nbhkdz.com冰点文库

2013高考数学(文)二轮复习课件(解析版):专题5 平面解析几何(湖北省专用)

时间:2013-03-02


专题五 平面解析几何

第13讲 直线与方程、圆与方程 第14讲 圆锥曲线的定义、图形、 方程与性质

第15讲 圆锥曲线热点问题

专题五 平面解析几何

第13讲
直线与方程、圆与方程

第13讲│ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例

(难度) 考点 1 直线的概 0 念、 方程与位置关系 考点 2 圆的方程 填空(1) 2012 湖北卷 21(C), 与圆的性质 解答(1) 2011 湖北卷 14(A) 考点 3 直线与圆 选择(1) 2012 湖北卷 5(B) 的综合运用 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第13讲│ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分主要围绕两个点展开命题.第一个点是 围绕直线与圆的方程展开,设计考查求直线方程、圆的方程、 直线与圆的位置关系等问题,目的是考查平面解析几何初步的 基础知识和方法,考查运算求解能力,试题一般是选择题或者 填空题;第二个点围绕直线、圆与圆锥曲线的综合展开,设计 考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线与圆以及圆锥曲线的相 互关系的试题,目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综 合运用,这个点的试题一般是解答题.

第13讲│ 二轮复习建议

预计 2013 年该部分的命题方向不会有大的变化,以选择 题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程, 而在解答题中 考查直线方程、圆的方程的综合运用. 复习建议: 该部分是解析几何的基础,涉及大量的基础知 识,在复习时要把知识进一步系统化,在此基础上,在本讲中 把重点放在解决直线与圆的方程问题上.

第13讲│ 主干知识整合

主干知识整合

第13讲│ 主干知识整合

第13讲│ 主干知识整合
1.直线的概念与方程 (1)概念:直线的倾斜角 θ 的范围是[0° ,180° ),倾斜角为 90° 直线的斜率不存在,过两点的直线的斜率公式 k=tanα= y2-y1 ; x2-x1 y-y1 (2)直线方程:点斜式 y-y0 =k(x-x0),两点式 = y2-y1 x-x1 (x1≠x2,y1≠y2),一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0). x2-x1 (3)位置关系:当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时, l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1·2=-1,两直线的交点就是以由两 k 直线方程组成的方程组的解为坐标的点. (4)距离公式:两点间的距离公式,点到直线的距离公式, 两平行线间的距离公式.

第13讲│ 主干知识整合

2.圆的概念与方程 (1)标准方程:圆心坐标为(a,b),半径为 r,方程为(x- a)2+(y-b)2=r2,一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 D2 +E2-4F>0); (2)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法 与几何判断法; (3)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与 几何判断法.

第13讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例 1 (1)过点(5,2),且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距 的 2 倍的直线方程是( ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0 或 2x-5y=0 (2)[2012· 浙江卷] 设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+ 2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

第13讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求直线方程只要求在两坐标轴上的 截距 ? (推理)根据已知条件得方程解之 ? (结论)化为一般方 程即得; (2)(分析)欲判断充要条件需确定已知直线平行的 a 值 ? (推理)求出已知直线平行的 a 值 ? (结论)根据充分性、必要性 判断方法进行判断.

第13讲│ 要点热点探究
[答案](1)B (2)C

[点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、 截距式)都有其适用范围,在解题时不要忽视这些特殊情况,如本 例第一题易忽视直线过坐标原点的情况;一般地,直线 A1x+B1y +C1 =0,A2x+B2y+C2 =0 平行的充要条件是 A1B2 =A2B1 且 A1C2≠A2C1,垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0.

[解析] (1)当直线过原点时方程为 2x-5y=0,不过原点时, x y 可设出其截距式为a+ =1,再由过点(5,2)即可解出. 2a (2)若 a=1,则直线 l1:ax+2y-1=0 与 l2:x+2y+4=0 平 行;若直线 l1:ax+2y-1=0 与 l2:x+2y+4=0 平行,则 2a-2 =0 即 a=1,∴“a=1”是“l1:ax+2y-1=0 与 l2:x+2y+4 =0 平行”的充要条件.

第13讲│ 要点热点探究

变式题 (1)将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90 度,再向 右平移 1 个单位,所得的直线方程为( ) 1 1 1 A.y=- x+ B.y=- x+1 3 3 3 1 C.y=3x-3 D.y= x+1 3 (2)“a=-2”是“直线 ax+2y=0 垂直于直线 x+y=1” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

第13讲│ 要点热点探究

【答案】 (1)A

(2)C

[解析] (1)逆时针旋转 90° 后与原来直线垂直,所以其方 1 1 程为 y=- x,向右平移 1 个单位后得直线的方程为 y=- (x 3 3 1 1 -1),即直线方程为 y=- x+ . 3 3 (2)直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 垂直的充要条件是 a×1+2×1=0,即 a=-2.

第13讲│ 要点热点探究
? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例 2 (1)已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的圆心为抛物线 y2= 4x 的焦点,且与直线 3x+4y+2=0 相切,则该圆的方程为 ( ) 64 64 2 2 2 2 A.(x-1) +y = B.x +(y-1) = 25 25 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1 (2)[2012· 陕西卷] 已知圆 C:2+y2-4x=0,是过点 P(3,0) x l 的直线,则( ) A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能

第13讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求圆的方程只要确定 a,b,r 的值 ? (推理)抛物线 y2=4x 的焦点确定 a,b,圆心到直线的距离确定 r ? (结论)写出圆的标准方程; (2)(分析)欲确定直线与圆的位置关系需研究圆心到直线的 距离 ? (推理)直线过定点可先看定点与圆的位置关系 ? (结论) 根据上述作出判断.

第13讲│ 要点热点探究

【答案】(1)C

(2)A

[解析] (1)抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),则 a=1,b=0.r= |3×1+4×0+2| =1,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1. 2 2 3 +4 (2)本小题主要考查直线与圆的位置关系,解题的突破口为熟 练掌握判断直线与圆位置关系的方法.x2+y2-4x=0 是以(2,0)为 圆 心 , 以 2 为 半 径 的 圆 , 而 点 P(3,0) 到 圆 心 的 距 离 为 d = ?3-2?2+?0-0?2=1<2,点 P(3,0)恒在圆内,过点 P(3,0)不管怎 么样画直线,都与圆相交.故选 A.

