示,为考虑阻尼影响的振动模型,c 为阻尼器, 粘性阻尼时,阻力 R=-cv,设 m 运动在任一 x 位置,由 ?F ? m? x 有
m? x ? ?kx ? cvx

分为 式中

ax ? 2nvx ? w2 x ? 0

(17)

n?

c 2m

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这里参考图方法不再适用,当 C 较小 x 时,用微分方程可求出振体的运动规律,如 图 4-22 所示。 ②阻尼对振动的影响 o 由图 5-3-3 可见, 阻尼使振幅逐渐衰减, 直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能 逐渐衰减为零。
c ?n 此外, 2m 愈大,即阻尼愈大,振幅衰

t

图 5-3-3

减愈快。而增大质量 m 可使 n 减小。所以, 为了减小阻尼,单摆的重球及弹簧振子往往 选用重球。 ③常量阻力下的振动 例 1、如图 5-3-4 所示,倔强系数为 250g/cm 的弹簧一端固定,另端连结一质量
??

k

1cm

x

图 5-3-4

为 30g 的物块, 置于水平面上, 摩擦系数 1cm 后静止释放。试求:(1)物块获得的最大速度;(2)物块经过 弹簧原长位置几次后才停止运动。 解:振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力, 并不断耗散系统的机械能,故不能像重力作用下那样,化为谐振 动处理。 (1)设首次回程中,物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的 x 位

1 4, 现将弹簧拉长

置时,达最大速度 由 再由能量守恒:



1 30 g ? mg? 4 ? 0.03(cm) x? ? kx ? mg? , k 250 g

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代入已知数据得
vmax ? 485 (cm / s)

1 2 1 1 2 kx0 ? mg? (1 ? 0.03) ? k ? 0.032 ? mvmax 2 2 2

(2)设物体第一次回程中,弹簧的最大压缩量为 x1? ,则
1 2 1 2 ? ? kx0 ? kx1 ? mg? ( x0 ? x1 ) 2 2 2mg? ? ? x0 ? x1 ? k

再设物体第一次返回中,弹簧的最大拉伸量为 x1 ,则
1 2 1 2 ? ? kx1 ? kx1 ? mg? ( x1 ? x1 ) 2 2 2mg? ? ? x1 ? x1 ? k

可见振体每经过一次弹簧原长位置,振幅减小是相同的,且 均为
2mg? ? k 2 ? 30 ?1000 ? 1 4 ? 3 (cm) 250 ?1000 50 1 ? 16 ?0.04(cm) ? 0.06cm 3 / 50

而 故物体经过 16 次弹簧原长位置后,停止在该处右方。 5.3.3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。 例如:扬声器的发声,机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律 如图 5-3-5 所示,为策动外力作用下的振动模型。其中,阻力 R=-cv,为常见的粘性阻尼力。 策动力 F=Hcospt,为简谐力时。 由 ?F回 ? ma x , max ? H cos pt ? cvx ? kx 化为 有 o 标准标式 x
? x ? 2nvx ? ? 2 x ? h cos pt

c
k m

式中

n?

c ?? 2m ,



h?

H m

R
图 5-3-5

F ? H cos pt M

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x

x

x

o

t

?

o

t

?

o

t

瞬态振动

静态振动

受迫振动

(a )

(b) 图 5-3-6

(c)

由微分方程理论可求得振子的运动规律 (2)受迫振动的特性 在阻尼力较小的条件下,简谐策动力引起的振动规律如图 5-3-6 所示。在这个受迫振动过程由两部分组成:一部分是按阻尼 系统本身的固有频率所作的衰减振动,称为瞬态振动(图(a)); 另一部分按策动力频率所作的稳定振动(图(b))。在实际问题 中,瞬态振动很快消失,稳态振动显得更加重要。稳态振动的频 率与系统本身的固有频率无关,其振幅与初位相也不由初始条件 确定,而与策动频率 p 密切相关。 5.3.4、共振—当策动力频率 p 接 c0 ? 0 近于系统的固有频率 ? 时受迫振动振幅 出现最大值的现象。 A 如图 5-3-7 所示的一组曲线,描述了 c1 ? c 2 ? c3 c 不同阻尼系统的稳态振幅 A 随策动力频 c1 2 率 p 改变而引起的变化规律。由图可见: A0 c3 1、当 p 接近 ? 时振幅最大,出现共 P ? 振。 O 2、阻尼越小,共振越大。 图 5-3-7 3、 p ? 0 时,振幅就是静力偏移,即
A0 ?

