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3-充要条件


1.2.2 充要条件
教材分析
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一, 它主要讨论了命题的条件与结论之间的 逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础. 这节内容被安排在高二第一学期第一章“常用逻辑用语”的第二节.教材在学习这节内 容前,安排了“四种命题”这节内容作为必要的知识铺垫,既可以使学生丰富并深化对命题 的理解,也便于老师讲透充要

条件这一基本数学概念. 从学生学习的角度看, 学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富, 逻辑思维 能力的训练不够充分,不可拔高要求追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化, 使之与学生的知识结构同步发展完善.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解充要条件的概念和判断方法.

教学目标
重 点: 1.理解充要条件的意义. 2.命题条件的充要性判断. 难 点:命题条件的充要性判断. 知识点:1.充要条件的概念. 2.判断命题的条件的充要性的方法. 能力点:1.理解并掌握充要条件的概念. 2.掌握判断命题的条件的充要性的方法. 3.培养学生简单的逻辑推理的思维能力. 教育点:通过对一个命题的条件的分析判断,掌握等价关系、体会辨正唯物主义观点;通过 学习,学会用数学方法去分析问题和解决问题. 自主探究点:充要条件的证明;从集合关系的角度充分理解命题关系. 考 试 点:充要条件的概念、等价转化的思想. 易错易混点: 概念比较抽象,不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此 “充要条件” 的教学成为难点之一,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概 念都难以理解.对于“q=>p”,称 p 是 q 的必要条件难于接受,p 本是 q 推出的 结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解.

教具准备 课堂模式

多媒体 学案导学

一、 引入新课
事例(一) : “同学们出海报布置教室,需要 4 位同学的生活照.班长向同学们征集后, 有 10 位同学交了照片.现在照片足够了. ”

【设计意图】用这个事件目的是为了引导学生理解充分条件的定义. 事例(二):“虽然有过一次挫败,但经过 8 年坚持不懈的努力,北京终于取得申奥的 最终胜利.”就产生了“坚持不懈的努力”与”申奥成功”的关系.用这个事件的目的是为了 第二部分引导学生得出必要条件的定义.这里要强调该事件包括:A:努力;B:成功. 【设计意图】 用这个事件的目的是为了引导学生理解必要条件的定义. [师]由上节内容可知,一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类? [生]充分不必要条件;必要不充分条件;充分必要条件;既不充分又不必要条件. [师]本节课将继续研究命题中充分必要条件. 【设计意图】 用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系,会使学生感到 亲切自然,有助于提高兴趣和深入领会概念的内容,特别是它的必要性.

二、探究新知
[师]请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件? (幻灯片§1.2.2 A) 下列命题的条件是结论成立的什么条件? (1)若 a 是无理数,则 a+5 是无理数. (2)若 a>b,则 a+c>b+c. 2 (3)若一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不等的实根,则判别式Δ >0. [生]命题(1)中因:a 是无理数 ? a+5 是无理数,所以“a 是无理数”是“a+5 是无 理数”的充分条件;又因“a+5 是无整数 ? a 是无理数”则“a 是无理数”又是“a+5 是 无理数”的必要条件,因此, “a 是无理数”是“a+5 是无理数”的充分必要条件. [师]回答正确.由上述命题(1)的条件判定可知:(板书) 一般地,如果既有 p ? q,又有 q ? p,就记作: “p ? q” ,此时,我们说, p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 p 是 q 的充要条件, 【设计意图】引导学生分析实例,让学生从事例中抽象出数学概念,得出本节课所要学习的 充分必要条件的定义.

三、理解新知
[师]说明:⑴符号“ ? ”叫做等价符号. “p ? q”表示“p ? q 且 p ?q” ;也表示“p 等价于 q” . ⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分” , “仅 当”表示“必要” . [师]下边请回答命题(2),(3). [生]命题(2)中因“a>b ? a+c>b+c” ,又有“a+c>b+c ? a>b” ,则“a>b” 是“a+c>b+c”的充要条件. 2 命题(3)中因: “一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根 ? Δ >0” ,又有“Δ > 2 0 ? 一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根”, 2 则“一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根”是“判断式Δ >0”的充要条件. [生]总结出判断充要关系的基本方法步骤: (1)分清条件和结论 ; (2)考察条件和结论间的相互推出关系; (3)根据定义作出判断.

【设计意图】 旨在纠偏纠错, 让学生先发现或是数学问题, 或是语言表述问题的错误, 从而先改正后分析.这样,既可以让学生发现问题,及时改正错误,对语言表述引起重视, 又可以培养团结协作的精神.进一步深化认识,概括出一般解题策略.