第13讲│ 要点热点探究

[点评] 确定圆的几何要素是圆心位置和圆的半径,求解圆的 方程就是求出圆心坐标和圆的半径;判断直线与圆的位置关系的 一般方法是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小,但当直线 经过圆内一个定点时,直线与圆一定相交.

第13讲│ 要点热点探究

3 变式题 (1)圆心在曲线 y=x(x>0)上,且与直线 3x+4y+3=0 相切 的面积最小的圆的方程为( ) ? 3? 2 ?y- ?2=9 A.(x-2) + 2? ? ?16? B.(x-3)2+(y-1)2=? 5 ?2 ? ? ?18? 2 2 C.(x-1) +(y-3) =? 5 ?2 ? ? 2 D.(x- 3) +(y- 3)2=9 (2)设圆 x2+y2=2 的切线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交 于点 A、B,当|AB|取最小值时,切线 l 的方程为________________.

第13讲│ 要点热点探究
【答案】(1)A (2)x+y-2=0 .

[解析]

? 3? (1)设圆心坐标为?x,x?,由于圆与直线 ? ?

3x+4y

12 3x+ x +3 +3=0 相切,故圆的半径为 r= ≥3,当且仅当 x 5 ? 3? =2 时取等号;所以半径最小时圆心为?2,2?,圆的方程为(x ? ? ? 3 ?2 2 -2) +?y-2? =9. ? ?

第13讲│ 要点热点探究

(2)设 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b),(a,b>0), x y 则过 A,B 的直线方程为a+b=1,即 bx+ay-ab=0.因为直 |-ab| 线和圆相切, 所以圆心到直线的距离 d= 2 整理 2= 2, a +b 得 2?a2+b2?=ab,即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4, ab 2 2 当且仅当 a=b 时取等号,又|AB|= a +b = ≥2 2,所 2 以|AB|的最小值为 2 2,此时 a=b,即 a=b=2,此时切线 x y 方程为 + =1,即 x+y-2=0. 2 2

第13讲│ 要点热点探究

? 探究点三 直线与圆的综合应用 例 3 (1)[2012· 天津卷] 设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所 得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为________. (2)[2012· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 +y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为 圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________.

第13讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲确定△AOB 面积的最小值需确定 m,n 满足的方程 ? (推理)根据已知直线与已知圆相交所得弦长得之 ? (结论)使用不等式或者方程的方法解之; (2)(分析)欲求 k 的最大值需知 k 满足的不等式 ? (推理)以 k 表 示圆的圆心 ? (结论)根据两圆有公共点满足的条件得关于 k 的不等 式解之.

第13讲│ 要点热点探究

【答案】

(1)3

4 (2) 3

[解析] (1)直线 mx+ny-1=0 与两坐标轴的交点坐标分别 ?1 ? ? 1? 为?m,0?,?0,n?,又∵直线 l 被圆 x2+y2=4 截得的弦长为 2 , ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ? ?2 2 2 由垂径定理得,? +1 =2 ,即 2 2=3,∴S△OAB= 2 m2+n2? m +n ? ? 1 1 1 × × ≥ 2 =3. |m| |n| m +n2

第13讲│ 要点热点探究

(2)圆 C 的方程可化为(x-4)2+y2=1,圆心坐标为(4,0),半 径为 1,由题意,直线 y=kx-2 上至少存在一点(x0,kx0-2), 以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,因为两个圆有公 共点,故 ?x-4?2+?kx-2?2 ≤2,整理得(k2 +1)x2 -(8+4k)x+ 16≤0,此不等式有解的条件是 Δ=(8+4k)2-64(k2+1)≥0,解 4 4 之得 0≤k≤ ,故最大值为 . 3 3

第13讲│ 要点热点探究

变式题 (1)在△ABC 中, 已知角 A, C 所对的边依次为 a, B, b,c,且 2lgsinB=lgsinA+lgsinC,则两条直线 l1:xsin2A+ysinA =a 与 l2:xsin2B+ysinC=c 的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交不垂直 (2)直线 2ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A, 两点(其中 a, B b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点 P(a, b)与点(0,1)之间距离的最大值为( ) A. 2+1 B.2 C. 2 D. 2-1

第13讲│ 要点热点探究
【答案】 (1)B

sin2A sinA [解析] (1)已知条件化为 sin2B=sinAsinC, 故 2 = = sin B sinC

(2)A

a c ,从而两直线方程的系数之比都相等,所以两直线重合. (2)△AOB 是直角三角形等价于圆心到直线 2ax+by=1 的 2 1 2 距离等于 ,由点到直线的距离公式得 = ,即 2a2 2 2a2+b2 2 b2 +b2=2,即 a2=1- 且 b∈[- 2, 2].点 P(a,b)与点(0,1) 2 之间的距离为 1 2 2 2 d= a +?b-1? = b -2b+2, 因此当 b=- 2时, 取最大 d 2 值,此时 dmax= 3+2 2= 2+1.

第13讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 1.确定直线的几何要素,一个是它的方向,一个是 直线过一个点; 2.求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的 半径,这实际上是三个独立的条件,只有根据已知把三个独立条 件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径.

第13讲│ 规律技巧提炼

?技巧 直线被圆所截得的弦长的解决方法, 一是根据平面几 何知识结合坐标的方法, 把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表 示,即如果圆的半径是 r,圆心到直线的距离是 d,则圆被直线所 截得的弦长 l=2 r2-d2,这个公式是根据平面几何中直线与圆的 位置关系和勾股定理得到的, 二是根据求一般的直线被二次曲线所 截得的弦长的方法解决. ?易错 忽视直线方程的适用范围, 点斜式和斜截式不包括与 x 轴垂直的直线,两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的直线.

第13讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
推理论证能力——结合圆的几何特征处理与圆有关的问题
示例 过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2 + y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该 直线的方程为( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0

第13讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是通过圆的几何特征、 经过逻辑推理找到解 决问题的方法, 其目的之一就是考查考生的逻辑推理能力在处理圆问 题中的应用.