4、 ? 时, p>> 振体由于惯性, 来不及改变运动, 处于静止状态。

H k

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§5.4 振动的合成 若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一 般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响,这时物 体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后 的振动,由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动,叫 振动的合成。 5. 4.1、 同方向、同频率两简谐运动的合成 当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它在某一时刻的 位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。当两振动的频率相 同时,设此两振动的位移分别为
x1 ? A1 cos( t ? ?1 ) ? x2 ? A2 cos( t ? ? 2 ) ?

则合振动的位移应为
x ? x1 ? x2 ? A1 cos( t ? ?1 ) ? A2 cos( t ? ? 2 ) ? ? ? A1 cos?t cos?1 ? A1 sin ?t sin ?1 ? A2 cos?t cos? 2 ? A2 sin ?t sin ? 2 ? ( A1 cos?1 ? A2 cos? 2 ) cos?t ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) sin ?t ? A cos? cos?t ? A sin ? sin ?t ? A cos( t ? ? ) ?

上式中
A ? ( A1 cos?1 ? A2 cos? 2 ) 2 ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) 2

?

2 A12 ? 2 A1 A2 c o ? 2( ? ?1 ) ? A2 s

tg? ?

A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2

根据以上结论,进一步可以看到 ①若 ? 2 ? ?1 ? 0或2k? (k 为整数),则
cos( 2 ? ?1 ) ? 1 ?
A?
2 A12 ? 2 A1 A2 ? A2 ? A1 ? A2

即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动 的初位相同(或相差 2k? )

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②若 ? 2 ? ?1 ? ? 或 (2k ? 1)?
cos( 2 ? ?1 ) ? ?1 ?
A?
2 A12 ? 2 A1 A2 ? A2 ? A1 ? A2



即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于 A1 和 A2 的大小。即当 A1 ? A2 时,合振动的初位相等于 ?1 (?1 ? 2k? ) ;当 A2 ? A1 时,合振动的初位相等于 ? 2 (或? 2 ? 2k? ) ;当 A2 ? A1 时,则 A=0, 物体不会发生振动。 ③一般情况下,? 2 ? ?1 可以任意值,合振动的振幅 A 的取值范 围为
A1 ? A2 ≥ A ≥ A1 ? A2

5. 4.2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如
x1 ? A1 cos?1t x2 ? A2 cos? 2t

为简单起见, 我们已设 ? 2 ? ?1 ? 0 , 这只要适当地选取时间零点, 是可以做到的。如果再设 A1 ? A2 ? A ,则合振动
x ? x1 ? x2 ? A(cos?1t ? cos? 2t ) ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 A cos 1 t cos 1 t 2 2

由于 ?1 和 ? 2 相差不多,则有( ?1 ? ? 2 )比( ?1 ? ? 2 )大很多, x 由此,上一合振动可以看成是振幅为 T
2 A cos

?1 ? ? 2
2

t

(随时间变化)。角频率

o

为 2 的振动。 这种振动称为 “拍” 。 拍的位移时间图像大致如图 5-4-1 所 示。由图可见,振幅的变化周期 T ? 为
2 A cos

?1 ? ? 2

t

图 5-4-1

?1 ? ? 2
2

t

变化周期的一半,即

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T? ?

1 2 2? ? ? 2? ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2
v? ? 1 ?1 ? ? 2 ? ? v1 ? v2 T? 2?

或拍频为

? ? ? ?1 ? ? 2

5.4.3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时
x ? A1 cos( t ? ?1 ) ? y ? A2 cos( t ? ? 2 ) ?

合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为
x 2 y 2 2 xy ? 2? cos( 2 ? ?1 ) ? sin 2 (? 2 ? ?1 ) ? 2 A1 A2 A12

(6-17)

当 ? 2 ? ?1 ? 2K? 时, ( K ? 0,?1,?2??)
x 2 y 2 2 xy ? 2? ?0 A12 A2 A12



y?

