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函数的定义域的求法及函数的解析式的问题


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函数的概念
函数的定义域的求法,函数的解析式的问题

教学目标

重点、难点

函数的概念。函数的值域

教学内容

一.函数定义及函数三要素
1.函数的概念: 设 A、B

是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意: (1) “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数 为非负数,对数函数的真数为正数,等等) ; ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较 隐蔽,容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题 ①配方法 (将函数转化为二次函数) ; ②判别式法 (将函数转化为二次方程) ; ③不等式法 (运用不等式的各种性质) ; ④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定 之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应 法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B” 。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” ,按照某种 法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以 用汉字叙述。 ( 2) “都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思
1

[键入文字] 例 1、已知集合 M

? { x 0 ? x ? 1 }, N ? { y ? o ? y ? 1 },下列法则不能构成 M 到 N 的映射是( B
y ? sin x



A y ? x2

C

y ? tan x

D

y?

x

6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域

四. 【典例解析】
题型 1:函数概念

? ? x ? 3, x ? 10, 其中x ? N , 则f ? 8 ? ? 例 1.已知函数 f ? x ? ? ? f f x ? 5 , x ? 10, ? ? ? ? ? ? ? ?

例 2.设函数 f ? x ? 的定义域为R,且对 x, y ? R, 恒有 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , 若 f ? 8 ? ? 3, 则f
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 练习:(2009 天津卷文)设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??)

? 2? ?

D. (??,?3) ? (1,3)

题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 | x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;


(3)f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1(n∈N*) ; (4)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 点评:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和 y=g(x)才 表示同一函数 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。 (1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透 要知道,在函数的定义域及对应 2 法则 f 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x +1, 2 2 f(t)=t +1,f(u+1)=(u+1) +1 都可视为同一函数。 (2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同, 则这两个函数就不可能是同一函数 题型三:函数定义域问题 求函数定义域一般有三类问题:
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2

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(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; (3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: (1)已知 f ( x) 的定义域为 D,求 f [ g ( x)] 的定义域; (由 g ( x) ? D 求得 x 的范围就是) (2)已知 f [ g ( x)] 的定义域为 D,求 f ( x) 的定义域; ( x ? D 求出 g ( x) 的范围就是) 例 1.求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)

例 2.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? 23 ;(2) y ?
2

f ( x2 ) ? 1 。 log 1 (2 ? x)
2

变式题:已知函数 f(x)=
1 3

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
3 2



A.a>

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

巩固练习: (10 分)
1.函数 y ? log
1 cos

? x ?3
5

的定义域是 B. [?2,??)
2

( C. (-3,-2) D. (??,?2] (
1 D. (0, ] 2



A. (-3,+∞)

2.若函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f (log 1 x) 的定义域是
1 A . [ , 2] 2



B. (0,2]
1 ? x ? 3 ? lg(4 ? x) 的定义域. sin x

C. [2,??)

3.求函数 y ?

4.函数 y=log2x-1(32-4x)的定义域是____________.
3

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1 5.若 f(x+1)的定义域是 ?? 2,3? ,求 f ( ? 2) 的定义域。 x

题型四:函数值域问题 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域;(2) 求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a 2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }。 4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: f ( x) ? ax ? bx ? c, x ? (m, n) 的形
2

式; ③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ?

k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域

例 5.求下列函数的值域: (1) y ? 3x 2 ? x ? 2 ;
(4) y ? x ? 4 1 ? x ;

(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;
(5) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

(3) y ?

3x ? 1 x?2

4

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例 2.求函数 y ? log 1 2 x ? log 1 x 2 ? 5(2 ? x ? 4) 的值域.
4 4

例 3.函数 f ( x) ? 1 ? 3 x ? a 的定义域是 ?? ?,1? ,求 a 的取值范围。

例 4.已知函数 f ( x) ? 2 ? log 2 x, x ? ?1,2? ,则函数 y ? f ( x) ? f ( x ) 的值域为(
2



A. ?4,5?

B. ? 4,

? 11 ? ? ? 2?

C. ? 4,

? 13 ? ? ? 2?

D. ?4,7 ?

例 5.求函数 y ? log 2

x 2 ? 2x ? 5 的值域. x ?1

巩固练习: (10 分) 1.函数 y=log 2 x+3(x≥1)的值域是( A. ?2,??? B.(3,+∞) 2.函数 y=2- ? x 2 ? 4 x 的值域是( A.[-2,2] B.[1,2] 3.值域是(0,+∞)的函数是( A.y=5 x -2
5x ? 1
2

) C. ?3,??? C.[0,2] D.(-∞,+∞) D.[- 2 , 2 ] D. y ?| log 2 x 2 |

) ) C.y= ( 1 ) x ? 1
2

B.y=( 1 ) 1? x
3

4.函数 f ( x) ? 5x 的值域是( A.(-∞,1)∪(5,+∞) C. (-∞,1)∪(1,+∞)
2x 5.函数 f ( x) ? 2 的值域是( x ?1

) B.(1,5) D.(-∞,- 1 )∪(- 1 ,+∞)
5
5

) C.[-1,0] D.[1,2]

A.[-1,1]

B.[0,1]

6.函数 f ( x) ? x ? 1 ? 1( x ? 0) 的值域为( ) x A. ?3,??? B. ?? ?,?1? C. ?? ?,?1? ? (3,??)

D. ?? ?,?1?? ?3,?? ? D. ?? ?,1?

7.函数 y=|x+1|+|x-2|的值域是( ) A. ?3,??? B. ?? ?,?3? C. ?1,?? ? 2 8.函数 y=log 0.2(x +1)的值域是:_______________________
题型五:函数解析式 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法;

5

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(3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

例 1. (1)已知 f ( x ? ) ? x3 ?