[命题阐释] 本题立意是通过圆的几何特征、 经过逻辑推理找到解

决问题的方法, 其目的之一就是考查考生的逻辑推理能力在处理圆问 题中的应用.

第13讲│ 命题立意追溯

[答案] A

[解析] 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大, 通过观察图 形,显然只需该直线与直线 OP 垂直即可,又已知 P(1,1),则所求直线的 斜率为-1,又该直线过点 P(1,1),易求得该直线的方程为 x+y-2=0.故 选 A.

第13讲│ 命题立意追溯

跟踪练

1.若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+ by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小 值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6

【答案】C
[解析] 直线 2ax+by+6=0 过圆心 C(-1,2),则 a -b-3=0,当点 M(a,b)到圆心距离最小时,切线长最 短;|MC|= ?a+1?2+?b-2?2= 2a2-8a+26,a=2 时 最小,b=-1,此时切线长等于 4.

第13讲│ 命题立意追溯

2.设 M(1,2)是一个定点,过 M 作两条相互垂直的 直线 l1,l2,设原点到直线 l1,l2 的距离分别为 d1,d2, 则 d1+d2 的最大值是________.

【答案】 10

第13讲│ 命题立意追溯
[解析] 由题意,设 O 到两条直线的距离分别为|OC|,|OD|, 则四边形 OCMD 是矩形,d2+d2=OM2=5,(d1+d2)2-2d1d2=5 1 2 ?(d1+d2)2-5=2d1d2. d1+d2 ?d1+d2?2 因为 d1d2≤ ?d1d2≤ , 2 4 ?d1+d2?2 所以(d1+d2)2-5≤ ?(d1+d2)2≤10?d1+d2≤ 10. 2 从而 d1+d2 的最大值是 10.

第13讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:据本讲的特点,我们在正文中没有选用解 答题,下面的例题是圆、直线与圆的一个综合,可作本讲 总结使用.

第13讲│ 教师备用例题

x2 例 已知椭圆 C: +y2=1 的左、 右焦点分别为 F1, 2 F2,下顶点为 A,点 P 是椭圆上任一点,⊙M 是以 PF2 为直径的圆. π (1)当⊙M 的面积为 时,求 PA 所在直线的方程; 8 (2)当⊙M 与直线 AF1 相切时,求⊙M 的方程; (3)求证:⊙M 总与某个定圆相切.

第13讲│ 教师备用例题

解:(1)易得 F1(-1,0),F2(1,0),A(0,-1),设点 P(x1,y1), x2 1 1 2 2 2 2 则|PF2| =(x1-1) +y1=(x1-1) +1- = (x1-2)2, 2 2 2 所以|PF2|= 2- x1. 2 π π π 又⊙M 的面积为 ,∴ = (x1-2)2,解得 x1=1, 8 8 8 ? 2? ? 2? ? ? ? ∴P?1, ?或?1,- ?, 2? ? 2? ? ? ? ? 2? 2? ? ? ? ∴PA 所在直线方程为 y=?1+ ?x-1 或 y=?1- ?x-1. 2? 2? ? ? ? ?x1+1 y ? 1? (2)因为直线 AF1 的方程为 x+y+1=0,且 M? ? 2 , 2 ?到直线 AF1 的距离为 ? ? ?x1+1 y ? ? ? 1 ? 2 + 2 +1? 2 2 ? ? = - x1,化简得 y1=-1-2x1, 2 4 2

第13讲│ 教师备用例题

?y1=-1-2x1, ? 2 8 联立方程组?x1 解得 x1=0 或 x1=- . 2 9 ? 2 +y1=1, ? ?1 ? 1? 1? ? 1? 1 ? ,- ?,此时⊙M 的方程为?x- ?2+?y+ ?2= ; ∴当 x1=0 时,可得 M 2 2? 2? ? 2? 2 ? ? ?1 ? 7? 1? ? 7 ? 169 8 当 x1=- 时,可得 M?18,18?,此时⊙M 的方程为?x-18?2+?y-18?2= . 9 162 ? ? ? ? ? ? (3)⊙M 始终和以原点为圆心,半径为 r1= 2(长半轴)的圆(记作⊙O)相切. ?x1+1?2 y2 ?x1+1?2 1 x2 2 2 1 1 证明:因为|OM|= + = + - = + x1, 4 4 4 4 8 2 4 2 2 又⊙M 的半径 r2=|MF2|= - x1,∴|OM|=r1-r2, 2 4 ∴⊙M 和⊙O 相内切.

第14讲 圆锥曲线的定义、 图形、方程与性质

第14讲│ 云览高考

[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 圆锥曲线 2010 湖北卷 20(C), 2012 解答(1) 的定义和标准方程 湖北卷 21(C) 考点 2 圆锥曲线 选择(1) 2011 湖北卷 15(B),2011 的几何性质 解答(1) 湖北卷 21(C) 考点 3 直线与圆 解答(1) 2011 湖北卷 21(C) 锥曲线的位置关系 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第14讲│ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题主要围绕两个点展开.第一个点围 绕圆锥曲线与方程本身的知识展开, 命题考查求圆锥曲线的方程、 求椭圆或者双曲线的离心率以及简单的直线与圆锥曲线交汇的试 题,目的是有针对性地考查对圆锥曲线基础知识和基本方法的掌 握程度,试题一般是选择题或者填空题;第二个点是围绕圆锥曲 线与方程的综合展开,命制以圆锥曲线为基本载体,综合直线、 圆等知识的综合性试题,目的是全面考查对解析几何的知识和方 法的掌握程度,考查综合运用解析几何的知识和方法分析问题、 解决问题的能力,这类试题一般是解答题,而且往往是试卷的压 轴题之一,具有一定的难度.

第14讲│ 二轮复习建议

预计 2013 年对该部分考查的基本方向不会有大的转折, 会在选择题或者填空题中考查圆锥曲线的定义、方程和简单 几何性质的应用,在解答题中综合考查圆锥曲线与方程. 复习建议:高考试题中解析几何的解答题一般具有一定 的难度,学生也畏惧解答解析几何试题,但解析几何试题的 特点是思路清晰,运算困难,因此在复习该讲(以及下一讲) 时,要在学生掌握好基础知识和基本方法的前提下,注重运 算技巧的点拨、注重运算能力的培养.

