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2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第3章 习题课


习题课

习题课
本 课 【学习要求】 时 栏 目 1. 理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 开 关 2. 会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不

超过三次).

试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

1.函数f(x)=2x-cos x在(

-∞,+∞)上
本 课 时 栏 目 开 关

( A )

A.单调递增 C.有最大值

B.单调递减 D.有最小值

解析 f′(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞) 上单调递增.

试一试·双基题目、基础更牢固

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2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有 ( A )
本 课 时 栏 目 开 关

A.f(x)>0 C.f(x)=0

B.f(x)<0 D.不能确定

解析 因为f(x)在(a,b)上为增函数, 所以f(x)>f(a)≥0.

试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

3.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( C ) 2 3 3 A.-1 B.0 C.- D. 9 3 3 3 2 解析 g(x)=x -x,由g′(x)=3x -1=0,解得x1= 3 , 3 x2=- (舍去). 3 当x变化时,g′(x)与g(x)的变化情况如下表: ? ? 3 ? 3 3? ? ? ? ? ,1? 1 x 0 ?0, 3 ? ? 3 3 ? ? ? ?

本 课 时 栏 目 开 关

g′(x)



0

+ 0

极小值 g(x) 0 ? ? ? 3? 3 2 3 ? ? 所以当x= 时,g(x)有最小值g? ?=- . 3 9 3? ?

试一试·双基题目、基础更牢固
4.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如 图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能为( D )

习题课

本 课 时 栏 目 开 关

解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函 数的图像.

试一试·双基题目、基础更牢固

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5.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)
充分不必要 内单调递减”的________________条件.
本 课 时 栏 目 开 关

解析 对于导数存在的函数f(x),
若f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数 f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f′(x)<0,如f(x)=-x3 在R上是单调递减的,但f′(x)≤0.

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

题型一

函数与其导函数之间的关系

本 例1 已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中 课 时 f′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图像 栏 目 开 大致是 ( ) 关

研一研·题型解法、解题更高效 解析 当0<x<1时,xf′(x)<0,

习题课

∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除A、B选项. 当1<x<2时,xf′(x)>0,
本 课 ∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除D. 时 栏 目 答案 C 开 关 小结 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注

意抓住各自的关键要素.对于原函数,要重点考查其图像在哪 个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数, 则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于 零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.

研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练1 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数 的图像如图所示,那么y=f(x),y=g(x)的图像可 能是
本 课 时 栏 目 开 关

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(

)

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习题课

解析 由导函数y=f′(x)的图像可知y=f′(x)在(0,+∞)单调 递减,说明函数y=f(x)的图像上任意一点切线的斜率为单调递
本 减,故可排除A、C. 课 时 又由图像知y=f′(x)与y=g′(x)在点x=x 处相交,说明y=f(x) 0 栏 目 开 与y=g(x)的图像在x=x0处的切线斜率相同,故可排除B. 关

答案 D

研一研·题型解法、解题更高效 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值

习题课

例2 设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)= 1 x,g(x)=f(x)+f′(x). 1 (1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)讨论g(x)与g(x)的大小关系. 本 1 课 时 解 (1)由题设易知f(x)=ln x,g(x)=ln x+ x, 栏 目 ∴g(x)的定义域为(0,+∞),
开 关

x-1 ∴g′(x)= 2 .令g′(x)=0,得x=1. x 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区 间,∴x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而也是 最小值点,∴最小值为g(1)=1.

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?1? (2)g?x?=-ln ? ?

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本 课 当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, 时 栏 ∴h(x)在(0,+∞)内单调递减, 目 ?1? 开 关 ∴当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g? ?;
?x? ?1? 当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g?x ?. ? ?

x+x, ?1? ?x-1?2 1 设h(x)=g(x)-g? x?=2ln x-x+x,则h′(x)=- x2 . ? ? ?1? 当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g? x?, ? ?

1 综上知,当0<x<1时,g(x)>g( x); 1 1 当x=1时,g(x)=g( );当x>1时,g(x)<g( ). x x

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小结

(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域.

本 (2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小 课 时 值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得. 栏 目 开 (3)当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的 关

最值点. (4)利用函数单调性可以判定函数值的大小关系.

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跟踪训练2 设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.

习题课

本 课 令f′(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况 时 栏 如下表: 目 (-∞,ln 2) (ln 2,+∞) x ln 2 开 关

(1)解 由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.

f′(x) f(x)



0



单调递减?

2(1-ln 2+a) 单调递增?

故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2, +∞),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2 +2a=2(1-ln 2+a).