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) 。

2 x

1 x

例 2 .已知函数 f ( x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上有表达式

f ( x) ? x( x ? 2) .
(1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.

6

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点评:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组 法。

巩固练习:1、根据下列条件分别求出函数 f ( x) 的解析式. (1) f ( x ? ) ? x2 ?
1 x 1 ; x2

(2) f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x

1 x

2、 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 且 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 x ?[0, 2] 时,f ( x) ? 2 x ? x 2 , 求 x ?[?2,0] 时 f ( x) 的解析式

★课后作业:
一. 选择题 1. 设全集是实数集 R, M= { x | x ? 1 ? 2 , x ? R} ,N= {1, 2, 3, 4 } , 则 CRM∩N 等于( A. { 4 } B. { 3, 4 } C. { 2, 3, 4 } D. {1, 2, 3, 4 } )

2. 设集合 M ? {x | x ? 2}, P ? {x | x ? 3} , 那么“ x ? M或x ? P ”是“ x ? M ? P ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 3. 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,在 x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x)等于( A f(x)=(x+3)2-1 B f(x)=(x-3)2-1 C f(x)=(x-3)2+1 D f(x)=(x-1)2-1
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)

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? 4x ? 4 , x ? 1 4.函数 f ?x ? ? ? 2 的图象和函数 g ?x ? ? log 2 x 的图象的交点个数是 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

A.4

B.3

C.2

D.1

5、 (广东卷)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图像

7

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关于直线 y ? x 对称.现将 y ? g ( x ) 图像沿 x 轴向左平移2个单位, 再沿 Y 轴向上平移1个档位,所得的图像是由两条线段组成的折线 (如图2所示) ,则函数 f ( x) 的表达式为( )

?2 x ? 2, ?1 ? x ? 0 ? (A) f ( x) ? ? x ? 2, 0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 2, ?1 ? x ? 0 ? (B) f ( x) ? ? x ? 2, 0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? ? (C) f ( x) ? ? x (D) f ( x) ? ? x ? 1, 2 ? x ? 4 ? 3, 2 ? x ? 4 ? ? ?2 ?2
2 2

7、 (全国卷Ⅰ)设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax ? bx ? a ? 1 的图像为下列之一

则 a 的值为 (A) 1 (B) ? 1

(

) (C)

?1? 5 2

(D)

?1? 5 2

二. 填空题 8. 设 A、B 是非空集合, 定义: A ? B ? {x | x ? A ? B, 且x ? A ? B} , 已知 x A ? {x | y ? 2 x ? x 2 }, B ? {y | y ? 2 , ( x ? 0)} , 则 A ? B ? 2x ?1 10. 若 二 f (x1 ? x 2 ) ? 次 函 数
f (x) ?

.

ax 2 ? bx , 有 f ( x 1 ? 1) ? f ( x 2 ? 1) (x1 ? x 2 ? 2) , 则 . 1 1 11. 函数 f ( x) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则这三个实根的 2 2
8

[键入文字]

和为 。 12. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查, 制成了该地区快餐公 司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图) ,根据图中提供的信息可以得出 这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

三. 解答题 13、记函数 f ( x ) ? 2 ?
x?3 的定义域为 A, g(x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求集合 A; (2) 若 B ? A , 求实数 a 的取值范围.

14. 已知

1 ? a ? 1 , 若 f ( x ) ? ax 2 ? 2x ? 1 在区间 [1, 3] 上的最大值为 M(a ) , 最小值为 N(a ) , 令 3 g(a ) ? M(a ) ? N(a ) . (1) 求 g (a ) 的函数表达式; (2) 判断 g (a ) 的单调性, 并求出 g (a ) 的最小值.

答案: 1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.B 二. 8. A ? B ? {x | x ? 2或0 ? x ? 1} ; 三.12. 解:(1 ) 2 ? 9. 3; 10、0. 11. 85.

x?3 2x ? 2 ? ( x ? 3) x ?1 ?0? ?0? ?0 x ?1 x ?1 x ?1
9

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? (x ? 1)( x ? 1) ? 0且x ? ?1 ? x ? 1或x ? ?1 .

∴集合 A ? {x | x ? 1或x ? ?1} .

(2) (x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0 (a<1) ? (x ? a ? 1)( x ? 2a ) ? 0 . ∵ a ? 1 , ∴ 2a ? a ? 1.? 2a ? x ? a ? 1. ∴不等式的解为 2a ? x ? a ? 1 . ∴集合B ? {x | 2a ? x ? a ? 1} . ∵ B ? A , 1 ∴ 2a ? 1或a ? 1 ? ?1, ∴ a ? 或a ? ?2 . 2 1 1 1 13、解:(1) 函数 f ( x ) ? ax 2 ? 2x ? 1 的对称轴为直线 x ? , 而 ? a ? 1,?1 ? ? 3 a 3 a 1 1 ∴ f ( x ) 在 [1,3] 上 N(a ) ? f ( ) ? 1 ? a a 1 1 ①当 1 ? ? 2 时,即 ? a ? 1 时, M(a ) ? f (3) ? 9a ? 5 a 2 1 1 1 ②当 2 ? ? 3 时,即 ? a ? 时, M(a ) ? f (1) ? a ? 1 a 3 2 1 1 ? 9a ? ? 6, ? a ? 1 ? ? a 2 ? g (a ) ? M (a ) ? N (a ) ? ? ?a ? 1 ? 2, 1 ? a ? 1 ? a 3 2 ? 1 1 1 1 1 (2) g (a)在[ ,1]上单调递增,在[ , )上单调递减, g (a ) ? g( ) ? . min 2 3 2 2 2

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