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数学建模《成品油价格与家庭汽车》第16队


成品油价格与家庭汽车
摘要
随着汽车行业的兴起,汽车越来越成为百姓生活必需品,然而节节攀升的油价给人 们的生活消费带来了负面影响。 在此题中我们根据搜集影响成品油价格因素等实际数据 对有关成品油价格与家庭汽车的一些问题建立数学模型进行讨论。 对于问题一,对于此问我们首先确立了可能影响成品油价格的因素,我们认为可能 影响成品油价格的因素有:中国原油生产量 x1

、中国原油进口量 x2 、中国原油出口量 x3 以及国际原油价格 x4 等。在假设各个变量之间没有多重共线性的情况下,我们先用最小 二乘法对其进行多元线性回归,最终结果未能通过显著性检验。 在此情况下我们对各个变量进行了多重共线性检验,列出了各个变量间的相关系数 矩阵发现变量之间具有相关性,即原假设不成立,变量之间存在多重共线性。为了修正 多元共线性给模型带来的误差,接下来我们运用逐步回归的方法得出了最终该结果:

y ? 0.282311 x2 ? 904.957
并根据此模型预测 2016 年国内成品油价格为 11296.3(元/吨)。

对于问题二, 分析家庭汽车数量我们认为影响长沙市家庭汽车数量因素有: 1 成品 油价格(元/吨)x1、2 人均可支配收入(元)x2、3 人口数量(人)x3、4 普通小汽车的 价格指数 x4、5 居民消费指数 x5 以及 6 城市公交车乘坐人次(人)x6。由此建立统计回 归模型,最终得到模型为:
2 y ? 66.284? x1 ? 40.859? x2 ? 0.40967? x3 ? 8.45?10?8 ? x3

运用此模型预测得 2020 年长沙市家庭汽车数量大概为 1589400 辆。

对于问题三,我们讨论了 GPI 与国内成品油价格的关系,通过对其进行一元线性回 归得到结果如下:

y = 0.1715* x - 10.7295 (元 / 升)
对我国成品油价格定价机制来说 GPI 每增长 1 个点成品有价格就增加 0.1715 元/升。 第四问中我们根据上述三问所建立的模型给给国家发改委提出中国成品油定价机制的 建议有:宏观调控,放开价格;适当缩短成品油调价时间间隔,让其能够及时的反映成 本,进一步向市场化迈进;成品油定价时要充分考虑 GPI 等等

关键词:最小二乘法、多元线性回归、多重共线性检验、逐步回归

一 、问题重述
1.1 问题背景: 经济发展与人民生活息息相关。油价的上涨引起了广大消费者的不满,对我国 现行的成品油定价机制产生了质疑。因此,成品油的合理定价对国家经济发展及社 会和谐稳定具有重要的现实意义。 我们就长沙市家庭汽车、 影响成品油价格因素等实际数据对有关成品油价格与 家庭汽车的一些问题建立数学模型进行讨论。

1.2 待解决问题: 1、分析影响中国成品油价格的因素,建立数学模型,并预测到 2016 年中国成品油 价格情况。 2、对家庭汽车数量的增长给出数学模型,并预测到 2020 年家庭汽车的发展前景, 说明成品油价格对家庭汽车增长的影响。 3、分析国外成品油价格的定价因素,给出一份适合中国国情的成品油定价模型。 4、根据你所建立的模型,给国家发改委提出中国成品油定价机制的建议。

二、 问题分析
2.1 第一问: 分析影响中国成品油价格的因素,建立数学模型,并预测到 2016 年中国成品油价 格情况。对于此问我们首先确立了可能影响成品油价格的因素。 我们认为可能影响成品油价格的因素有:中国原油生产量、中国原油进口量、中 国原油出口量以及国际原油价格等。 对于家庭汽车数量这个因素,常识中我们只听说过油价影响汽车,没有听过汽车 影响油价,并且我们通过资料查询,发现成品油价格必将影响家庭汽车数量,但家庭 汽车数量不是影响成品油价格的因素。所以我们假设家庭汽车数量不作为影响因素。 我们通过查阅资料得到从 2006 到 2012 年各个因素的具体数据。有了数据后我们 便开始进行解题。关于本题我们以成品油价格为因变量,以中国原油生产量、中国原 油进口量、中国原油出口量以及国际原油价格为自变量进行回归分析。 多元回归分析我们首先要考虑自变量与自变量之间是否存在相关关系即多重共线 性,对于此题我们先假设各个自变量之间相互独立对其用最小二乘法进行多元线性回 归,但自变量间可能存在多重共线性。 为了避免多重相关性给模型带来的误差,我们接下来运用逐步回归法对各个变量 进行了回归进而得到了比较准确的模型, 然后我们根据模型对 2016 年的成品油价格进 行了预测。

