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高二数学第一次月考综合练习题

时间:2014-10-10


2014 年高二上学期 9 月份综合练习卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,)
1.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 ) D.670 ).

2 2. 已知命题 p:?x0∈R,x0 -3x0+3≤0, 则下列说法正确的是( 2 A. p:?x0∈R,x0 -3x0+3>0, 且 p 为真命题 2 B. p:?x0∈R,x0 -3x0+3>0, 且 p 为假命题

C. p:?x∈R,x2-3x+3>0, 且 p 为真命题 D. p:?x∈R,x2-3x+3>0, 且 p 为假命题

3. 圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心到直线 y ?

3 x 的距离是( 3

)

A.

1 2

B.

3 2

C.1

D.

3
)

4.已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) C.(- 2 2 , ) 4 4 B.(- 2, 2) 1 1 D.(- , ) 8 8

5. 若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003· a2 004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是( A.4 005 6.有下列叙述: ① 在空间直角坐标系中,在 ox 轴上的点的坐标一定是(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在 yoz 平面上的点的坐标一定是(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在 oz 轴上的点的坐标可记作(0,0,c);
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). B.4 006 C.4 007 D.4 008

④在空间直角坐标系中,在 xoz 平面上的点的坐标是(a,0,c)。 其中正确的个数是( A、1 B、2 ) C、3 D、4

7.已知 1,0,1 , 1,1,1 ,则 的长度为:( ) A.1 B.2 C.3 D.4 )

8. 平移直线 x-y+1=0 使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1 相切,则平移的最短距离为( A. 2-1 C. 2 B.2- 2 D. 2-1 与 2+1

9. 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4
1 1

). D. -10

B.-6 )

C.-8

10. 已知 ab>0,若 a>b,则 < 的否命题是(
1 1

A.已知 ab≤0,若 a≤b,则

≥ ≥

B.已知 ab≤0,若 a>b,则

1 1 1 1



C.已知 ab>0,若 a≤b,则

1 1

D.已知 ab>0,若 a>b,则



11. 由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为( A.1 B.2 2 C. 7 D.3

)

12.给出下列四个命题: ①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2 ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0 ③若 x=y=0,则 x2+y2=0 ④若 x,y∈N+,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数,一个是偶数,那么( A.①的逆命题为真 C.③的逆否命题为假 B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假
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).

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题处。)
13. 过点 M(1,2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=9 分成两段弧,其中的劣弧最短时, 直线 l 的方程为________. 14.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= .

15. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 ? S 20 ,则 S 30 的值是_______。 16.已知下列四个结论: ①命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题;
2 ②命题 p:?x0∈[0,1], 0 ≥1, 命题 q:?x0∈R,x0 +x0+1<0,则 p∨q 为真;

③若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④“若 a?m2<b?m2,则 a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

?2 x ? y ? 12 ? 0, ? 17. 若 x 、 y 满足条件 ?3 x ? 2 y ? 10 ? 0, 求 z ? x ? 2 y 的最大值和最小值. ? x ? 4 y ? 10 ? 0. ?

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18. 已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(4 分) (Ⅱ)令 bn ? an 3n ( x ? R).求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式.(6 分)

19. 已知命题 p:方程 x2++1=0 有两个不相等的负实根, 命题 q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为 R. 若 p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

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? x ? 4 y ? ?3, ? 20. 设 z ? x ? y ,式中的变量 x 、 y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25, 试求 z 的最大值、最小值. ? x ? 1. ?
2 2

21. 已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) ,求 圆 的方程
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22. 设 a1 ? 2, a2 ? 4, 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2. (1) 求证数列 {bn ? 2} 是等比数列(要指出首项与公比), (2)求数列 {an } 的通项公式.

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2014 年高二上学期 9 月份综合练习卷参考答案
1.C 解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴n=699.
2 2. 【解析】选 C.依题意,命题 p:? x0∈R , x2 0 -3x0+3≤0 的否命题为不存在 x∈R,使得 x -3x+3≤0,即对

任意的 x∈R,x2-3x+3>0.又 x2-3x+3= x ? 3.A

3 2 3 2 4

+ >0,所以命题 p 为假命题,所以 p 为真命题.

4.答案 C 解析 设 l 的方程 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0. |k+2k| 2 2 圆心为(1,0).由已知有 2 <1,∴- 4 <k< 4 . k +1
5.B 解析: 解法 1:由 a2 003+a2 004>0,a2 003· a2 004<0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数,又 a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故 a2 003>a2 004,即 a2 003>0,a2 004<0.
4 006 (a1+a4 006 ) 2 4 006 (a2 003+a2 004 ) 2

∴S4 006=



>0,

∴S4 007=

4 007 4 007 · (a1+a4 007)= · 2a2 004<0, 2 2

故 4 006 为 Sn>0 的最大自然数. 选 B. 解法 2:由 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003· a2 004<0, 同解法 1 的分析得 a2 003>0,a2 004<0, ∴S2 003 为 Sn 中的最大值.
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∵Sn 是关于 n 的二次函数,如草图所示, ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小,
4 007 在对称轴的右侧. 2



根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧,4 007,4 008 都在 其右侧,Sn>0 的最大自然数是 4 006.
6.C

