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导数及其应用测试题(有详细答案)

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兴国三中高二数学(文)期末复习题《导数及其应用》
命题:高二数学备课组 一、选择题 1. f ? ( x 0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x 0 处取极值的: A.充分不必要条件 2、设曲线 y ? x ? 1 在点 ( x ,
2

B.必要不充分条件
f ( x ))

C.充要条件

>
D.既不充分又不必要条件

处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x ) co s x 的部分图象可以为 y y y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

B. π 2 3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0)
2

A.

C. )

D.

B.(2,4)

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?

?1 1? D.? , ? ?2 4?
) D.a=-1,b=-1 ) C.a=1,b=-1

4.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1
3 2

B.a=-1,b=1

5.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5

1 3 2 2 6. 已知三次函数 f(x)= x -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2 在 x∈(-∞,+∞)是增函数,则 m 的取值 3 范围是( ) B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.以上皆不正确

A.m<2 或 m>4

7. 直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为 A. ? 1 B. e
3

C. ln 2

D. 1 )

8. 若函数 f ( x ) ? x ? 12 x 在区间 ( k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围( A. k ? ? 3或 ? 1 ? k ? 1或 k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 B. ? 3 ? k ? ? 1或 1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

9. 10.函数 f ? x ? 的定义域为 ? a , b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a , b ? 内的图像如图所示, 则函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内有极小值点 A.1 个 B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

10.已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0 ) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x ) ? 0 ,则

第 1 页(共 8 页)

f (1) f '(0 )

的最小值为
5 2 3 2

A. 3

B.

C. 2

D.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y ?
sin x x

的导数为_________________
3 2

12、已知函数 f ( x ) ? x ? ax

? bx ? a 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于____________.
2

13.函数 y ? x ? 2 cos x 在区间 [ 0 ,
3

?
2

] 上的最大值是

14.已知函数 f ( x ) ? x ? a x 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 15. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,
x f ( x ) ? 0 的解集是
2

x f ?( x ) ? f ( x ) x
2

? 0 x (

? 0) ,则不等式

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数 f(x)的单调区间与极值.

17. 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x .
3

(Ⅰ)求 f ? ( 2 ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

第 2 页(共 8 页)

18. 设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R .
3

(1)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1, ?? )时 , f ( x ) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19. 已知 x

? 1 是函数 f ( x ) ? m x ? 3( m ? 1) x ? n x ? 1 的一个极值点,其中 m , n ? R , m ? 0
3 2

(1)求 m 与 n 的关系式; (3)当 x ? [ ? 1,1] ,函数 y

(2)求

f (x)

的单调区间;

? f (x)

的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范围。

第 3 页(共 8 页)

20. 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? b x .
2

(I)当 a ? ? 1 时,若函数 f ( x ) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)若 f ( x ) 的图象与 x 轴交于 A ( x1 , 0 ), B ( x 2 , 0 )( x1 ? x 2 ) 两点,且 AB 的中点 为 C ( x 0 , 0 ) ,求证:
f '( x 0 ) ? 0 .

21. 已知函数 f ( x ) ?

x

2

, g ( x ) ? 2 a ln x ( e 为自然对数的底数)

e

(1)求 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间,若 F ( x ) 有最值,请求出最值;
g (2) 是否存在正常数 a , f (x ) 与 (x ) 使

的图象有且只有一个公共点, 且在该公共点处有共同的切线?

若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。

第 4 页(共 8 页)

兴国三中高二数学(文)期末复习《导数及其应用》参考答案
一、选择题: 题号 1 答案 B 二、填空题: 11. y ' ?
x c o s x ? s in x x
2

2 A

3 D

4 A

5 D

6 D

7 D

8 B

9 A

10 C

;12. 18

13.

?
6

?

3;

14. { a | a ? 0 } ;

15. ( ? 1 , 0 ) ? ( 1 , ?? )

三、解答题 π 16. [解析] f′(x)=cosx+sinx+1= 2sin(x+ )+1 4 π 2 令 f′(x)=0,即 sin(x+ )=- , 4 2 3 解之得 x=π 或 x= π. 2 x,f′(x)以及 f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,π) + 递增 π 0 π+2 (0<x<2π)

3 (π, π) 2 - 递减

3 π 2 0 3π 2

3 ( π,2π) 2 + 递增

3 3 ∴f(x)的单调增区间为(0,π)和( π,2π)单调减区间为(π, π). 2 2 3 3π f 极大(x)=f(π)=π+2,f 极小(x)=f( π)= . 2 2
2 17. 解: (Ⅰ) f ? ( x )? 3 x ? 3 ,所以 f ? ( 2 ) ? 9 .