A2 x A1 A2 A1

合成结果仍为简谐振动(沿斜率为 的直线作简谐振动)。 当 ? 2 ? ?1 = (2K ? 1)? 时, ( K ? 0,?1,?2??)
x2 y2 ? 2 ?1 A12 A2

可见,当 转方向不同。

? 2 ? ?1 ?

?

3 或 ? 2 2

时,合振动均为椭圆振动,但两者旋

§5.5 机械波 5.5.1、机械波 机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能

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量,而介质本身并不迁移。 自然界存在两种简单的波:质点振动方向与波的传播方向垂 直时,称为横波;与传播方向一致时,叫纵波,具有切变弹性的 介质能传播横波;具有体变弹性的介质可传播纵波,固体液体中 可以同时有横波和纵波,而在气体中一般就只有纵波存在了。 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波 长,也就是质点作一个全振动时,振动传播的距离。由于波上任 一个质点都在做受迫振动,因此它们的振动频率都与振源的振动 频率相等,也就是波的频率,在波动中,波长 ? 、频率 f 与传播速 度 v 之间满足 (1) 注意:波速不同于振动质点的运动速度,波速与传播介质的 密度及弹性性质有关。 5.5.2、波动方程 如图 5-5-1 所示, 一列横波以速度 v 沿 y v x 轴正方向传播,设波源 O 点的振动方程 为:
T v ? ?f ?

?

y ? A cos( t ? ? 0 ) ?

在 x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后 时间
tp ? x v ,即当

O

P

x

O 点相位为 (?t ? ? 0 ) 时,P
图 5-5-1

x ? ? ?? (t ? v ) ? ? 0 ? ? , ? ? 2?f 点的相位为 ? 由

,v ? ?f ,

f ?

l T

,P 点振动方程为
x ? ? y ? A cos?? (t ? ) ? ? 0 ? v ? ?

? A cos(2?ft ? ? 0 ?

2?x

? 2? 2?x ? A cos( t ? ? 0 ? ) T ?

)

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这就是波动方程,它可以描述平面简谐波的传播方向上任意 点的振动规律。当波向 x 轴负方向传播时, (2)式只需改变 v 的正 负号。由波动方程,可以 (1)求某定点 x1 处的运动规律 将 x ? x1 代入式(6-14),得
x 2? y1 ? A cos( t ? ? 0 ? 2? 1 ) T ? ? A c o ?t( ? ?1 ) s 2?x1 ?1 ? ? 0 ? ? 为 x1 质点作简谐振动的初相位。 其中

(2)求两点 x1 与 x 2 的相位差 将 x ? x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x 2 的相位差
?? ? ?1 ? ? 2 ? 2? x2 ? x1



x2 ? x1 ?

?
2

?

? 2k ( k

为整数),则 ?? ? 2k? ,则该两点同相,它
x2 ? x1 ? (2k ? 1)

?

2 为整数),则 们的位移和速度都相同。若 ?? ? (2k ? 1)? ,则该两点相位相反,它们的位移和速度大小相同, 速度方向刚好相反。 球面波的波动方程与平面波相比,略有不同,对于球面波, 其振幅随传播距离的增加而衰减,设离波源距离为 r1 处的振幅为 A1 ,离波源距离为 r2 处的振幅为 A2 。则有

(k

A1r1 ? A2 r2

即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为
y (r , t ) ?

式中 A 是与波源的距离为一个单位长度 处的振幅。 3、波的叠加和干涉

A 2? cos( t ? ? r) r ?

r1

P
r2

S1
d

{
S 2 ?r
图 5-5-2

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当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一 点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和,这叫做波的叠加 原理。 当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出 现某些地方振动增强,某些地方振动减弱的现象,叫做波的干涉, 这样的两列波叫相干波。 设有两列相干波自振源 S1 、S 2 发出,两振源的位相相同,空间 任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S 2 的距离为 r2 (图 5-5-2),则两列波 在 P 点产生的振动的相位差为
?? ? 2? r2 ? r1

当 ?? ? k ? 2? (k 为整数),即当波程差
?r ? r2 ? r1 ? 2k ?

?

