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抽象函数的单调性和奇偶性


抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式, 只是给出一些特殊关系式的函数。 它是 高中数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开,而高考中会出现 这一题型, 本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、 归类, 大概有以下几种题型:

一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、

单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。 例1.如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3,7] 上是增函数且有最小值为5,那么 f ( x ) 在区间

[?7, ? 3] 上是
A. 增函数且最小值为 ?5 C. 减函数且最小值为 ?5 B. 增函数且最大值为 ?5 D. 减函数且最大值为 ?5

例2.偶函数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上是减函数,问 f ( x ) 在 (??,0) 上是增函数还是减函数, 并证明你的结论。

2. 判断奇偶性 根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求 f ( x ) 与 f (? x) 的关系。 例3.若函数 y ? f ( x)( f ( x) ? 0) 与 y ? ? f ( x) 的图象关于原点对称,判断:函数

y ? f ( x) 是什么函数。

二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性 例 4.已知函数 f(x)=

g( x) ? 1 ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)>0, ,g(x) 是增函数. g( x) ? 1

求证: f(x)是R上的增函数

1

例5.已知 f ( x ) 对一切 x,y ,满足 f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0时,

f ( x ) ? 1,求证:(1) x ? 0时, 0 ? f ( x) ? 1; (2) f ( x ) 在R上为减函数。

2.证明奇偶性 例6.已知 f ( x ) 的定义域为R,且对任意实数x,y满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ( x ) 是偶函数。

三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中, 关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的 增减性,去掉“ f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例7.已知 f ( x ) 是定义在( ?1,1 )上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,试确定 a 的取值范围。

3] 上的减函数,若 f (m2 ? sin x) ? f (m ? 1 ? cos2 x) 对 例8.已知 f ( x ) 是定义在 (??,

x ?R 恒成立,求实数 m 的取值范围。

四、不等式
1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值, 再通过函数的单调性去掉函 数符号“ f ”,转化为代数不等式求解。
2

例9.已知函数 f ( x ) 对任意 x,y ? R 有 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) ,当 x ? 0时,

f ( x ) ? 2 , f (3) ? 5 ,求不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集。

五、比较函数值大小
利用函数的奇偶性、 对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内, 然后利用其单调 性使问题获解。 例10. 已知函数 f ( x ) 是定义域为R的偶函数,x ? 0 时, f ( x ) 是增函数, 若 x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 且 | x1 | ?| x2 | ,则 f (? x1 ),f (? x2 ) 的大小关系是_______。

:

答案: 例1:B 例2:分析:如图所示,易知 f ( x ) 在 (??,0) 上是增函数,证明如下: 任取 x1 ? x2 ? 0 ? ? x1 ? ? x2 ? 0 因为 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上是减函数,所以

f (? x1 ) ? f (? x2 ) 。
又 f ( x ) 是偶函数,所以

y

f (? x1 ) ? f ( x1 ),f (? x2 ) ? f ( x2 ) ,
从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x ) 在 (??,0) 上是增函数。 例3:解:设 y ? f ( x ) 图象上任意一点为P( x0 ,y0 )

O

x

? y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 的图象关于原点对称,

3

? P( x0 ,y0 ) 关于原点的对称点 (? x0 , ? y0 ) 在 y ? ? f ( x) 的图象上,

?? y0 ? ? f (? x0 ) ? y0 ? f (? x0 )
又 y0 ? f ( x0 )

? f (? x0 ) ? f ( x0 )
即对于函数定义域上的任意x都有 f (? x) ? f ( x) ,所以 y ? f ( x ) 是偶函数。 例4:解:设x1>x2

? ? ? ?

g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0

2 2 > >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1 2 2 >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1
f(x1)- f(x2)=

? ?

g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1 2 2 =1-(1) g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1

=

? ?

2 2 >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1

f(x1) >f(x2) f(x)是R上的增函数

例5:证明:?对一切 x,y ? R 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 且 f (0) ? 0 ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? 1 , 现设 x ? 0,则 ?x ? 0 , f ( ? x ) ? 1 , 而 f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1

? f (? x) ?

1 ?1 f ( x)
4

? 0 ? f ( x) ? 1 ,
设 x1 ,x2 ? R 且 x1 ? x 2 , 则 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1,

f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
即 f ( x ) 为减函数。 例6:分析:在 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 中,令 x ? y ? 1 , 得 f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0 令 x ? y ? ?1 ,得 f (1) ? f (?1) ? f (?1) ? f (?1) ? 0 于是 f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) 故 f ( x ) 是偶函数。 例7:略

?m2 ? sin x ? 3 ? 2 例8: 解:? ?m ? 1 ? cos x ? 3 ?m2 ? sin x ? m ? 1 ? cos2 x ?
对 x ?R 恒成立 ? ? 对 x ?R 恒成立 ?

?m 2 ? sin x ? 3 ? 2 2 ? ?m ? sin x ? m ? 1 ? cos x

?m2 ? 3 ? sin x ? ? 2 1 2 5 2 ?m ? m ? 1 ? sin x ? cos x ? ?(sin x ? 2 ) ? 4 ?
对 x ?R 恒成立,

?m2 ? 3 ? 1 ? ?? 2 5 ?m ? m ? 1 ? 4 ? ?? 2 ? m ? 1 ? 10 为所求。 2
5

例9: 解:设 x1 、x2 ? R 且 x1 ? x 2 则 x2 ? x1 ? 0

? f ( x2 ? x1 ) ? 2 ,
即 f ( x2 ? x1 ) ? 2 ? 0 ,

? f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 )
故 f ( x ) 为增函数, 又 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 3 f (1) ? 4 ? 5

? f (1) ? 3 ? f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 ? f (1) , 即a 2 ? 2a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3
因此不等式 f (a ? 2a ? 2) ? 3 的解集为 ?a|?1 ? a ? 3? 。
2

例10:分析:? x1 ? 0,x2 ? 0 且 | x1 | ?| x2 | ,

? 0 ? ? x1 ? x2 ? ? x2 ? x 1 ? 0
又 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数,

? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x) 是偶函数, ? f (? x1 ) ? f ( x1 )
故 f (? x1 ) ? f (? x2 )

6


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