第14讲│ 主干知识整合

主干知识整合

第14讲│ 主干知识整合

注:1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方 b a 程分别为 y=± x,y =± x. a b 2. 表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是 p p p p x=- ,x= ,y=- ,y= . 2 2 2 2

第14讲│ 主干知识整合
1.椭圆 画出椭圆的图象,标出 F1,F2,a,b,c,回顾椭圆的定义、两 种形式的标准方程,a,b,c 的关系. 椭圆的简单几何性质:顶点、焦点、范围、对称性、离心率. 2.双曲线 画出双曲线的图象,标出 F1,F2,a,b,c,回顾双曲线的定义、 两种形式的标准方程,a,b,c 的关系. 双曲线的简单几何性质:顶点、焦点、范围、对称性、离心率、 渐近线方程. 3.抛物线 画出抛物线的图象,标出 F,回顾抛物线的定义、四种形式的标 准方程,焦参数 p 的几何意义. 抛物线的简单几何性质:顶点、焦点、准线方程、离心率.

第14讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 椭圆的标准方程与几何性质 x2 y2 [2012· 山东卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b

例1

3 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点 2 为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 8 2 12 6 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 20 5

第14讲│ 要点热点探究

x2 y2 (2)[2012· 课程标准卷] 设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 3a 左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三 2 角形,则 E 的离心率为( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5

第14讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求椭圆方程需确定系数 a,b ? (推 理)离心率确定一个 a,b 方程、面积确定一个 a,b 方程 ? (结 论)解方程组得之; (2)(分析)欲确定椭圆离心率需确定 a, 关系 ? (推理)画出 c 图形,确定图形中角的大小以及图形反映的数量关系得方程确 定之 ? (结论)根据离心率定义求得结果.

第14讲│ 要点热点探究

【答案】(1)D

(2)C

3 c 3 3 3 ,所以 e=a= ,c2= a2,c2= a2=a2-b2, 2 2 4 4 2 2 1 2 x x x2 2 2 2 所以 b = a ,即 a =4b .双曲线的渐近线方程为 y=± x,代入椭圆得 2+ 2=1,即 2+ 4 a b 4b 2 2 x 5x 4 2 4 2 = 2 =1,所以 x2 = b2 ,x=± b,y2 = b2 ,y=± b,则第一象限的交点坐标为 b2 4b 5 5 5 5 ? 2 2 ? 2 2 16 ? b, b?,所以四边形的面积为 4× b× b= b2=16,所以 b2=5,所以椭圆方程 ? 5 ? 5 5 ? 5 5 ? 2 2 x y 为 + =1,选 D. 20 5 [解析](1) 因为椭圆的离心率为

第14讲│ 要点热点探究

(2)因为△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则有|F2F1|=|F2P|,如图,因为 1 1 ∠PF1F2=30° ,所以∠PF2D=60° ,∠DPF2=30° ,所以|F2D|= |PF2|= |F1F2|,即 2 2 3a 1 3a c 3 3 -c= ×2c=c,所以 =2c,即a= ,所以椭圆的离心率为 ,选 C. 2 2 2 4 4

第14讲│ 要点热点探究

[点评] 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲 线系数的方程,解方程组得到系数值.求椭圆离心率的基本思想是建立关 于 a,b,c 的方程,根据已知条件和椭圆 a,b,c 的关系,根据离心率定 义求解.

第14讲│ 要点热点探究

x2 y2 y2 变式题 设椭圆 +m=1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点 2 3 分别为 F1,F2,P 为这两条曲线的一个交点,则|PF1|· 2|的 |PF 值等于( ) A.3 B.2 3 C.3 2 D.2 6

【答案】A

[解析] 焦点坐标为(0,± 2),由此得 m-2=4,故 m=6. 根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2 6,||PF1|- |PF2|| = 2 3 , 两 式 平 方 相 减 得 4|PF1||PF2| = 4×3 , 所 以 |PF1|· 2|=3. |PF

第14讲│ 要点热点探究

双曲线的标准方程与几何性质 x2 y2 例 2 (1)[2012· 湖南卷] 已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距 a b 为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 20 5 5 20 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 80 20 20 80

?

探究点二

第14讲│ 要点热点探究
x2 y2 (2)如图 5-14-1 所示,F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0) a b 的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

图 5-14-1 2 3 A. 3 6 B. 2 C. 2 D. 3

第14讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求双曲线方程需确定系数 a, ? (推理)焦距确 b 定一个 a,b 的方程,点 P 在渐近线上确定一个 a,b 的方程 ? (结论)解方 程组得之; (2)(分析)欲求双曲线的离心率需确定 a,c 的关系 ? (推理)写出 F1B 方程和双曲线渐近线方程可得 P,Q 坐标、进而可得 PQ 的中垂线方程, 求得点 M 坐标,根据|MF2|=|F1F2|列方程即可确定 a,c 关系 ? (结论)按 照离心率定义求之.

第14讲│ 要点热点探究
【答案】(1)A (2)B

x2 y2 [解析] (1)设双曲线 C: 2- 2=1 的半焦距为 c,则 2c=10,c a b =5. b 又∵C 的渐近线方程为 y=± x,点 P(2,1)在 C 的渐近线上, a b ∴1=a· 2,即 a=2b. x2 y2 又 c2=a2+b2,∴a=2 5,b= 5,∴C 的方程为 - =1. 20 5

第14讲│ 要点热点探究
b (2)依题得直线 F1B 的方程为 y= c x+b, c 那么可知线段 PQ 的垂直平分线的方程为 y=-b(x-3c), ? b ?y=c x+b, 由? ?y=-bx a ? ? b ?y=c x+b, 由? ?y=bx ? a 那么可得线段 PQ
2 2

联立解得点 P

? ac bc ? ? 的坐标为?-a+c,a+c?, ? ? ?

联立解得点 Q

? ac bc ? ? ? 的坐标为?c-a,c-a?, ? ?

