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2014年高二第二学期文科数学期末试卷

时间:2014-07-13


2013 学年第二学期高二文科数学期末试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题;每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。请将答案填入答题卷中。) 1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ?

9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A

(CR B) ? (



A.(?3, 0)

B. ( ? 3? , 1 ) C. ( ? 3? , 1]

D. (? 3 , 3 )


2.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a , b, c ,则 " a ? b" 是 " sin A ? sin B" 的( 3.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( A. f ? x ? ? x
1 2

A.充分必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件 )
x

D .非充分非必要条件

B. f ? x ? ? x

3

?1? C. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

D. f ? x ? ? 3

4. 设 ?a n ?是首项为 a1 , 公差为 ?1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 若 S1,S2,S4, 成等比数列, 则 a1 = ( A.2 ) B.-2 C.

1 2

D .?

1 2

5.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则

OA ? OB ? OC ? OD 等于
A. 4OM



) C. 2OM D . OM )

B. 3OM

6. 已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图象如右图, 下列结论成立的是 (

A. a ? 0, c ? 1

B. a ? 1, 0 ? c ? 1

C. 0 ? a ? 1, c ? 1

D. 0 ? a ? 1, 0 ? c ? 1 )

7.将函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2
·1 ·

A.在区间 [

? 7?
12 12 ,

] 上单调递减

B.在区间 [

C.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

, ] 上单调递减 6 3

D.在区间 [ ?

? ?

8.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 为( ) A. y ? 2 sin(

?
2

, ] 上单调递增 6 3

, x ? R) 的部分图象如图所示, ,则函数表达式

?
3

x?

?
6

y

) ?1 )

3
1

B. y ? 2sin( C. y ? 2sin(

?

?

6

x?

?

D. y ? 2sin(

?

3
6

x?
x?

?

3

?

6
3

) ?1
) ?1


O ?1

2

13 2

x

9.若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

B. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

C. x2e 1 ? x1e
x

x2

D. x2e 1 ? x1e
x

x2

1 ? cos ? x, x ?[0, ] ? 1 ? 2 10.已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ,则不等式 f ( x ? 1) ? 的解集 2 ?2 x ? 1, x ? ( 1 , ??) ? ? 2
为( )

A. [ , ] [ , ]

1 2 4 3

4 7 3 4

B. [ ?

3 1 1 2 ,? ] [ , ] 4 3 4 3

C. [ , ] [ , ]

1 3 3 4

4 7 3 4

D. [ ?

3 1 1 3 ,? ] [ , ] 4 3 3 4

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中横线上.)

? y?x ? 11.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_________. ? y ?1 ?
12.已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ≤ ? ? ?) ,它们的图象有一个横坐标为 ? 的交点,则 ? 的值 3 是 .
·2 ·

13.已知向量 OA ? (1,1) , OB ? (2,3) ,且 OC ? OA , AC // OB ,则向量 OC =_________.

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 14.设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?[?1,1) 时, f ( x) ? ? , 0 ? x ? 1, ? x,
则 f(

2015 ) =____________. 2

15.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值,则 d 的取值范围_________. 16.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,则

y2 的最大值为 xz



2 ? ? x ? 5x ? 4 , x ? 0 17.已知函数 f ?x ? ? ? ,若函数 y ? f ( x) ? a x 恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范 2 x ? 2 , x ? 0 ? ?

围为



三、解答题:(本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
2 18. (本题满分 14 分)已知函数 f ?x? ? a ? 2 cos x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ?

?

?

?? ? ? ? 0 ,其中 ?4?

a ? R, ? ? ?0, ??.

? 的值; (1)求 a,
(2)若 f ?

?? 2 ? ?? ? ?? ? ? ?? , ? ? ,求 sin?? ? ? 的值. ??? , 3? 5 ? ?4? ?2 ?

n2 ? n ,n ? N ? . 19. (本题满分 14 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2
(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2 n 项和.
a n

20. (本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a , b, c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ;
·3 ·

?
3

.

(2)求 a ? b 的取值范围.

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R , a ? R . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若函数 f ( x ) 的最小值为 g (a ) ,令 m ? g ( a ) ,求 m 的取值范围.

22. (本题满分 15 分)设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R . x
f ( x) 的最小值;

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

x f '( x) ? 零点的个数; 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. (3)若对任意 b ? a ? 0, b?a

2013 学年第二学期高二文科数学期末试卷 参考答案
一、选择题: CADDA DBACA 二、填空题: 11. 7 12.

? 6
16.

13.

1 1 (? , ) 5 5

14. 1

15. ( ?1,? ) 三、解答题:

7 8

8 9

17. 1 < a< 2

·4 ·

18、解: (1) f ?

?? ? ?? ? ? ? ? a ? 1? cos ? ? ? ? ? ? ? a ? 1? sin ? ? 0 ?4? ?2 ?

Q ? ? ? 0, ? ? ,? sin ? ? 0 ,? a ? 1 ? 0,? a ? ?1 ??????????????3 分 Q 函数 f ?x? ? ?a ? 2 cos2 x?cos?2x ? ? ? 为奇函数

? f ? 0? ? ? a ? 2? cos? ? cos? ? 0 ??????????????5 分
?? ?

?
2

??????????????6 分

(2)由(1)得 f ? x ? ? ?1 ? 2cos x cos ? 2 x ?
2

?