2.2 第二问: 是对家庭汽车数量的增长给出数学模型,并预测到 2020 年家庭汽车的发展前景, 说明成品油价格对家庭汽车增长的影响。家庭汽车数量增长的影响因素可能有:城镇 居民人均可支配收入、长沙市人均 GDP、国内成品油价等因素。 此问中我们对 2006 到 2012 年的数据进行汇总作为解题数据并进行量纲化处理。 考虑到问题一中的多重共线性我们运用主成分估计法对各个因素进行分析进而建立起 模型。有了家庭汽车数量增长模型后,然后我们对 2020 年的家庭汽车发展前景进行了 预测。 对于成品油价格对家庭汽车的影响我们通过对模型式对国内成品油价格做偏导数 进而给出其间的关系。 2.3 第三问: 我们分析了解了国外很多国家的成品油定价机制,通过此为基础对我国成品油定 价进行研究。国内成品油价格受多种因素的影响:国际原油价、国内 GPI、成品油出 口量、成品油供应量、成品油市场需求、成品油进口量、国内 GDP 增长、国内原油产 量、国内原油成本等因素。 在充分查阅资料的情况下通过查阅文献得出,在影响成品油价格的因素中, CPI 所占权重比较大,下面我们就只讨论 GPI 对成品油定价的影响。首先我们画出两者之 间的残差图,通过残差图我们发现国内原油价格与 GPI 具有正相关关系,然后我们运 用一元线性回归进行建立模型。

三 模型假设
3.1 3.2 3.3 3.4 假设该论文所参考的数据真实可靠。 在单位换算时候不考虑因汇率不同所带来的影响。 忽略短时间内家庭汽车数量对成品油价格的影响。

在模型可以预测的时间范围内,不发生重大的变故(如:全球经济危机,大型战争,重大 的自然灾害),以及不会出现家庭汽车交通工具的替代品。 3.5 在模型可以预测的时间范围内,家庭汽车的数量不会达到市场容量的饱和点。

3.6 假设 1 年内的各月的轻微变化会在求和时相互抵消, 使得数据在以年为跨度时 相对稳定。

四 符号说明
4.1 问题 1:

x1 ????中国原油产量(万吨) x2 ????中国原油进口量(万吨) x3 ????国际原油价(元/吨) x4 ????中国原油出口量(万吨) y......................国内成品油价(元 / 吨) t.......................年份

4.2 问题 2: y????长沙市汽车保有量(辆) x1????成品油价格(元/吨) x2????人均可支配收入(元) x3????人口数量(人) x4????普通小汽车的指数 x5????居民消费指数 x6????城市公交车乘坐人次(万人)

4.3 问题 3: y.......................成品油价格 x.......................GPI

五 模型建立与求解
问题一: 5.1.1 多元线性回归求解 此问中我们采取了中国原油生产量 x1 、中国原油进口量 x2 、中国原油出口量 x3 以及 国际原油价格 x4 作为影响因素对国内成品油价格 y 建立数学模型。 下表是我们所查的数 据: 表一 年份 中国原油 产量(万 吨) 18476.57 18631.82 19043.06 18948.96 20241.40 20287.55 20747.80 中国原 油进口 量(万 吨) 14517 16316 17888 20365 23768 25378 27103 国际原油价 (元/吨) 中国原油 出口量 (万吨) 634 389 424 507 303 252 243 国内成品 油价(元/ 吨) 5180.16 5480.00 5866.67 6518.57 7440.00 8313.33 8565.71