?a2c c2? 的中点坐标为? b2 , b ?,代入 ? ?

c y=-b(x-3c)

c 并整理可得 2c =3a ,可得 e=a=

3 6 = ,故应选 B. 2 2

第14讲│ 要点热点探究

[点评] 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得 到圆锥曲线系数的方程,解方程组得到系数值.注意在椭圆中 c2 =a2-b2、在双曲线中 c2=a2+b2.求双曲线的离心率的基本思想是 建立关于 a,b,c 的方程,根据已知条件和双曲线中 a,b,c 的关 系,根据离心率定义求解.如果是求解离心率的范围,则需要建立 关于 a,c 的不等式(如下面的变式).

第14讲│ 要点热点探究

x2 y2 变式题 已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)被斜率为 1 的直 线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值为( ) 10 A. 5 B. 2 6 5 C. 2 D. 2

【答案】 D

第14讲│ 要点热点探究
[解析] 由题意,得直线的方程为 y-1=x-4,即 x-y-3=0. x2 y2 设直线与双曲线a2-b2=1 的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2).联立 ?x-y-3=0, ? 2 2 ?x y 消去 y,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0,故 x1+ ?a2-b2=1, ? 6a2 c 5 2 2 2 2 2 x2= 2 解得 e=a= 2 . 2=2×4=8.所以 4b =a .所以 4(c -a )=a , a -b 5 即该双曲线离心率的值为 2 .故选 D.

第14讲│ 要点热点探究

? 探究点三 抛物线的标准方程与几何性质 例 3 [2012· 安徽卷] 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交 该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________.

[思考流程] (分析)欲求|BF|只要求出点 B 横坐标即可 ? (推理)根据|AF|=3 和抛物线的定义可确定点 A 的坐标、 进而可 确定直线 AB 方程,得出点 B 坐标 ? (结论)根据抛物线定义求 得|BF|.
3 【答案】 2

第14讲│ 要点热点探究
? ? ? ? [解析] 如图, A??x0,y0?? ???y0<0???, 设 易知抛物线 y2=4x 的焦点为 F??1,0??, ? ? ? ? 抛物线的准线方程为 x=-1,故由抛物线的定义得?AF?=x0-??-1??=3,解 ? ? ? ? 得 x0=2, 所以 y0=-2 2.故点 A??2,-2 2??.则直线 AB 的 -2 2-0 斜率为 k= =-2 2,直线 AB 的方程为 y=- 2-1

2 2x+2

?y=-2 2x+2 ? 2,联立? 2 ?y =4x, ?

2,

消去 y 得 2x2-

5x+2=0, 1 由 x1x2=1,得 A,B 两点横坐标之积为 1,所以点 B 的横坐标为 . 2 1 ? 3 ? ? ? 再由抛物线的定义得?BF?= -??-1??= . ? ? 2 2

第14讲│ 要点热点探究

[点评] 在抛物线中过焦点的直线是一个特殊情况,它具有 许多性质,其中最基本的是焦点弦的两个端点横坐标之积、纵 坐标之积都为定值.

第14讲│ 要点热点探究

设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物 → → → → → → 线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=( ) 变式题 A.9 C.4 B.6 D.3

第14讲│ 要点热点探究

【答案】B

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),抛物线焦点坐 标 F(1,0),准线方程:x=-1. → → → ∵FA+FB+FC=0 可得 x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0. 而|FA|=x1-(-1)=x1+1,|FB|=x2-(-1)=x2+1, |FC|=x3-(-1))=x3+1. ∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+ 3=3+3=6.

第14讲│ 要点热点探究

? 探究点四 直线与圆锥曲线的位置关系 例 4 已知圆 C 的方程为 x2+y2=4,过点 M(2,4)作圆 C 的两 x2 y2 条切线, 切点分别为 A, 直线 AB 恰好经过椭圆 T:2+ 2=1(a>b>0) B, a b 的右顶点和上顶点. (1)求椭圆 T 的方程; (2)已知直线 l 与椭圆 T 相交于 P, 两不同点, Q 直线 l 方程为 y =kx+ 3(k>0),O 为坐标原点,求△OPQ 面积的最大值.

第14讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)过点 M 的圆的切点弦过椭圆上两个特殊 点 ? (目标)椭圆 T 的方程 ? (方法)求出直线 AB 的方程确定椭圆 方程求得 a,b,得出椭圆方程; (2)(条件)椭圆方程和直线系方程 ? (目标)△OPQ 面积的最 大值 ? (方法)使用斜率 k 不等式,弦长|PQ|与坐标原点到直线 l 的距离使用三角形面积公式建立三角形△OPQ 面积的函数,求 关于 k 的函数的最大值.

第14讲│ 要点热点探究

解:(1)由题意,一条切线方程为 x=2, 设另一条切线方程为 y-4=k(x-2), |4-2k| 3 3 5 则 2 =2,解得 k= ,此时切线方程为 y= x+ . 4 4 2 k +1 6 8 切线方程与圆方程联立得:x=- ,y= , 5 5 则直线 AB 的方程为 x+2y=2. 令 x=0,解得 y=1,∴b=1;令 y=0,得 x=2,∴a=2. x2 故所求椭圆方程为 +y2=1. 4

第14讲│ 要点热点探究
?y=kx+ 3, ? 2 (2)联立?x 整理得(1+4k2)x2+8 3kx+8=0. 2 ? 4 +y =1 ? -8 3k 8 令 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= , 1+4k2 1+4k2 Δ=(8 3k)2-32(1+4k2)>0,即 2k2-1>0. 3 2 原点到直线 l 的距离为 d= 2,|PQ|= 1+k |x1-x2|, 1+k 2k2-1 1 3 3 ∴S△OPQ= |PQ|· d= |x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2=2 6· 2 2 2 ?1+4k2?2 2k2-1 1 =2 6· =2 6· 9 4?2k2-1?2+12?2k2-1?+9 4?2k2-1?+12+ 2 2k -1 ≤1. 5 当且仅当 k= 时取等号,则△OPQ 面积的最大值为 1. 2

第14讲│ 要点热点探究

[点评] 本题是解析几何解答题的基本设计模式,即先求圆锥曲线的 方程,再研究直线与圆锥曲线相交产生的问题.本题求解弦长使用的是 “设而不求、整体代入”的方法,这是解析几何解决直线与圆锥曲线相交 的一般方法,要注意体会(下讲中我们继续研究这个方法).本题最后求最 值时,如果进行简单的换元,则更容易解决问题,即令 t=2k2-1>0,此 2k2-1 t t 1 时 = = 2 = . 9 ?1+4k2?2 ?3+2t?2 4t +12t+9 4t+ t +12

第14讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼

x2 y2 ?规律 双曲线方程为 2- 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐 m n 2 2 x y x y 近线方程是 2- 2=0,即m± =0.抛物线 y2=2px(p>0)的过 n m n ?p ? p2 焦点 F?2,0?的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= , 4 ? ? y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.