?

? ?

??

1 ? ? ? cos 2 xgsin 2 x ? ? sin 4 x ??????9 分 2? 2

1 2 ?? ? Q f ? ? ? ? sin ? ? ? 2 5 ?4?

?? ?sin

4 5

3 ?? ? ? ? ,? cos ? ? ? ??????????????12 分 Q ? ?? , 5 ?2 ?

?? ? ? 4 1 3 3 4?3 3 ? ??????14 分 ?sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? ? ? 3? 3 3 5 2 5 2 10 ?
19、(1) 解:当 n=1 时, a1 ? S1 =1;?????????????2 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n ;?????????????4 分 故数列的通项公式为 a n ? n 。?????????????6 分

(2) 由(1)得,则 b n ? 2 ? (?1) ? n ,?????????????8 分
n n

记数列 ?b n ? 的前 2n 项和为 T2 n ,则

T2 n = (21 ? 2 2 ? ... ? 2 n ) + (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 2n) ????????10 分
=2
2 n ?1

? 2 + n ?????????????14 分

20、解: (1) 、由 S ?ABC ?

1 ab sin C ? 3 ? ab ? 4 ??????2 分 2
·5 ·

又由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? a ? b ? ab ? 4 ??????4 分
2 2 2
2 2

联立方程组求解得: a ? b ? 4 .??????6 分 ( 2) 、在锐角 ?ABC 中, C ?

?
3

,则 B ?

A?( , ) 6 2
由正弦定理得:

? ?

? 2? ? 2? ? A ,其中 A ? (0, ) , B ? ? A ? (0, ) ? 所以 2 3 2 3

c 4 3 ? 2R ? 2R ? , sin C 3

所以 a ? 2 R sin A ?

4 3 4 3 sin A , b ? 2 R sin B ? sin B ??????8 分 3 3
4 3 sin B 2? ? A)] 3

所以 a ? b ?

4 3 4 3

sin A ?

=

[sin A ? sin(

=

4 3 3 ( sin A ? cos A) 2 3 2

= 4 sin( A ?

?
6

)

??????12 分 由 A?(

? ?

? ? 2? ? 3 , ) 得 A ? ? ( , ) ,所以 sin( ? A) ? ( ,1] 6 2 6 3 3 6 2

所以 a ? b ? (2 3,4] ??????14 分

21、

? x 2 ? x, x ? 1 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? | x ? 1 | ?1= f ( x) ? ? 2 ,图解得: ? x ? x ? 2, x ? 1
2

1 7 f ( x) min ? f ( ) ? ??????5 分 2 4

(Ⅱ) f ( x) ? ?

? x 2 ? x ? a ? 1, x ? a 2 ? x ? x ? a ? 1, x ? a
·6 ·

1 1 3 , f ( x) min ? f ( ) ? ? a ;??????7 分 2 2 4 1 1 2)当 ? ? a ? , f ( x) min ? f (a) ? a 2 ? 1 ;??????9 分 2 2 1 1 3 3)当 a ? ? , f ( x ) min ? f ( ? ) ? ? a ;??????11 分 2 2 4 1 ? 3 ? 4 ? a, a ? 2 ? 1 1 ? 所以 g (a) ? ?a 2 ? 1,? ? a ? , m ? g ( a ) 图解得:所以 m ? [1,??) 。???15 分 2 2 ? 3 1 ? ? a, a ? ? ? 2 ? 4
1)当 a ? 22、 (1)解:? f ( x) = ln x +

m 1 m x-m ,∴ f ′( x) = - 2 = 2 , x > 0, m ∈ R x x x x

x -e , x > 0.解f ′( x) > 0得x > e,∴ f ( x)单调递增; x2 同理,当0 < x < e时,f ′( x) < 0, f ( x)单调递减.∴ f ( x)只有极小值 当m = e时,f ′( x) = e f (e) = ln e + = 2.所以,f ( x)的极小值为2. e
??????????????????????????????4 分 (2)解:

? g ( x) ? f ?( x) -

x x-m x x3 x3 2 ? 2 - ? 0,∴ m ? x - ,令h( x) ? x - , x ? 0, m ∈ R, 则h(1) ? 3 3 3 3 3 x 2 h ?( x) ? 1 - x 2 ? (1 ? x)(1 - x).令h ?( x) ? 0解得0 ? x ? 1,∴ h( x)在区间上递增,值域为 (0, ). 3 2 同理,令h ?( x) ? 0解得x ? 1,∴ g ( x)在区间上递减,值域为 ( -∞ , ) ??? 3 大致画出函数 g ( x)的图像,则 2 2 所以,当m ≤ 0,或m ? 时,g ( x)只有一个零点;当 0 ? m ? 时,g ( x)有2个零点; 3 3 2 当m ? 时,g ( x)没有零点; 3

???????????????????????????10 分

·7 ·

(3)解:

f (b) - f (a) 当b ? a ? 0时, ? 1, 即f ?( x) ? 1在(0,?∞ )上恒成立. b-a x-m 1 ? 2 ? 1∴ m ? x - x 2 ? 当x ? 0时,二次函数 x - x 2 ∈ (-?, ] 4 x 1 ∴m ? 4 1 所以,当m ∈ ( ,?∞) 时,满足题意 . 4
??????????????????????????????15 分

·8 ·


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