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第二讲 因式分解

时间:2012-05-30


2011-2012 高邮市第二中学高一初高中数学衔接内容

第一讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平 方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十

字相乘法和分组分解法等等.

一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
( a ? b )( a ? a b ? b ) ? a ? b
2 2 3 3

(立方和公式) (立方差公式)

( a ? b )( a ? a b ? b ) ? a ? b
2 2 3

3

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
a ? b ? ( a ? b )( a ? a b ? b )
3 3 2 2

a ? b ? ( a ? b )( a ? a b ? b )
3 3 2 2

这就是说, 两个数的立方和(差), 等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x
3

(2) 0 .1 2 5 ? 2 7 b
3

3

分析: (1)中, 8 ? 2 ,(2)中 0 .1 2 5 ? 0 .5 , 2 7 b ? (3 b ) .
3 3 3

解:(1) 8 ? x ? 2 ? x ? ( 2 ? x )( 4 ? 2 x ? x )
3 3 3 2

(2) 0 .1 2 5 ? 2 7 b ? 0 .5 ? (3 b ) ? (0 .5 ? 3 b )[0 .5 ? 0 .5 ? 3 b ? (3 b ) ]
3 3 3 2 2

? (0 .5 ? 3 b )(0 .2 5 ? 1 .5 b ? 9 b )
2

说明: 在运用立方和(差)公式分解因式时, (1) 经常要逆用幂的运算法则, 8 a b ? ( 2 a b ) , 如
3 3 3

这里逆用了法则 ( a b ) ? a b ; 在运用立方和(差)公式分解因式时, (2) 一定要看准因式中各项的
n n n

符号. 【例 2】分解因式: (1) 3 a b ? 8 1b
3 4

(2) a ? a b
7

6

分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a ? b ,可
6 6

看着是 ( a ) ? ( b ) 或 ( a ) ? ( b ) .
3 2 3 2 2 3 2 3

1

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解:(1) 3 a b ? 8 1b ? 3 b ( a ? 2 7 b ) ? 3 b ( a ? 3 b )( a ? 3 a b ? 9 b ) .
3 4 3 3 2 2

(2) a ? a b ? a ( a ? b ) ? a ( a ? b )( a ? b )
7 6 6 6 3 3 3 3

? a ( a ? b )( a ? a b ? b )( a ? b )( a ? a b ? b )
2 2 2 2

? a ( a ? b )( a ? b )( a ? a b ? b )( a ? a b ? b )
2 2 2 2

二、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项 以上的多项式,如 m a ? m b ? n a ? n b 既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先 将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如 何分组. 1.分组后能提取公因式 【例 3】把 2 a x ? 1 0 a y ? 5 b y ? b x 分解因式. 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列,然后从 两组分别提出公因式 2 a 与 ? b ,这时另一个因式正好都是 x ? 5 y ,这样可以继续提取公因式. 解: 2 a x ? 1 0 a y ? 5 b y ? b x ? 2 a ( x ? 5 y ) ? b ( x ? 5 y ) ? ( x ? 5 y )( 2 a ? b ) 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方 法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试. 【例 4】把 a b ( c ? d ) ? ( a ? b ) cd 分解因式.
2 2 2 2

分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式. 解: a b ( c ? d ) ? ( a ? b ) cd ? a b c ? a b d ? a cd ? b cd
2 2 2 2 2 2 2 2

? ( a b c ? a cd ) ? ( b cd ? a b d )
2 2 2 2

? a c ( b c ? a d ) ? b d ( b c ? a d ) ? ( b c ? a d )( a c ? b d )

说明:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法 交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作 用. 2.分组后能直接运用公式 【例 5】把 x ? y ? a x ? a y 分解因式.
2 2

分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其 中一个因式是 x ? y ;把第三、四项作为另一组,在提出公因式 a 后,另一个因式也是 x ? y . 解: x ? y ? a x ? a y ? ( x ? y )( x ? y ) ? a ( x ? y ) ? ( x ? y )( x ? y ? a )
2 2