第14讲│ 规律技巧提炼

?技巧 1.椭圆和双曲线的离心率的范围问题其关键就是确立一个 关于 a,b,c 的不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到关于 a,c 的 不等式,从这个不等式确定 a,c 的关系.建立关于 a,b,c 的不等式要 充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 2.解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根 据韦达定理, 进行整体代入. 即当直线与圆锥曲线交于点 A(x1, 1), 2, y B(x 1 2 y2) 时 , |AB| = 1+k |x1 - x2| = 1+ 2 |y1 - y2| , 而 |x1 - x2| = k ?x1+x2?2-4x1x2等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一 元二次方程,利用韦达定理进行整体代入. ?易错 混淆椭圆与双曲线中 a,b,c 的关系;直线与圆锥曲线相交 时忽视消元后的一元二次方程的判别式大于零.

第14讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
推理论证能力——探求圆锥曲线轨迹的基本思路与方法
示例 已知圆 C 与两圆 x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1 外切, 圆 C 的圆心轨迹方程为 L,设 L 上的点与点 M(x,y)的距离的最小 值为 m,点 F(0,1)与点 M(x,y)的距离为 n. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)求满足条件 m=n 的点 M 的轨迹 Q 的方程.

第14讲│ 命题立意追溯
[命题阐释] 本题命题立意是通过对已知条件的分析、通 过逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程,考查逻辑推 理能力在求轨迹方程中的运用,其特点是解轨迹方程不以计 算为主,而以推理为主.

[思考流程] (1)(条件)L 上的点到两个已知圆的圆心距离相 等 ? (目标)圆 C 的圆心轨迹 L 的方程 ? (方法)根据平面几何 知识作出推断,L 为两圆圆心的垂直平分线; (2)(条件)点 M 的轨迹满足的几何条件 ? (目标)点 M 的轨 迹 Q 的方程 ? (方法)归结为圆锥曲线定义,确定圆锥曲线方 程的系数写出轨迹方程.

第14讲│ 命题立意追溯

解: (1)两圆半径都为 1, 两圆心分别为 C1(0, -4)、 2(0,2), C 由题意得 CC1=CC2,可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平 分线,C1C2 的中点为(0,-1),直线 C1C2 垂直平分线的斜率等 于零, 故线段 C1C2 的垂直平分线方程为 y=-1, 即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y=-1. (2)因为 m=n,所以 M(x,y)到直线 y=-1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等, 故点 M 的轨迹 Q 是以 y=-1 为准线,点 F(0,1)为焦点, p 顶点在原点的抛物线, =1,即 p=2, 2 所以,轨迹 Q 的方程是 x2=4y.

第14讲│ 命题立意追溯
跟踪练

设双曲线 C1 的渐近线方程为 y=± 3x,焦点在 x 轴上且 实轴长为 1.若曲线 C2 上的点到双曲线 C1 的两个焦点的距离之 和等于 2 2,并且曲线 C3:x2=2py(p>0 是常数)的焦点 F 在 曲线 C2 上. (1)求满足条件的曲线 C2 和曲线 C3 的方程; (2)过点 F 的直线 l 交曲线 C 于点 A、 B(A 在 y 轴左侧), → 若AF
3

1→ = FB,求直线 l 的倾斜角. 3

第14讲│ 命题立意追溯
1 ? ?b1 a1 = , ? ? = 3, 2 a1 解:(1)双曲线 C1 满足:? 解得? ?2a1=1. ?b1= 3. ? 2 ? 则 c1= a2+b2=1,于是曲线 C1 的焦点 F1(-1,0),F2(1,0), 1 1 x2 y2 曲线 C2 是以 F1,F2 为焦点的椭圆,设其方程为 2+ 2= a2 b2 ?2a =2 2, ?a = 2, ? 2 ? 2 x2 2 1(a2>b2>0),解? 2 得? 即 C2: +y =1. 2 2 ?a2-b2=1, ?b2=1. ? ? 依题意,曲线 C3:x2=2py(p>0)的焦点为 F(0,1), p 于是 =1,所以 p=2,曲线 C3:x2=4y. 2

第14讲│ 命题立意追溯

(2)由条件可设直线 l 的方程为 y=kx+1, ?x2=4y, ? 由? 得 x2-4kx-4=0,Δ=16(k2+1)>0. ?y=kx+1 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. → =1FB得-3x1=x2,代入 x1+x2=4k,得 x1=-2k, → 由AF 3 1 x2=6k,代入 x1x2=-4 得 k2= ,由于点 A 在 y 轴左侧,所 3 3 π 以 x1=-2k<0,即 k>0,所以 k= ,直线 l 的倾斜角为 . 3 6

第14讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例 1 为解析几何的应用,是近年来少有的 情况,值得适当注意;例 2 为抛物线中三角形面积计算问 题,可与例 3 交互使用;例 3 是一道直线与圆锥曲线相交 后的一个分点问题,可在探究点二或四中使用.

第14讲│ 教师备用例题

例 1 [2012· 陕西卷] 如图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水位下降 1 m 后, 水面宽________ m.

[答案] 2 6

第14讲│ 教师备用例题

[解析] 本小题主要考查了抛物线的知识,解题的关 键是建立坐标系求出抛物线的方程. 以拱顶为坐标原点建 立平面直角坐标系, 设抛物线的方程为: 2=-2py(p>0), x 由题意知抛物线过点(2,-2),代入方程得 p=1,则抛物 线的方程为:x2=-2y,当水面下降 1 m 时,为 y=-3, 代入抛物线方程得 x= 6,所以此时水面宽为 2 6 m.