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(2)证明

设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,

于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
本 课 时 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 栏 目 开 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 关

由(1)知当a>ln 2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.

而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.

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题型三

导数的综合应用

例3 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求
本 课 时 栏 目 开 关

出a的取值范围,若不存在,请说明理由.

解 (1)f′(x)=3x2-a, 因为f(x)在R上是增函数,所以f′(x)≥0在R上恒成立. 即3x2-a≥0在R上恒成立. 即a≤3x2,而3x2≥0,所以a≤0.

当a=0时,f(x)=x3-1在R上单调递增,符合题意. 所以a的取值范围是(-∞,0].

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(2)假设存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,
则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立. 即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2,
本 又因为在(-1,1)上,0<3x2<3,所以a≥3. 课 时 2 栏 当a=3时,f′(x)=3x -3,在(-1,1)上,f′(x)<0, 目 开 关 所以f(x)在(-1,1)上单调递减,即a=3符合题意,

所以存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a的取值范围是 [3,+∞).

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小结

在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围

时,应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围
本 课 (一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否 时 栏 目 使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去;若 开 关 f′(x)不能恒等于0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的

参数的取值范围来确定.

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跟踪训练3 (1)若函数f(x)=4x3-ax+3的单调递减区间是 ? 1 1? ?- , ?,则实数a的值是多少? ? 2 2? ? 1 1? 3 (2)若函数f(x)=4x -ax+3在?-2,2?上是单调函数,则实数a的 ? ?
本 课 取值范围为多少? 时 ? 1 1? 栏 解 (1)f′(x)=12x2-a,∵f(x)的单调递减区间为?- , ?, 目 ? 2 2? 开 1 关 ∴x=± 为f′(x)=0的两个根,∴a=3.

2

? 1 1? ? 1 1? (2)若f(x)在?-2,2?上为单调增函数,则f′(x)≥0在?-2,2?上恒成立, ? ? ? ?

即12x

2

? 1 1? -a≥0在?-2,2?上恒成立, ? ?

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∴a≤12x

2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≤(12x2)min=0. 当a=0时,f′(x)=12x2≥0恒成立(只有x=0时f′(x)=0).
本 课 ∴a=0符合题意. 时 栏 ? 1 1? 目 开 若f(x)在?-2,2?上为单调减函数, ? ? 关
? 1 1? 则f′(x)≤0在?-2,2?上恒成立, ? ?

即12x

2

? 1 1? -a≤0在?-2,2?上恒成立, ? ?

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∴a≥12x

2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≥(12x2)max=3.
本 课 1 2 2 时 当a=3时,f′(x)=12x -3=3(4x -1)≤0恒成立(且只有x=± 2 栏 目 开 时f′(x)=0). 关

因此,a的取值范围为a≤0或a≥3.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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本 课 时 栏 目 开 关

1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是 A.(0,1] C.(-∞,-1],(0,1) B.[1,+∞) D.[-1,0),(0,1]

( A )

解析

2 2?x+1??x-1? f′(x)=2x-x = , x

由f′(x)≤0结合x>0得0<x≤1.

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2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取 值范围是
本 课 时 栏 目 开 关
?1 ? A.?3,+∞? ? ? ? 1? B.?-∞,3? ? ? ?1 ? C.?3,+∞? ? ?

(C )
? 1? D.?-∞,3? ? ?

解析

若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需
2

1 y′=3x +2x+m≥0恒成立,即Δ=4-12m≤0,∴m≥ . 3

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3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画 在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( D )

本 课 时 栏 目 开 关

解析 若函数在给定区间上是增函数,则y=f′(x)>0,若 函数在给定区间上是减函数,则y=f′(x)<0.

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4.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时有 A.f(x)g(x)>f(b)g(b)
本 课 时 栏 目 开 关

习题课

( C )

B.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

解析

? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? 由条件,得? <0. 2 ?′= [g?x?] ?g?x??

f?x? ∴ 在(a,b)上是减函数. g?x? f?b? f?x? f?a? ∴ < < , g?b? g?x? g?a?

∴f(x)g(b)>f(b)g(x).

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3

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1 2 5.函数f(x)=x - x -2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有 2

(7,+∞) f(x)<m,则实数m的取值范围是_____________.
本 课 时 栏 目 开 关

解析 f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0, 2 得x=-3或x=1. 可判断求得f(x)max=f(2)=7.

∴f(x)<m恒成立时,m>7.

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本 课 时 栏 目 开 关

导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例 如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导数得以解 决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一 步研究方程、不等式等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利 用导数来研究函数的各种方法.


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