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2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2第1章1.3.3函数的最大(小)值与导数

时间:2017-07-23


阶 段 一

阶 段 三

1.3.3
阶 段 二

函数的最大(小)值与导数
学 业 分 层 测 评

1.理解函数的最值的概念.(难点) 2.了解函数的最值与极值的区别与联系.(易混点) 3.会用导数求在给定区间上函数的最值.(重点)

[基础· 初探]

教材整理

函数的最大(小)值与导数

阅读教材 P29~P31“练习”以上部分,完成下列问题. 1.函数的最大(小)值的存在性 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条________的曲线,那 么它必有最大值与最小值.

2.求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的________; (2)将函数 y=f(x)的______与______处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的 一个就是______,最小的一个就是______.
【答案】 1.连续不断 2.(1)极值 (2)各极值 端点 最大值 最小值

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( (2)开区间上的单调连续函数无最值.( ) ) )

(3)函数 f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得. (
【答案】 (1)× (2)√ (3)×

2.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 B.有极值 D.有最小值

)

【解析】 f′(x)=2+sin x>0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 无极值,也无最值.
【答案】 A

[小组合作型]
求函数的最值

已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.

【自主解答】 (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的情况如下表: x f′(x) f ( x) (-∞,k-1) — 单调递减↘ k-1 0 -ek
-1

(k-1,+∞) + 单调递增↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).

(2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek-1; 当 k-1≥1 时,即 k≥2,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.

利用导数求函数最值的方法 (1)若函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 在区间(a, b)内只有一个导 数值为 0 的点,且在这一点处取得极值,则该点一定是函数的最值点. (2)求一个函数在闭区间上的最值时, 一般是找出该区间上导数值为 0 的点, 无需判断出是极大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的 函数值进行比较,其中最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值.

[再练一题] 1.已知函数 f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]) ,f(x)的最小值为 1,则 m= __________. 【导学号:62952031】

【解析】

f′(x)=-3x2+6x,x∈[-2,2].

令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x∈(-2,0)时,f′(x)<0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0, ∴当 x=0 时,f(x)有极小值,也是最小值. ∴f(0)=m=1.

【答案】 1

已知函数的最值求参数 XXX
已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值为 -29,求 a,b 的值.

【精彩点拨】 首先求出 f′(x).然后讨论 a 的正负,根据函数 f(x)的单调性 得出用 a,b 表示的函数的最值,从而列出关于 a,b 的方程组,求 a,b.

【自主解答】 由题设知 a≠0,否则 f(x)=b 为常函数,与题设矛盾. 求导得 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=4(舍去).

(1)当 a>0,且 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) -1 (-1,0) + 0 0 (0,2) - 2

f(x) -7a+b 单调递增↗ b 单调递减↘ -16a+b 由表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,也就是函数在[-1,2]上的最大值, ∴f(0)=b=3. 又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,解得 a=2.

(2)当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时,f(x)取得极小值 b,也就是函数在[- 1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29. 又 f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,解得 a=-2. 综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

1.本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值,同 时由于系数 a 的符号对函数的单调性有直接的影响,且最值也受 a 的符号的影 响,因此需要对 a 的符号进行分类讨论. 2.已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型,解决该类问题的基本方 法是待定系数法,列出关于参数的方程(组),从而求出参数的值,但在用参数表 示最值时,需要根据参数的情况分类讨论.

[再练一题] 2 3 2 3 2.设3<a<1,函数 f(x)=x -2ax +b 在区间[-1,1]上的最大值为 1,最小值 6 为- 2 ,求该函数的解析式.

【解】 f′(x)=3x2-3ax, 令 f′(x)=0, 得 x=0 或 x=a.当 x 变化时, f ′ ( x) , f(x) 的变化情况如下表: x f′(x) -1 (-1,0) + 0 0 (0,a) - a 0 (a,1) + 1

3 a3 3 f(x) -1- a+b 单调递增↗ b 单调递减↘ - +b 单调递增↗ 1- a+b 2 2 2 从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,

a3 当 x=a 时,f(x)取得极小值- 2 +b, 而 f(0)>f(a),又 f(1)>f(-1), 故只需比较 f(0)与 f(1),f(-1)与 f(a)的大小. 3 因为 f(0)-f(1)=2a-1>0, 所以 f(x)的最大值为 f(0)=b,所以 b=1.

1 又因为 f(-1)-f(a)=2(a+1)2(a-2)<0, 3 所以 f(x)的最小值为 f(-1)=-1-2a+b 3 =-2a, 3 6 所以-2a=- 2 , 6 所以 a= 3 . 6 2 故所求函数的解析式是 f(x)=x - 2 x +1.
3

[探究共研型]
与最值有关的恒成立问题

探究 1 对于函数 y=f(x),x∈[a,b],若 f(x)≥c 或 f(x)≤c 恒成立,则 c
满足的条件是什么?