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

3920.79 4241.04 4452.25 3429.69 4063.45 4426.57 4356.54

在假设各个自变量间相互独立即解释变量之间不存在多重共线性的前提下,我们建 立多元线性回归模型:

y ? a0 ? a1 ? x1 ? a2 ? x2 ? a3 ? x3 ? a4 ? x4
将表一数据代入 matlab 中求得:

(源程序及结果见附件 1)

y ? 685.2643? 0.2194? x1 ? 0.3579? x2 ? 0.5370? x3 ? 1.8012? x4
R2=0.0001 F=0.0063 P=0.0000

通过对比各个相关系数的临界表发现参数完全无法通过检验故自变量之间可能存在多 重共线性。此模型不成立。 5.1.2 多重共线性的分析 我们以实际问题为参考,很显然在我们假设的几个因数中有存在相关性,例如中 国原油出口量和中国原油进口量之间必然存在很大的相关性,又如中国原油产量与中国 原油进口量,它们之间必然存在很大的联系,在统计学中我们称之为多重共线性。 多重共线性是多元回归分析中一类比较复杂的问题,由于它的存在,会消弱回归系 数估计值的准确性和艳定性,从而给经济分析和预测带来很大的误差。所谓多重共线性 是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型 估计失真或难以估计准确。一般来说,由于经济数据的限制使得模型设计不当,导致设 计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。 为了为解决多重共线性所带来的误差,我们接下来用逐步回归方法进行修正。 5.1.3 逐步回归法修正多重共线性 逐步回归的基本思想是,从当前在圈外的全部变量中,挑选其偏回归平方和贡献 最大的变量,用方差比进行显著性检验的办法,判别是否选入;而当前在圈内的全部变 量中,寻找偏回归平方和贡献最小的变量,用方差比进行显著性检验的办法,判别是否 从回归方程中剔除。选入和剔除循环反复进行,直至圈外无符合条件的选入项,圈内无 符合条件的剔除项为止。 在逐步回归计算中需要用到线性代数中的消去变换法进行变量的选入。对选入变量 的回归系数进行显著性检验, 剔除变量仍进行 F-检验。 经过若干次选入变量和剔除变 量之后,所有变量再没有可入选或剔除的,选择变量的步骤停止,整理资料,得出回归 方程。 逐步回归法由于剔除了不重要的变量, 因此, 无需求解一个很大阶数的回归方程, 显著提高了计算效率;又由于忽略了不重要的变量,避免了回归方程中出现系数很小的 变量而导致的回归方程计算时出现病态,得不到正确的解。在解决实际问题时,逐步回 归法是常用的行之有效的数学方法。逐步回归的计算一般需借助计算机计算。 下面我们运用 matlab(程序见附录二)进行逐步回归得到以下结果:

图一 逐步回归分析结果图 从新的统计结果可以看出, 虽然剩余目标差没有太大变化, 但是统计量 F 的值明显增大, 因此新的回归模型更好一些。由此可以求出最终的模型为:

y ? 0.282311 x2 ? 904.957
5.1.4 2016 国内成品油价格的预测

接下来我们分别以中国原油生产量和中国原油进口量对时间进行一元线性回归建 立这两个变量关于时间的模型。利用 matlab 进行线性回归得到(相关程序见附录三): 从上述各个参数的值可以看出线性回归得到的模型较好。接下来我们利用此模型对 2015 年的中国原油产量、中国原油进口量的值进行预测。 2016 年: x2 ? ?442.0568? 0.2211 ? 2016? 3.6808(亿吨) 由式 3 得: y ? 0.282311 ? 36808 ? 904 .957 ? 11296.3(元/吨)

问题二: 5.2.1 数据查询 分析家庭汽车数量我们认为影响长沙市家庭汽车数量因素有: 1 成品油价格 (元 /吨)x1、2 人均可支配收入(元)x2、3 人口数量(人)x3、4 普通小汽车的价格指数 x4、5 居民消费指数 x5 以及 6 城市公交车乘坐人次(人)x6。下表是我们所查的数据: 年份 长沙市汽 成品油价 人均可 人口数量(人) 车保有量 格(元/吨) 支配收入 (辆) (元) 2005 126289 4980.24 12434 6209248