【例 6】把 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z 分解因式.
2 2 2

2

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分析:先将系数 2 提出后,得到 x ? 2 xy ? y ? 4 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全
2 2 2

平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式. 解: 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z ? 2 ( x ? 2 xy ? y ? 4 z )
2 2 2 2 2 2

? 2[( x ? y ) ? ( 2 z ) ] ? 2 ( x ? y ? 2 z )( x ? y ? 2 z )
2 2

说明:从例 5、例 6 可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取 公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可 以分组分解法来分解因式.

三、十字相乘法
1. x ? ( p ? q ) x ? p q 型的因式分解
2

这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.
x ? ( p ? q ) x ? p q ? x ? p x ? q x ? p q ? x ( x ? p ) ? q ( x ? p ) ? ( x ? p )( x ? q )
2 2

因此, x ? ( p ? q ) x ? p q ? ( x ? p )( x ? q )
2

运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. 【例 7】把下列各式因式分解: (1) x ? 7 x ? 6
2

(2) x ? 1 3 x ? 3 6
2

解:(1) ? 6 ? ( ? 1) ? ( ? 6 ), ( ? 1) ? ( ? 6 ) ? ? 7
? x
2

? 7 x ? 6 ? [x ? ( ? 1 ) x [ ? ]

? 6 )?x ( ]

(? x 1 . )? (

6)

(2) ? 36 ? 4 ? 9, 4 ? 9 ? 1 3
? x ? 1 3 x ? 3 6 ? ( x ? 4 )( x ? 9 )
2

说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数 的符号相同. 【例 8】把下列各式因式分解: (1) x ? 5 x ? 2 4
2

(2) x ? 2 x ? 1 5
2

解:(1) ? ? 2 4 ? ( ? 3) ? 8, ( ? 3) ? 8 ? 5
? x
2

? 5 x ? 2 4 ? x ? ( ? 3 )x] ( ? [

8? x )

(?

x 3 )? (

8)

(2) ? ? 1 5 ? ( ? 5) ? 3, ( ? 5) ? 3 ? ? 2

3

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? x

2

? 2 x ? 1 5 ? x ? ( ? 5 )x] ( ? [

3? x )

(?

x 5 )? (

3)

说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数 与一次项系数的符号相同. 【例 9】把下列各式因式分解: (1) x ? xy ? 6 y
2 2 2

(2) ( x ? x ) ? 8( x ? x ) ? 1 2
2 2 2 2

分析:(1) 把 x ? xy ? 6 y 看成 x 的二次三项式,这时常数项是 ? 6 y ,一次项系数是 y ,
2

把 ? 6 y 分解成 3 y 与 ? 2 y 的积,而 3 y ? ( ? 2 y ) ? y ,正好是一次项系数.
2

(2) 由换元思想,只要把 x ? x 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解二次三
2

项式 a ? 8 a ? 1 2 .
2

解:(1) x ? xy ? 6 y ? x ? yx ? 6 ? ( x ? 3 y )( x ? 2 y )
2 2 2 2

(2) ( x ? x ) ? 8( x ? x ) ? 1 2 ? ( x ? x ? 6 )( x ? x ? 2 )
2 2 2 2 2

? ( x ? 3)( x ? 2 )( x ? 2 )( x ? 1)

2.一般二次三项式 a x ? b x ? c 型的因式分解
2

大家知道, ( a 1 x ? c1 )( a 2 x ? c 2 ) ? a 1 a 2 x ? ( a 1 c 2 ? a 2 c1 ) x ? c1 c 2 .
2

反过来,就得到: a 1 a 2 x ? ( a 1 c 2 ? a 2 c1 ) x ? c1 c 2 ? ( a 1 x ? c1 )( a 2 x ? c 2 )
2