2 (Ⅱ) f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ,

解 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ? 1 . 解 f ? ( x ) ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . 所以 ( ? ? , ? 1) , (1, ? ? ) 为函数 f ( x ) 的单调增区间, ( ? 1,1) 为函数 f ( x ) 的单调减区间.

2 18. 解:(1) f ? ( x ) ? 3 ( x ? 2 ), 令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x 1 ? ? 2 , x 2 ?

2 ???????1 分

∴当 x ? ? 2 或 x ?

2 时 , f ? ( x ) ? 0; 当 ?

2 ? x?

2 时 , f ? ( x ) ? 0 ,???????2 分

∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 2 ) 和 ( 2 , ? ? ) ,单调递减区间是 ( ? 2 , 2 ) ??3 分 当 x ? ? 2 , f ( x ) 有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?
2 , f ( x ) 有极小值 5 ? 4 2 .????4 分

(2)由(1)可知 y ? f ( x ) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时 , 直线 y ? a 与 y ? f ( x ) 的图象有 3 个不同交点,??6 分 即当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f ( x ) ? ? 有三解. ?????????????7 分
第 5 页(共 8 页)

(3) f ( x ) ? k ( x ? 1)即 ( x ? 1)( x ? x ? 5 ) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5 在 (1, ?? ) 上恒成立. ????????????????9 分
2

令 g ( x ) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数,
2

∴ g ( x ) ? g (1) ? ? 3 , ∴所求 k 的取值范围是 k ? ? 3 ??????????????12 分

19. 解: (1)

f '( x ) ? 3 m x ? 6 ( m ? 1) x ? n . 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一 个极值点.所以 f '(1) ? 0
2

即 3 m ? 6 ( m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3 m ? 6 (2)由(1)知, f '( x ) ? 3 m x 2 ? 6 ( m ? 1) x ? 3 m ? 6 ? 3 m ( x ? 1)[ x ? (1 ? 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?
2 m
x

2 m

)]

,当 x 为化时, f ( x ) 与 f '( x ) 的变化如下表:
2 m
f '( x ) f (x)

( ? ? ,1 ?

)

1?

2 m

(1 ?

2 m

,1)

1 0 极大值

(1, ? ? )

单调递减
2 m

0 极小值

+ 单调递增
2 m 2 m

单调递减

故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x ) 在 ( ? ? ,1 ? 递减.

) 单调递减,在 (1 ?

,1) 单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调

2 (3)由已知得 f '( x ) ? 3 m ,即 m x 2 ? 2 ( m ? 1) x ? 2 ? 0 又 m ? 0 ,所以 x ?

( m ? 1) x ?

2 m

? 0 ,即

x ?
2

2 m

( m ? 1) x ?

2 m

? 0 , x ? [ ? 1,1] 设 g ( x ) ? x ? 2 (1 ?
2

1 m

)x ?

2 m

,其函数图象开口向上,由题意知①式恒成立,所以
4 3 4 3

2 2 ? ? ? 0 ? g ( ? 1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? m m ? ? g (1) ? 0 ??1 ? 0 ?

解之得 ?

4 3

? m 又 m ? 0 所以 ?

? m ? 0 即 m 的取值范围为 ( ?

, 0)

2 20. ( 1 ) 由 题 意 : f ( x ) ? ln x ? x ? bx , ? f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上 递 增 , ? f ? ( x ) ?

1 x

? 2x ? b ? 0 对

x ? ( 0 , ?? ) 恒成立,即 b ?

1 x

? 2 x 对 x ? ( 0 , ?? ) 恒成立,? 只需 b ? (

1 x

? 2 x ) min ,

? x ? 0 ,?

1 x

? 2x ? 2

2 ,当且仅当 x ?