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

163162 221801 290783 403195 546834 689957 856813

5180.16 5480 5866.67 6518.57 7440 8313.33 8565.71

14788 16963 18282 20864 23347 27069 31044

6309958 6373561 6417367 6468350 6501248 6566185 6606166

5.2.2 图像化处理 我们将 y 与 x1、x2、x3 之间的关系用散点图表示出来

图三

图四

图5

于是,通过分析,对 x1,x2,x3 建立以下模型 y=a+a2*x1+ε y=b+a3*x2+ε y=c+a4*x3+a5*x4^2+ε 所以 综合上述分析,建立以下回归模型 y=b1+b2*x1+b3*x2+b4*x3+b5*x3^2+ε 5.2.3 模型求解(matlab 程序见附录 4) [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) 参数 参数估计值 a1 0 a2 66.284 a3 40.859 a4 0.40967 a5 -8.4529*10^(-8) 2 R ? 0.99898 F=1306

参数置信区间 [0 [19.384 [26.538 [0.053263 [-1.4346e-07 p<0.0001

0] 113.18] 55.179] 0.76607] -2.5592e-08]

5.2.4 结果分析 R 2 ? 0.99898指因变量 y(家庭汽车保有量)的 99.898%可由模型确定,F 值远远 超过 F 检验的临界值,p 远远小于置信水平α ,因而模型整体上来看是可用的。 表二给出了模型 a1,a2,a3,a4,a5 的估计值,即 a1=0,a2=66.284,a3=20.859,

a4=0.40967,a5=-8.4529*10^(-8),检查它们的置信区间发现,只有参数 a1 的置信区间 内包含 0 点,但其估计值为 0,所以可以不予考虑。另外,发现参数 a5 的估计值几乎接 近于 0,但由于 x4 的平方本身数值较大,所以仍然将变量 x4^2 保留。 5.2.5 家庭汽车数量预测 将回归系数的估计值带回模型,得到模型方程: y=66.284*x1+40.859*x2+0.40967*x3-0.0000000845*x3^2 要预测 2020 年家庭汽车的数量,需先将 x1 与 t 建立一元线性回归方程,预测 x1 (成品油价格)在 2020 年的数值,x2 与 t 建立一元线性回归方程,预测 x2(人均可支 配收入) 在 2020 年的数值, x3 与 t 建立一元线性回归方程, 预测 x3 (人口数量) 在 2020 年的数值。 x1=563.05*t-1124300 x2= 2540.6*t-5082200 x3= 53495*t-101010000

所以当 t=2020 时,x1= 13061;x2=49812;x3=7049900 所以可以进行预测

当 t=2020 时,y= 1589400 辆

问题三: 5.3.1 关于国外国内成品油价格的定价因素。 目前, 世界各国国内市场成品油价格的形成机制主要有市场竞争形成价格和国家定 价两种。但市场化是全球成品油定价的主流模式和发展趋势。全球绝大多数国家都实行 市场化的成品油定价机制,成品油由府定价的国家越来越少。 美国国内成品油销售划分为三种情况,无论以哪种方式销售,其最终价格都是由市 场来决定的。同时,美国成品油零售价又视地区和季节的不同而有所不同,各石油公司 每天都要制定各个油库的成品油批发价格。美国汽油随行就市的一个主要原因是它的成 本构成中原油成本占据主要部分。按照美国能源部近年的统计,汽油平均成本中,55% 是原油,22%是炼油环节,19%是税收,4%是批发和营销。 比利时是个典型的“无油国”,但是比利时政府、企业和消费者面对居高不下的油 价却并不惊慌,原因就在于比利时独特的燃油定价机制。在比利时,燃油零售价中共包 括四个部分的费用:一是进口成本价;二是经销商的利润;三是消费税;四是增值税。 其中,消费税相对固定,而增值税则是前三项之和再乘以一个固定的比例。 韩国石油价格市场化进程和我国类似,经历了政府定价、与国际市场接轨和价格放 开三个阶段。1994 年开始,与国际市场价格接轨,先是建立与国际市场原油价格联动机 制,然后建立与国际市场成品油价格联动机制,并于 1997 年开始,石油价格完全市场 化。 日本的石油价格在 1996 年之前由政府严格控制,1996 年后,石油市场逐渐开放, 目前成品油价格主要由市场竞争形成,日本政府不再采取行政手段来控制市场价格。 据查阅资料知国内成品油价格受多种因素的影响:国际原油价、国内 GPI、成品油 出口量、成品油供应量、成品油市场需求、成品油进口量、国内 GDP 增长、国内原油产 量、国内原油成本等因素。种因素联系交叉混杂,互为关联,在研究中很多问题只能定 性分析,很难得出定量的结果,通过查阅文献得出,在影响成品油价格的因素中,CPI 所占权重比较大,下面我们就只讨论 GPI 对成品油定价的影响。 5.3.2 运用线性回归建立模型 通过查询资料我们得到从 2009 年 1 月到 2012 年 93#汽油和 GPI 变化情况,具体 数据如表六所示: 表六 日 期 2009 2009 2009 2009 .06 .07 .09 .11 2010 .04 6.92 2010 .06 6.74 2010 .10 6.92 2010 .12 7.14 2011 .02 7.42 2011 .04 7.85 2011 .10 7.61