?
2 时,P

点的合振动加强;

当 ?? ? (2k ? 1)? ,即当波程差 点的合振动减弱, 可 i i 见 P 点振动的强弱由波程差 ?r ? r2 ? r1 决定,是 P C 点位置的函数。 C r 总之,当某一点距离两同位相波源的波程差 等于零或者是波长的整数倍时,该点振动的合振 图 5-5-3 幅最大,即其振动总是加强的;当某一点距离两 同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍 时,该点振动的合振幅最小,即其振动总是削弱的。 4、波的反射、折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质 的交界面时,一部分返回原介质中,称为 反射波;另一部分将透入第二种介质继续 传播,称为折射波,入射波的传播方向与 交界面的法线成 i 角,( i 叫入射角),反
1 2

?r ? r2 ? r1 ? (2k ? 1)

?
2 时, P

图 5-5-4

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射波的传播方向与交界面的法线成 i ? 角( i ? 叫反射角)。折射波的 传播方向与法线成 ? 角( ? 叫折射角),如图 5-5-3,则有
i ? i? sin i c1 ? sin r c2 式中 c1 为波在入射介质中的传播速度,
c2 为波在折射介质中的传播速度,(1)式

称为波的反射定律,(2)式称为波的折射 定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连 结点处要发生反射,反射的波形有所不同。 设弦上有一向上脉冲波,如图 5-5-4, 传到自由端以后反射, 自由端可看成新的振 源, 振动得以继续延续下去, 故反身波仍为 图 5-5-5 向上的脉冲波, 只是波形左右颠倒。 当弦上 有向上脉冲波经固定端反射时,固定端也可看成新的“振源”, 由牛顿第三定律,固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的 作用力方向相反,故反射脉冲向下,即波形不仅左、右颠倒,上、 下也颠倒, 这时反射波可看成入射波反向延伸的负值 (如图 5-5-5) , 将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经自由端或固定端的反射 也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到 障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比 波长小,或者跟波长相差不多时,衍射现象比较明显;当障碍物 或孔的尺寸比波长大的时候,衍射现象仍然存在,只是发生衍射 的部分跟直进部分相比,范围较小,强度很弱,不够明显而已。 此外,在障碍物或小孔尺寸一定的情况下,波长越长,衍射现象 越明显。 5.6.5、驻波 驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反

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的两列简谐波叠加的结果,如图 6-5-6,设弦上传递的是连续的周 期波,波源的振动方程为
y0 ? A cos?t

向左传播的入射波表达式为
y1 ? A cos( t ? ? 2?

?

x)

5 ? 设波源到固定端的距离为 4 ,则入射波传到反射点时的相位


?t ?
2?

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反,即入射波 在反射时产生了 ? 的相位突变,故反射波在反射点的相位为
?t ? ? ? ? ? ?t ? ?
5 2 7 2

?

x ? ?t ?

2?

5 5 (? ? ) ? ?t ? ? ? 4 2

反射波在原点 P 的相位为
?t ? ? ? ? ? ?t ? 6?

因而,反射波的波动方程为
y2 ? A cos( t ? 6? ? ? 2?

7 2

5 2

合成波为:

?

x) ? A cos( t ? ?
2?

2?

?

x)
2?

y ? y1 ? y2 ? A cos( t ? ?

2? ? 2 A c o s ( x) c o ?t s

?

x) ? A cos( t ? ?

?

x)

?

? 合成波的振幅为 与 x 有 关,振幅最大处为波腹, 振幅最小处为波节。波腹的位置为
2?

2? 2 A cos( x)

?

x ? k?

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5-6-6 中 的 D、E、F 等处。 波节的位置为
1 x ? (k ? )? ? 2 1 ? x ? (k ? ) 2 2 即
k ? 0,?1,?2??

2 k ? 0,?1,?2?? 如图



x?k?

?
y

2?

DA E

B F

O

x

图 5-5-6
λ

如图 5-5-7 中的 O、 A、 B 等处。 相邻两波节 (或波腹)
? 之间的间距为 2 。

? 2

2A

不同时刻驻波的波形 如图 5-6-7 所示, 其中实线 表示 t ? 0 、T、2T??时的
1 3 t? T T 波形;点线表示 2 、 2

波节 波腹 波节 波腹

图 5-5-7
1 t? T ??时的波形;点划线表示 8 9 T 、8

时的波形。 5.6、多普勒效应 站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调 较静止时为高,而列车迅速离去时音调较静止时为低,此外,若 声源静止而观察者运动,或者声源和观察者都运动,也会发生收 听频率和声源频率不一致的现象,这种现象称为多普勒效应。下 面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式: (1)波源静止观察者运动情形 c c c 如图 5-5-8 所示,静止点波源发出 vD c vD 的球面波波面是同心的,若观察者以速 c D D S c vD 趋向或离开波源,则波动相对于观 度 c
c
图 5-5-8

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察者的传播速度变为 c? ? c ? vD 或 c? ? c ? vD , 于是观察者感受到的频率 为
f?? c?