四、运用新知
[师]下面讨论并解答下列例题: 幻灯片:(§1.2.2 B) 例 1:指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件.(在“充分而不必要条件” “必要而不 充分条件” “充要条件” “既不充分又不必要条件”中选出一种)? (1)p: (x-2) (x-3)=0,q:x-2=0 (2)p:同位角相等,q:两直线平行. 2 (3)p:x=3,q:x =q. (4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. (5)p:x 2 x ? 3 =x ;q:2x+3=x .
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[生]命题(1)中因“(x-2)(x-3)=0 ? x=2 或 x=3??x-2=0”, 而“x-2=0 ? (x-2) (x-3)=0” ,所以 p 是 q 的必要而不充分条件. [生]命题(2)中因“同位角相等 ? 两直线平行” ,所以 p 是 q 的充要条件. 2 2 命题(3)中因“x=3 ? x =9” ,而“x =9” x=3” ,所以 p 是 q 的充分而不必要条件. 命题(4)中因“四边形的对角线相等 ??四边形是平行四边形,又因“四边形是平行四 边形 ??四边形的对角线相等. ”所以 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 命题(5)中因:p:x 2 x ? 3 =x ? x( 2 x ? 3 -x)=0,解得 x=0 或 x=3;q:2x
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+3=x 得 x=-1 或 x=3.则有 p ??q 且 q??p.所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件. [师]由命题(5)可知:对复杂命题条件的判断,应先等价变形后,再进行推理判定. [师]讨论解答下列例题: 设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件? [生]解:由“x∈M 或 x∈P”可得“x∈P” ,又由“x∈M ∩P”可得 x∈{x|2<x<3}. 则由 x∈P,即 x∈{x|x<3} ??x∈{x|2<x<3}.但由“x∈{x|2<x<3} ? x∈{x|x <3},即 x∈P. 故“x∈M 或 x∈P”是“x∈M ∩P”的必要而不充分条件. 幻灯片:(§1.2.2 C)
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例 2:求证实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 有两个异号根的充要条件是 q ? 0 .
2

证明: (1)先证充分性 ∵q ? 0, ∴方程 x ? px ? q ? 0 的 ? ? p ? 4q ? 0 .
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∴方程 x ? px ? q ? 0 有两个不相等的实根,设其为 x1,x2 .
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∵ x· 1 x2 ? q ? 0 , ∴方程 x ? px ? q ? 0 有两个异号实根.
2

(2)再证必要性 ∵方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个异号实根,设其为 x1,x2 ∴ x· 1 x2 ? 0 , ∵ x· 1 x2 ? q , ∴q ? 0. 由(1) (2) ,原命题得证. 【设计意图】充分性证明:条件?结论;必要性证明:结论?条件. 练习:已知:⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d.求证:d=r 是直线 l 与⊙O 相 切的充要条件. 分析:设 p:d=r,q:直线 l 与⊙O 相切.要证 p 是 q 的充要条件,只需要分别证明充分性 (p?q)和必要性(q?p)即可. 【设计意图】 在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:充要条件的概念.判断命题的条件的充要性的方法. 2.思想:等价转化的思想、逻辑推理论证的思想. 教师总结: 概念的应用用到了前面学过的知识,提醒学生: 在学习新知时,也要经常复习前面学过的内 容,“温故而知新” .在应用中增强对知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题 要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业
1.阅读教材 P11—12; 2.书面作业 必做题:P12 习题 1.2 A 组 3,4. 选做题:P12 习题 1.2 B 组 1,2 3.课外题 写出生活中有四种关系的名言名句各 1 句,并进行剖析. 【设计意图】设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书 面作业的布置,是为了让学生能够运用知识解决简单的数学问题;课外题的安排,让学生探 究生活中的充要关系,把学习延伸到课外,体验“在生活中数学地思维” .

七、教后反思
1. 本节课是概念课,要避免单一的下定义作练习模式,应该努力使课堂元素更为丰富.这 节课,借助多媒体辅助教学手段,激发学生的学习兴趣,增加课堂教学的信息容量,另外将 学生的自编题利用多媒体课件展示出来分析,提高了课堂教学的效率.

2. 在教学方法上,主要是采用讲练结合法进行教学.教师通过点拨引导的方式,启动学
生的思维活动,从具体问题出发引出数学概念,并在实际问题中反复应用和辨析,启发学生 理解概念并能在实践中总结判定方法.

八、板书设计
1.2.2 充要条件 引例: 例 1: 1.定义: 一般地,如果既有 p ? q,又有 q ? p,就记作: “p ? q” , 此时, 我们说, p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件. 2.判断充要条件的步骤: 例2 (1)分清条件和结论 ; (2)考察条件和结论间的相互推出关系; (3)根据定义作出判断.


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