93# 5.89 6.21 6.43 6.66 价 格 (元 / 升)

GPI 98.3 98.2 99.2 100.6 102.8 102.9 104.4 105.1 104.9 105.3 105.5

运用 matlab 画出数据散点图如图二所示:

图二 93#汽油价格与 GPI 散点图
由散点图可知二者存在正相关关系, 接下来我们运用 matlab 对其进行线性回归得到如 下结果(程序见附录五):

y = 0.1715* x - 10.7295 (元 / 升) R 2 = 0.8754、F=56.2261、P=0.0001、S2 = 0.0392
其残差分布图如图三所示:

图四 残差分布图
从残差图可以看出数据的残差离零点的远近,残差的置信区间均包含零点,这说明回 归模型能较好的反映原数据。由建立的回归模型证明了 GPI 对成品油价格的影响:GPI 每增长 1 个点成品有价格就增加 0.1715 元/升。最终模型为:

y = 0.1715* x - 10.7295 (元 / 升)
问题四: 根据我们所建立的模型对给国家发改委提出中国成品油定价机制的建议如下: 中国现行的成品油定价机制参考的主要是国际原油价格走势,却唯独忽略了国内 成品油供需情况的变化。中国现行的价格管理办法是与国际石油市场挂在一起的,但 与国内的石油市场是相对脱节的,也就是说,价格测算公式里没有考虑任何国内市场 因素。这就造成了当前国内成品油供应紧张,按照“调价规则”却需要降价的矛盾。 新的定价机制需要内外兼顾。 5.1 增强我国在国际油价制定过程中的话语权。作为世界第二大石油消费国,近 年来我国原油对外依存度逐年攀升,国际油价对国内市场的影响越来越明显,增强国 际油价话语权愈发迫切主动参与国际油价定价过程,改变仅仅做一个被动的价格接受 的局面,这样才能从根源上确保国内石油安全,实现可持续发展目标。 5.2 宏观调控,放开价格。目前,世界各国国内市场成品油价格的形成机制主要 有市场竞争形成价格和国家定价两种。但市场化是全球成品油定价的主流模式和发展 趋势。全球绝大多数国家都实行市场化的成品油定价机制,成品油由政府定价的国家 越来越少。国家应对成品油价格由直接管理转为间接管理,不再确定具体中准价水平, 国内成品油价格完全由各经营主体在市场竞争中形成。 5.3 为配合价格的放开,今后应该进一步加强国家对市场的保障调控机制,明确 将石油储备分为国家储备与市场储备;研究制定石油法规,在明确国家能源发展战略