7.A

8.答案

A

解析

如图

, |2-1+1| = 2,圆的半径为 1, 2

圆心(2,1)到直线 l0:x-y+1=0 的距离 d= 故直线 l0 与 l1 的距离为 2-1, ∴平移的最短距离为 2-1,故选 A.
9.B

解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6.
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10.【解析】选 C.条件 ab>0 是大前提,所以其否命题是:已知 ab>0,若 a≤b,则 ≥ .
a b

1

1

11.答案 C 解析

设直线上一点 P,切点为 Q,圆心为 M, 则|PQ|即为切线长,MQ 为圆 M 的半径,长度为 1, |PQ|= |PM|2-|MQ|2= |PM|2-1 ,要使|PQ|最小,即求|PM|最小,此题转化为求 直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小距离,设圆心到直线 y=x+1 的距离为 d,则 d |3-0+1| = 2 =2 2, 1 +?-1?2 ∴|PM|最小值为 2 2,|PQ|= |PM|2-1= ?2 2?2-1= 7,选 C.
12. 解析 ②的逆命题: 若(x+2)(x-3)≤0,则-2≤x≤3(假), 故②的否命题为假. ③的原命题为真,故③的逆否命题为真. ④的逆命题显然为真. 答案 A 13. 答案

x-2y+3=0 解析 设圆心为 N(2,0),由圆的性质得直线 l⊥MN 时,形成的劣弧最短,由点斜 式得直线 l 的方程为 x-2y+3=0.
14. -49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10
7(a4+a10 ) 2
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7 (a5-d+a5+5d ) 2

=7(a5+2d) =-49. 15. 0
16. 【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题 p 为真命题、q 为假命题,故 p∨q 是真命 题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确; ④中命题的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2”,这个命题在 m=0 时不成立,结论④不正确. 答案:①②③

17. 分析:画出可行域,平移直线找最优解.

解:作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示.

1 1 1 z x ? z ,它表示斜率为 ? ,纵截距为 的平行直线 2 2 2 2 系,当它在可行域内滑动时,由图可知,直线 l 过点时, z 取得最大值,当 l 过点 B 时, z 取得最小值.
作直线 l : x ? 2 y ? z ,即 y ? ? ∴

zmax ? 2 ? 2 ? 8 ? 18



zmin ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2

18.(Ⅰ)解:设数列 {an } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2, d ? 2. 所以 an ? 2n. (Ⅱ)解:由 bn ? an 3n ? 2n3n , 得

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S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ?(2n ? 2)3n?1 ? 2n ? 3n , ① 3S n ? 2 ? 32 ? 4 ? 33 ? ?? (2n ? 2) ? 3n ? 2n ? 3n?1. ②

将①式减去②式,得 ? 2S n ? ?2(3 ? 32 ? ?3n ) ? 2n ? 3n?1 ? 3(3n ?1) ? 2n ? 3n?1. 所以 Sn ? 3(1 ? 3 ) ? n ? 3n ?1.
n

2

19. 【解析】命题 p 为真时,实数 m 满足 Δ1=m2-4>0 且-m<0,解得 m>2;
命题 q 为真时, 实数 m 满足 Δ2=16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3. p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,等价于 p 真且 q 假或者 p 假且 q 真. 若 p 真且 q 假,则实数 m 满足 m>2 且 m≤1 或 m≥3,解得 m≥3; 若 p 假且 q 真,则实数 m 满足 m≤2 且 1<m<3, 解得 1<m≤2. 综上可知,所求 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).

20.分析:作出不等式组所表示的平面区域,本题的关键是目标函数 z ? x 2 ? y 2 应理解为可行域中 的点与坐标原点的距离的平方.

3x ? 5 y ? 25 ? 0 , l3:x ? 1 得到如图所示的可行域. 解:作出直线 l1:x ? 4 y ? 3 ? 0 , l2:

由?

?x ? 4 y ? 3 ? 0 得 A(5 , 2) ?3x ? 5 y ? 25 ? 0

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由?

?x ? 4 y ? 3 ? 0 得 C (1 , 1) ?x ? 1 ?3x ? 5 y ? 25 ? 0 22 ). 得 B (1 , 5 ?x ? 1

由?

由图可知:当 ( x , y ) 为点 C (1 , 1) 时, z 取最小值为 2; 当 ( x , y ) 为点 A(5 , 2) 时, z 取最大值 29.

21. 设圆 C 的圆心为 ( a, b) ,

?b ? 3 ? 3 ? ? a ?3 a ? 4 ?a ? 0 则? ?? ?b ? 0或?b ? ?4 3 ? r ? 2或r ? 6 a ? 3b ? ? ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? 1 ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36 22.解:(1) bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2), ?
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bn?1 ? 2 ? 2, 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 4 , bn ? 2

? 数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列.
(2)? bn ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? bn ? 2n?1 ? 2 .

? an ? an?1 ? 2 n ? 2.
令 n ? 1,2,?, (n ? 1),叠加得 an ? 2 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2(n ? 1) ,

? an ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2n ? 2
? 2(2 n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2 n?1 ? 2n. 2 ?1

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