第14讲│ 教师备用例题

例 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为 ________.

[答案]

3

第14讲│ 教师备用例题
[解析] 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),直线 l 的斜率为 tan60° = 3,所以直线 l 的方程为 y= 3x- 3,将直线 l 的方程和抛物 ?y= 3x- 3, ? 线方程联立? 2 可得 3x2-10x+3=0.设 A(x1,y1), ?y =4x, ? B(x2,y2), 由点 A 在 x 轴上方, 所以 A 点在第一象限, x1=3, 1=2 3. 则 y 3 法一:|AF|=x1+1=4,O 点到直线 AB 的距离为 d= , 2 1 3 所以 S△FOA= ×4× = 3. 2 2 1 法二: A(3,2 3),所以 S△FOA= ×1×2 3= 3. 2

第14讲│ 教师备用例题

x2 y2 例 3 过双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点 F 作 a b 一条渐近线的垂线, 垂足为点 A, 与另一条渐近线交于点 → → B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5

【答案】 C

第14讲│ 教师备用例题
b [解析]双曲线的渐近线方程是 y=± x, a 设过右焦点 F(c,0)的直 b a 线 l 与渐近线 y=ax 垂直,则直线 l 的方程即 y=-b(x-c),两直 ab a 线方程联立解得点 A 的纵坐标 y1= c ;把方程 y=-b(x-c)与方 b abc → → 程 y=-ax 联立,解得点 B 的纵坐标 y2= 2 2.由于FB=2FA, b -a abc 2ab 即(x2-c,y2)=2(x1-c,y1),由此得 y2=2y1,故 2 = c ,此 b -a2 即 2(b2-a2)=c2,即 2(c2-2a2)=c2,解得 c=2a,故所求的双曲线 的离心率是 2.

第15讲 圆锥曲线热点问题

第15讲│ 云览高考

[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 弦长、中点 0 问题 考点 2 最值、参数 2012 湖北卷 21(C), 解答(2) 范围问题 2010 湖北卷 20(C) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第15讲│ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:该部分的命题可以从不同的点展开,具有很大的灵活 性,大致说来有如下两个大点:第一个大点是围绕曲线方程展开,设 计求圆锥曲线的方程或者一般的曲线方程的问题,目的是考查对曲线 方程求法的掌握程度和对圆锥曲线与方程的掌握程度,这类试题一般 是选择题或者填空题、解答题的第一个设问(绝大多数解析几何解答题 第一问都是该类问题), 试题难度不大; 第二大点是围绕圆锥曲线方程、 直线、圆的综合展开,设计求直线被圆锥曲线截得的线段长度、范围、 最值,求直线与圆锥曲线的交点与其他点组成的三角形的面积、面积 的范围、面积的最值,与圆锥曲线上的点相关的直线系恒过定点等问 题,这类试题都是解答题,而且是解答题中的第二问、第三问,目的 是考查考生综合运用解析几何知识分析问题、解决问题的能力,具有 一定的难度.

第15讲│ 二轮复习建议

预计 2013 年该部分的命题也会是两个组成部分,一个部分是考 查圆锥曲线与方程的求法,另一个部分是综合性的考查,考查方向 也会具有较大的灵活性和不确定性. 复习建议:本书设计本讲的目的虽然是为了综合提高学生解决 解析几何试题的能力,但由于解析几何试题的特点,很多学生对解 析几何解答题的第二问、第三问都无法完成,因此本讲重在基础, 重在圆锥曲线与方程的求法,力图使学生能够顺利解答解析几何解 答题的第一个设问,在此基础上兼顾了一些热点问题的解法研究, 力图给学生一个解决这类问题的基本思想方法.在复习该讲时要以 基础为主、思想方法为主.

第15讲│ 主干知识整合

主干知识整合

第15讲│ 主干知识整合

1.曲线方程的求法 直 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法. 接 法 定 已知曲线类型,求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法 义 (待定系数法). 法 动点 P(x,y)随动点 Q(x0,y0)运动,Q 在曲线 C:f(x,y) 代 =0 上,以 x,y 表示 x0,y0,代入曲线 C 的方程得到动点 入 轨迹方程的方法. 法

第15讲│ 主干知识整合

参 数 法 交 规 法

把动点坐标(x,y)用参数 t 进行表达的方法.此时 x=φ(t), y=ψ(t),消掉 t 即得动点轨迹方程. 轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的,在两动直线(曲线) 中消掉参数即得轨迹方程的方法.

第15讲│ 主干知识整合
2.圆锥曲线热点问题

第15讲│ 要点热点探究

要点热点探究
圆锥曲线中的弦长问题 x2 y2 例 1 已知双曲线 - =1,过其右焦点 F 的直线交双曲 9 16 |MF| 线于 P,Q 两点,PQ 的垂直平分线交 x 轴于点 M,则 的值 |PQ| 为( ) 5 5 5 5 A. B. C. D. 3 6 4 8 ? 探究点一

[思考流程] (分析)使用参数表达|MF|, |PQ| ? (推理)设直线方 程为 x=my+5 后使用 m 表达|MF|,|PQ| ? (结论)消掉参数即得.

第15讲│ 要点热点探究
圆锥曲线中的弦长问题

【答案】B
[解析] 右焦点 F 的坐标是(5,0), 设直线 PQ 的方程是 x=my+5, 代入双曲线方程得(16m2-9)y2+160my+162=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 160m 162 则 y1+y2=- ,y y = , 16m2-9 1 2 16m2-9 ? 160m ? 96?1+m2? 162 ? ?2 2 则|PQ|= 1+m = . ?16m2-9? -4· 16m2-9 |16m2-9| ? ? 设 PQ 的中点 N(x0,y0), 80m 80m2 45 则 y0=- ,x0=- +5=- . 16m2-9 16m2-9 16m2-9

第15讲│ 要点热点探究

y0 y0 125 设 M(t,0),则 =-m,即 t=m+x0=- , x0-t 16m2-9 ? ? 80?1+m2? 125 ? ? 故|MF|=|t-5|=?-16m2-9-5?= . |16m2-9| ? ? |MF| 80 5 所以 = = . |PQ| 96 6

第15讲│ 要点热点探究

[规范评析] 本题考查直线与圆锥曲线的位置问题,解题要用 到很多知识,而且在计算上极为复杂,很容易弄错.解决直线与圆 锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据韦达定理,进行 整体代入. 即当直线与圆锥曲线交于点 A(x1, 1), 2, 2)时, y B(x y |AB| 1 = 1+k2|x1-x2|= 1+ 2|y1-y2|,而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2 k 等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程, 利用韦达定理进行整体代入.