【提示】 c≤f(x)min 或 c≥f(x)max.

探究 2 如何证明不等式 ex≥1+x(x∈R).
【提示】 令 f(x)=ex-x-1,x∈R,

则 f′(x)=ex-1.由 f′(x)=0 得 x=0. 当 x>0 时,f′(x)>0,当 x<0 时,f′(x)<0. 所以 f(x)min=f(x)极小=f(0)=0, 所以 f(x)≥f(x)min=0. 即 ex-x-1≥0,即 ex≥x+1.

设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围.
【精彩点拨】 (1)利用配方法,即可求出二次函数 f(x)的最小值 h(t); (2)构造函数 g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使 g(t)在(0,2)上的最大值小于零即 可求得 m 的取值范围.

【自主解答】 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), ∴当 x=-t 时,f(x)取最小值 f(-t)=-t3+t-1, 即 h(t)=-t3+t-1.

(2)令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 g′(t)=-3t2+3=0,得 t=1 或 t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表: t g′ ( t ) (0,1) + 1 0 (1,2) -

g(t) 单调递增↗ 极大值 1-m 单调递减↘ ∴g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)=1-m. h(t)<-2t+m 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)<0 在(0,2)内恒成立,即等价于 1- m<0.∴m 的取值范围为(1,+∞).

1.涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时,一般需转化为函数最值 来解决.若不等式中含参数,则可考虑分离参数,以求避免分类讨论. 2.不等式恒成立、能成立常见的转化策略 (1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max,a<f(x)恒成立?a<f(x)min; (2)f(x)>g(x)+k 恒成立?k<[f(x)-g(x)]min; (3)f(x)>g(x)恒成立?f(x)min>g(x)max; (4)a>f(x)能成立?a>f(x)min,a<f(x)能成立?a<f(x)max.

[再练一题] 3.上例(3)若改为“存在 t∈[0,2],使 h(t)<-2t+m 成立”,则实数 m 的取 值范围如何求解?

【解】

令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,

由 g′(t)=-3t2+3=0,得 t=1 或 t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表: t g′(t) 0 (0,1) + 1 0 (1,2) - 2

g(t) -1-m 单调递增↗ 极大值 1-m 单调递减↘ -3-m

∴g(t)在[0,2]上有最小值 g(2)=-3-m, 存在 t∈[0,2],使 h(t)<-2t+m 成立, 等价于 g(t)的最小值 g(2)<0. ∴-3-m<0,∴m>-3, 所以实数 m 的取值范围为(-3,+∞).

1.下列结论正确的是(

)

A.若 f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若 f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若 f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是 x=a 和 x=b 时取得 D.若 f(x)在[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值

【解析】 函数 f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值, 极值一定不会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.
【答案】 D

2.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n)的最小值是( A.-13 C.10 ) B.-15 D.15

【解析】

对函数 f(x)求导得 f′(x)=-3x2+2ax,

由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.

又∵f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下, 且对称轴为 x=1,∴当 n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9, 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13.
【答案】 A

? π? 1 x 3.函数 f(x)=2e (sin x+cos x)在区间?0,2?上的值域为________ . ? ?

【解析】

? π? ∵x∈?0,2?,∴f′(x)=excos ? ?

x≥0,

?π? ∴f(0)≤f(x)≤f?2?, ? ?

1 1 π 即2≤f(x)≤2· e2 .
【答案】
?1 1 π? ? ? 2 , e ?2 2 ? ? ?

1 4.函数 f(x)= +x(x∈[1,3])的值域为________. x+1

x2+2x 1 【解析】 f′(x)=- 2+1= 2,所以在[1,3]上 f′(x)>0 恒成立,即 ?x+1? ?x+1? 13 3 f(x)在[1,3]上单调递增,所以 f(x)的最大值是 f(3)= 4 ,最小值是 f(1)=2.故函数
?3 13? f(x)的值域为?2, 4 ?. ? ?

【答案】

?3 13? ? , ? 4? ?2

5.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)· (x-a). (1)求导数 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值. 【导学号:62952032】
【解】 (1)由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f′(x)=3x2-2ax-4.

1 (2)由 f′(-1)=0,得 a=2, 此时有 f(x)=(x
2

? 1? ?x- ?, -4)· 2? ?

f′(x)=3x2-x-4. 4 由 f′(x)=0,得 x=3或 x=-1. 又
?4? 50 9 ? ? f 3 =-27,f(-1)=2, ? ?

f(-2)=0,f(2)=0, 9 50 ∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-27.


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