我们发现,二次项系数 a 分解成 a 1 a 2 ,常数项 c 分解成 c 1 c 2 ,把 a 1 , a 2 , c1 , c 2 写成
2

a1 a2

? c1 ,这
c
2

里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a 1 c 2 ? a 2 c1 ,如果它正好等于 a x ? b x ? c 的一次项系数 b , 那么 a x ? b x ? c 就可以分解成 ( a 1 x ? c1 )( a 2 x ? c 2 ) ,其中 a 1 , c1 位于上一行, a 2 , c 2 位于下一行.
2

这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一 个二次三项式能否用十字相乘法分解. 【例 10】把下列各式因式分解: (1) 1 2 x ? 5 x ? 2
2

(2) 5 x ? 6 xy ? 8 y
2

2

解:(1) 1 2 x ? 5 x ? 2 ? (3 x ? 2 )( 4 x ? 1)
2

? 4
3

?2 1

4

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(2) 5 x ? 6 xy ? 8 y ? ( x ? 2 y )(5 x ? 4 y )
2 2

? 5 ?4 y
1

2y

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时, 为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一 次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.

四、其它因式分解的方法
1.配方法 【例 11】分解因式 x ? 6 x ? 1 6
2

解: x ? 6 x ? 1 6 ? x ? 2 ? x ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 6 ? ( x ? 3) ? 5
2 2 2 2 2

2

? ( x ? 3 ? 5)( x ? 3 ? 5) ? ( x ? 8)( x ? 2 )

说明: 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法, 配方后将二次三项式化为两个平方式, 然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验. 2.拆、添项法 【例 12】分解因式 x ? 3 x ? 4
3 2

分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项, 如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为 0 了,可考虑通 过添项或拆项解决. 解: x ? 3 x ? 4 ? ( x ? 1) ? (3 x ? 3)
3 2 3 2

? ( x ? 1)( x ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)[( x ? x ? 1) ? 3( x ? 1)]
2 2

? ( x ? 1)( x ? 4 x ? 4 ) ? ( x ? 1)( x ? 2 )
2

2

说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成 可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将 ? 3 x 拆成 x ? 4 y ,将多项式分成两组
2

2

2

( x ? x ) 和 ?4 x ? 4 .
3 2
2

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

5

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A 1.把下列各式分解因式: (1) a ? 2 7
3




(2) 8 ? m
1 64 q
3 3

3

(3) ? 2 7 x ? 8
3

(4) ?

1 8

p ?
3

(5) 8 x y ?
3

1 125

(6)