的基础上,建立起责权相互统一、真正平等竞争的市场规则;恢复国内原油、成品油 期货市场,建立中国的石油报价系统。 5.4 适当缩短成品油调价时间间隔,让其能够及时的反映成本,进一步向市场化 迈进。在参考国际原油价格走势的同时,也应该考虑我国成品油供需情况及我国国情。 我国的成品油定价机制不应该是推波助澜的价格跟随者,而应该作为市场的稳定器, 当国际油价走势与国内供需出现矛盾时,应通过调节储备将成品油价格保持在一个相 对稳定的水平。 六 模型的改进与优化 6.1 成品油价与家庭汽车前两个问题是对成品油价格和家庭汽车建立模型预测它 们未来的情况,对于这两个问题我们用回归分析的方法解决。第一问通过查资料找到 影响成品油的价格的诸多因素, 利用多元线性回归和逐步回归在 R 2 P 显著性检验满足 要求时找出自变量和因变量的关系, 用一元线性回归预测出 2016 年的自变量进一步预 测出因变量。模型的缺点是没有考虑一些定性因素对成品油价的影响,模型进一步优 化时可以找出这些定性因素,把定性因素定量化更准确的预测出 2016 的数值。 6.2 在第二问中,我们发现成品油价格对家庭汽车增长具有促进作用,不符合常 理。有必要修改确定因素或者改变建立模型的方法。



参考文献

[1] 胡晓东 董辰辉,MATLAB 从入门到精通,北京:人民邮电出版社,2010.6 [2] 姜启源 谢金星 叶俊,数学建模,北京:高等教育出版社,2003.8 [3] 百度文库 [4] 海 舟 , 借 鉴 国 外 成 品 油 价 格 形 成 机 制 , http://news.china.com.cn/live/2013-04/02/content_19346761.htm,2013.8.27 [5]中国统计局,长沙市统计局

八 附录一: Matlab 程序
clc clear x=[18476.57,14517,3920.79,634; 18631.82,16316,4241.04,389; 19043.06,17888,4452.25,424; 18948.96,20365,3429.69,507; 20241.40,23768,4063.45,303; 20287.55,25378,4426.57,252; 20747.80,27103,4356.54,243;]; Y=[5180.16; 5480.00; 5866.67; 6518.57; 7440.00; 8313.33; 8565.71;]; X=[ones(length(x),1),x]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05)

附录

运行结果: b = 685.2643 -0.2194 0.3579 0.5370 1.8012

bint = 1.0e+04 *

-3.0897 -0.0003 -0.0000 -0.0002 -0.0006

3.2268 0.0002 0.0001 0.0003 0.0010

r = 105.3862 64.6985 -197.5227 -53.1814 -39.0864 164.9670 -45.2612

rint = -9.6996 220.4719 -363.8167 493.2137 -554.5836 159.5381 -88.7933 -17.5694 -515.0704 436.8977 -387.6056 717.5395 -922.8896 832.3672

stats = 1.0e+04 * 0.0001 0.0063 0.0000 附录二: Matlab 程序 x0=[18476.57 14517 3920.79 18631.82 16316 4241.04 389 19043.06 17888 4452.25 424 18948.96 20365 3429.69 507 20241.40 23768 4063.45 303 20287.55 25378 4426.57 252 20747.80 27103 4356.54 243 4.3963

634 5180.16 5480.00 5866.67 6518.57 7440.00 8313.33 8565.71];

x=x0(:,1:4) y=x0(:,5) stepwise(x,y,[1:4])

附录三: 中国原油进口量: clc,clear x1=[ 2006 2007 2008 2009 2011 2012]'; y=[1.45 1.63 1.89 2.03 2.54 2.71 ]'; x=[ones(6,1),x1]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) b = -428.5474 0.2143

bint = -465.9467 -391.1481 0.1957 0.2330

stats = 1.0e+003 * 0.0010 1.0218 0.0000 0.0000

>> 0.2143*2015-428.5474 ans = 3.2671

附录四: 附录五: x=[ 98.3 98.2 99.2 100.6 102.8 102.9 104.4 105.1 104.9 105.5]'; y=[ 5.89 6.21 6.43 6.66 6.92 6.74 6.92 7.14 7.42 7.61]'; x1=[ones(10,1),x]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x1); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 运行结果: b = -10.7295 0.1715

bint = -16.1205 0.1187 -5.3385 0.2242

stats = 0.8754 56.2261 0.0001 0.0392


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