2 2

时取“=” ? b ? 2 2 ,? b 的取值范围为 ( ?? , 2 2 ) ,

? f ( x 1 ) ? ln x 1 ? ax 12 ? bx 1 ? 0 ? ln x 1 ? ax 12 ? bx 1 ? ? (2)由已知得, ? ,两式相减,得: 2 2 ? f ( x 2 ) ? ln x 2 ? ax 2 ? bx 2 ? 0 ? ln x 2 ? ax 2 ? bx 2

ln

x1 x2

? a ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ? b ( x 1 ? x 2 ) ? ln
1 x

x1 x2

? ( x 1 ? x 2 )[ a ( x 1 ? x 2 ) ? b ] ,

由 f ?( x ) ?

? 2 ax ? b 及 2 x 0 ? x 1 ? x 2 ,得:

第 6 页(共 8 页)

f ?( x 0 ) ?

1 x0

? 2 ax 0 ? b ?

2 x1 ? x 2

? [ a ( x1 ? x 2 ) ? b ] ?

2 x1 ? x 2

?

1 x1 ? x 2

ln

x1 x2

?

1 x1 ? x 2

[

2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

2(
? ln x1 x2 ] ?

x1 x2 x1

? 1) ? ln ? 1)
( t ? 1)
2 2

1 x1 ? x 2

[ (

x1 x2

] ,令 t ?

x1 x2

? ( 0 ,1 ) ,

x2

且? (t ) ?

2t ? 2 t ?1

? ln t ( 0 ? t ? 1) ,? ? ? ( t ) ? ?

t ( t ? 1)

? 0 ,? ? (t ) 在 ( 0 ,1 ) 上为减函数,

? ? ( t ) ? ? (1) ? 0 ,又 x 1 ? x 2 ,? f ? ( x 0 ) ? 0

21. 解: (1) F ? ( x ) ? f ? ( x ) ? g ? ( x ) ? ①当 a ? 0时 , F ? ( x ) ? 0 恒成立

2x e

?

2a x

?

2( x ? ea )
3

( x ? 0)

ex

F ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数, F ( x ) F 只有一个单调递增区间(0,-∞) ,没有最值??3 分
2( x ? ea ( x ? ex

②当 a ? 0 时, F ( x ) ?

ea )

( x ? 0) ,

若0 ? x ? 若x ?
?当x ?

e a ,则 F ? ( x ) ? 0, F ( x ) 在 (0,

ea ) 上单调递减;

e a ,则 F ? ( x ) ? 0, F ( x ) 在 ( ea , ? ? ) 上单调递增, ea 时, F ( x ) 有极小值,也是最小值,

即 F ( x ) m in ? F ( ea ) ? a ? 2 a ln

ea ? ? a ln a ????6 分

所以当 a ? 0 时, F ( x ) 的单调递减区间为 (0 , e a ) 单调递增区间为 ( ea , ? ? ) ,最小值为 ? a ln a ,无最大值????7 分 (2)方法一,若 f ( x ) 与 g ( x ) 的图 象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 有且只有一解,所以函数 F ( x ) 有且只有一个零点????8 分[来源:学_科_ 网] 由(1)的结论可知 F ( x ) m in ? ? a ln a ? 0 得 a ? 1 ????10 分
x
2

此时, F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

? 2 ln x ? 0

e

F ( x )m

i n

?

F(

e? )

0

? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x ) 与 g ( x ) 的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1)
第 7 页(共 8 页)

又? f ? ( e ) ? g ? ( e ) ?

2 e

? f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,

其方程为 y ? 1 ?

2 e

(x ?

e ) ,即 y ?

2 e

x ? 1 ????13 分

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点处的公切线方 程为 y ?
2 e x ? 1 . ????14 分

方法二:设 f ( x ) 与 g ( x ) 图象的公共点坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,
? x0 ? 2 a ln x 0 ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? ? e 根据题意得 ? ' 即? ' 2 x0 2a ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? ? ? e x0 ?
2

由②得 a ?

x0 e

2

,代入①得 ln x 0 ?

1 2

,? x 2 ?

e

从而 a ? 1 ????10 分

此时由(1)可知 F ( x ) m in ? F ( e ) ? 0 ? 当 x ? 0 且 x ? 因此除 x 0 ?

e 时, F ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? g ( x )

e 外,再没有其它 x 0 ,使 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ????13 分

故存在 a ? 1 ,使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共 点处有共同的切线,易求得 公共点坐标为 ( e ,1) ,公切线方程为 y ?
2 e x ? 1 ????14 分

第 8 页(共 8 页)


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