1 216

x y ?
3 3

1 27

c

3

2.把下列各式分解因式: (1) x y ? x
3
2

4

(2) x
3 2 3

n?3

? x y
n 2

3

(3) a ( m ? n ) ? a b

(4) y ( x ? 2 x ) ? y
2 3

2

3.把下列各式分解因式: (1) x ? 3 x ? 2
2

(2) x ? 3 7 x ? 3 6
2

(3) x ? 1 1 x ? 2 6
2 2

(4) x ? 6 x ? 2 7
2

(5) m ? 4 m n ? 5 n
2

(6) ( a ? b ) ? 1 1( a ? b ) ? 2 8
2

4.把下列各式分解因式: (1) a x ? 1 0 a x ? 1 6 a x
5 4 3

(2) a

n?2

? a

n ?1

b ? 6a b
n

2

(3) ( x ? 2 x ) ? 9
2 2

(4) x ? 7 x ? 1 8
4 2

(5) 6 x ? 7 x ? 3
2

(6) 8 x ? 2 6 xy ? 1 5 y
2

2

(7) 7 ( a ? b ) ? 5( a ? b ) ? 2
2

(8) (6 x ? 7 x ) ? 2 5
2 2

5.把下列各式分解因式: (1) 3 a x ? 3 a y ? xy ? y
2 2

2

(2) 8 x ? 4 x ? 2 x ? 1
3 2

(3) 5 x ? 1 5 x ? 2 xy ? 6 y
2

(4) 4 a ? 2 0 a b ? 2 5 b ? 3 6 (7) x ? y ? 2 x ? 1
6 6 3

(5) 4 xy ? 1 ? 4 x ? y
2 2

2

(6) a b ? a b ? a b ? a b
4 3 2 2 2

4

(8) x ( x ? 1) ? y ( xy ? x ) B 组

1.把下列各式分解因式: (1) a b ( c ? d ) ? cd ( a ? b )
2 2 2 2

(2) x ? 4 m x ? 8 m n ? 4 n
2 2

2

(3) x ? 6 4
4

(4) x ? 1 1 x ? 3 1 x ? 2 1
3

(5) x ? 4 xy ? 2 x y ? 8 y
3 2 2

3

2.已知 a ? b ?

2 3

, a b ? 2 ,求代数式 a b ? 2 a b ? a b 的值.
2 2 2 2
5 3

3.证明:当 n 为大于 2 的整数时, n ? 5 n ? 4 n 能被 120 整除. 4.已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? a c ? b c ? a b c ? b ? 0 .
3 2 2 3

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第一讲 因式分解答案
A组 1. ( a ? 3)( a ? 3 a ? 9 ), ( 2 ? m )( 4 ? 2 m ? m ), ( 2 ? 3 x )( 4 ? 6 x ? 9 x ),
2 2 2

?

1 64

( 2 p ? q )( 4 p ? 2 p q ? q ), ( 2 x y ?
2 2
2 2 n

1 5
2

)( 4 x y ?
2 2
2

2 5

xy ?

1 25

),

1 216

( x y ? 2 c )( x y ? 2 x y c ? 4 c )
2 2 2

2. x ( x ? y )( y ? xy ? x ), x ( x ? y )( x ? xy ? y ),
a ( m ? n ? b )[( m ? n ) ? b ( m ? n ) ? b ], y ( x ? 1) ( x ? 4 x ? 3 x ? 2 x ? 1)
2 2 2 2 2 4 3 2

3. ( x ? 2 )( x ? 1), ( x ? 3 6 )( x ? 1), ( x ? 1 3)( x ? 2 ), ( x ? 9 )( x ? 3)
( x ? 9 )( x ? 3), ( m ? 5 n )( m ? n ), ( a ? b ? 4 )( a ? b ? 7 )

4



a x ( x ? 2 )( x ? 8), a ( a ? 3 b )( a ? 2 b ), ( x ? 3)( x ? 1)( x ? 2 x ? 3), ( x ? 3)( x ? 3)( x ? 2 )
3 n 2 2

( 2x ? 3 ) (x3?

1 ) x ( 2y , ?
2

x)?( 4

y 1 5 a?) , ( b? 7

7 a?

2?) ( b

x? 1 ) , ( x2 ?

2

1 )x ? (3

x5 ? 5. ) ( 6

7

5

( x ? y )(3 a ? y ), ( 2 x ? 1) ( 2 x ? 1), ( x ? 3)(5 x ? 2 y ), ( 2 a ? 5 b ? 6 )( 2 a ? 5 b ? 6 ) (1 ? 2 x ? y )(1 ? 2 x ? y ), a b ( a ? b ) ( a ? b ), ( x ? 1 ? y )( x ? 1 ? y ), x ( x ? y )( x ? y ? 1) .
2 3 3 3 3

B组 1. ( b c ? a d )( a c ? b d ), ( x ? 4 m ? 2 n )( x ? 2 n ), ( x ? 4 x ? 8)( x ? 4 x ? 8),
2 2

(x ? 1 ) x ? (

3 ) (? x

7 x ,?( )

2

y 2 x) ( . 2 ? y

)

2.

28 3

3. n ? 5 n ? 4 n ? ( n ? 2 )( n ? 1) n ( n ? 1)( n ? 2 )
5 3

4. a ? a c ? b c ? a b c ? b ? ( a ? a b ? b )( a ? b ? c )
3 2 2 3 2 2

7


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