?

?

c ? vD

?

从而它与波源频率 f 之比为
f ? c ? vD ? f c
?? ? ? ? vsT
? ?

(2)波源运动观察者静止情形 若波源以速度 vS 运动,它发出的 球面波不再同心。图 5-5-9 所示两圆 分别是时间相隔一个周期 T 的两个波 面。它们中心之间的距离为 vS T,从而 对于迎面而来或背离而去的观察者来 说,有效的波长为 ? ?? ? ? ? vST ? (c ? vS )T 观察者感受到的频率为
c c cf ? ? ? ?? (c ? vS )T c ? vS 因而它与波源频率 f 之比为 f??
f? c ? f c ? vS

?? ? ? ? vsT

D

D

图 5-5-9

(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线 的特殊情况,这时有效波速和波长都发生了变化,观察者感受到 的频率为
c? c ? vD c ? vD ? ? f ? ?? (c ? vS )T c ? vS 从而它与波源频率 f 之比为 f??

f ? c ? vD ? f c ? vS

下举一个例 单行道上,有一支乐队,沿同一个方向前进,乐队后面有

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一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时,乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。旅行 者从车上的收音机收听演奏,发现从前面乐队直接听到的声音和 从广播听到的声音混合后产生拍,并测出三秒钟有四拍,车速为 18km/h,求乐队前进速度。(声速=330m/s)。 解:先考虑车上听到的频率,连续两次应用多普勒效应,有
f1 ? c ? f0 c ? v乐
f2 ?

f 2 ? (1 ?
c ? v车 ? f0 c ? v乐

v车 ) ? f1 c ( f 2 为旅行者听到乐队的频率)

得 收音机得到频率为
f3 ? c ? f0 c ? v乐

旅行者听到广播频率为

f4 ?

c ? v车 ? f3 c

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又拍频为 综上得: v乐 =2.98m/s 5.5.7.声波 机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳,产生 声音感觉。 人耳可闻声波频率是 16~20000 H Z 。 频率超过 20000 H Z 的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿能力。频率小 于 16 H Z 的声波称为次声波。在标准情况下,声波在空气中的速 度为 331m/s。 (1)声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现 象。 回声和原来的声波在人耳中相隔至少 0.1 秒以上,人耳才能 分辨,否则两种声音将混在一起,加强原声。 室内的声波,经多次反射和吸收,最后消失,这样声源停止 发声后,声音还可在耳中继续一段时间,这段时间叫交混回响时 间。交混回响时间太长,前后音互相重叠,分辨不清;交混时间 太短,给人以单调不丰满的感觉,这种房间不适于演奏。 (2)声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相 遇而发生的波干涉现象。 (3)声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。 由于声波波长在 17cm—17m 之间, 与一般障碍物尺寸可相比拟, 可绕过障碍物进行传播。 而可见光的波长在 0.4—0.8 ?m , 一般障 碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。 (4)共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。 在一个盛水的容器中插入一根玻璃管, 在管口上方放一个正 在发声的音叉,当把玻璃管提起和放下,以改变玻璃管中空气柱 的长度时,便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个
1 L ? ( n ? )? n ,式中 实验中发生共鸣的条件是:

f 4 ? f3 ?

4 HZ 3

L 为玻璃管的长度,

? 为音叉发出声波的波长,n 为自然数。

5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音,嘈杂刺耳的声 音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源发出的,嘈声是由做无 规则非周期性振动的声源产生的。 6、音调、响度与音品为乐音三要素。 音调—基音频率的高低,基频高则称音调高。人们对音调的 感觉客观上也取决于声源振动的频率,频率高,感觉音调高。
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响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强(单位时间内 通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量)也大,人感觉到的 声音也大。 音品—音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特 色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率决定。

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