第15讲│ 要点热点探究

变式题 已知抛物线 y=ax2 的焦点到准线的距离为 2, 则直线 y=x+1 截抛物线所得的弦长等于________.

第15讲│ 要点热点探究

[答案] 8
1 1 1 2 [解析] 由题设 p=2a=2, 解得 a=4.故抛物线方程为 y=4x , ? 1 2 ?y= x , 焦点为 F(0,1),准线为 y=-1.直线过焦点 F,联立? 4 ?y=x+1, ? 消去 x,整理得 y2-6y+1=0,∴y1+y2=6,所得弦|AB|=|AF| +|BF|=y1+1+y2+1=y1+y2+2=8.

第15讲│ 要点热点探究

?

探究点二 圆锥曲线中的中点问题 例 2 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, 两点, AB 的中点为 N(-12, B 且 -15),则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 3 6 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 6 3 5 4

[思考流程] (分析)确定双曲线方程即确定其系数 ? (推理) 利用 AB 的中点坐标、双曲线的焦点坐标确定双曲线系数的方 程组 ? (结论)解方程组得出双曲线方程的系数即可得出双曲 线方程.

第15讲│ 要点热点探究
圆锥曲线中的中点问题

【答案】



x2 y 2 [解析] 方法 1:设所求的双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b A(x1,y1),B(x2,y2).由直线 AB 经过点 F,N,得直线 AB 的斜 率 kAB=1,故直线 AB 的方程是 y=x-3,代入双曲线方程并整理 得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0,由于 AB 的中点为 N(-12, 3a2 5 2 2 -15), 故有- 2 即 b = a .由 a2+b2=9, 解得 a2=4, 2=-12, 4 b -a x2 y 2 b2=5.故所求的双曲线的方程是 - =1. 4 5

第15讲│ 要点热点探究
x2 y 2 方法 2:设所求的双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2, a b 2 ?x1-x2??x1+x2? x2 y1 x2 y 2 1 2 2 y2). A, 在双曲线上, 2- 2=1,2- 2=1, 点 B 故 两式相减得 a b a b a2 ?y1-y2??y1+y2? - =0, b2 由于 AB 的中点为 N(-12,-15),所以 x1+x2=-24,y1+y2=-30. y1-y2 由于 A,B,F,N 四点共线,所以 kAB =kFN =1,即 =1.代入 x1-x2 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? 5 - =0,即得 b2= a2.由 a2+b2=9,解得 a2 2 2 a b 4 2 2 x y =4,b2=5.故所求的双曲线的方程是 - =1. 4 5

第15讲│ 要点热点探究

[规范评析] 中点问题的一般解法有两个,一是根据韦达定理, 二是把点的坐标代入曲线方程,然后作差求直线斜率的,通常称为 点差法,点差法能简化运算,是解析几何中的一种重要方法,但其 缺点是对存在性不明显.解决弦的中点问题一般就是上面的两个方 法“韦达定理法”“点差法”,但不论哪个方法都要考虑问题的存 在性.

第15讲│ 要点热点探究

x2 y2 2 变式题 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是 a b 3 椭圆上关于 x、y 轴均不对称的两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于点 P(1,0),设 AB 的中点为 C(x0,y0),则 x0 的值 为( ) 9 9 4 5 A. B. C. D. 5 4 9 9

【答案】B

第15讲│ 要点热点探究
x2 y2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由于点 A,B 在椭圆 2+ 2= a b 2 ?x1+x2??x1-x2? x2 y1 x2 y2 1 2 2 1(a>b>0)上, 所以 2+ 2=1, 2+ 2=1, 两式相减得 a b a b a2 ?y1+y2??y1-y2? b2x0 + =0.设直线 AB 的斜率为 k, 则得 k=- 2 , 从而 b2 a y0 a2y0 线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2 ,线段 AB 的垂直平分线的方 b x0 a2y0 程为 y-y0= 2 (x-x0). 由于线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 b x0 a2y0 a2 a2 ?1?2 P(1,0),所以 0-y0= 2 (1-x0),解得 x0= 2 = 2 =? ? .所以 x0 b x0 a -b2 c ?e ? 9 = . 4

第15讲│ 要点热点探究
? 探究点三 圆锥曲线中的最值与范围问题
? 1? P?1,2? ? ?

例3

[2012· 浙江卷] 如图 5-15-1, 在直角坐标系 xOy 中, 点

5 到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 4 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

图 5-15-1

第15讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)点 M 在抛物线上、 P 到抛物线准线的距离 点 ? (目标)求 p,t ? (方法)根据已知列方程组,解方程组即得; (2)(条件)直线 OM 的方程、 P 坐标、 点 抛物线方程 ? (目标)△ABP 面积的最大值 ? (方法)利用 AB 的中点的坐标为参数建立△ABP 面积 的函数关系式,通过函数的最值求解.

第15讲│ 要点热点探究

圆锥曲线中的最值与范围问题
1 ?2pt=1, ? ? ?p= , 2 解:(1)由题意知? 得? (3 分) p 5 ?1+2=4, ?t=1. ? ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m), 由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). 2 ?y1=x1, ? 由? 2 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. ?y2=x2, ? 故 k· 2m=1. 1 所以直线 AB 方程为 y-m= (x-m), 2m 即 x-2my+2m2-m=0.(5 分)

第15讲│ 要点热点探究
?x-2my+2m2-m=0, ? 由? 2 ?y =x ?

消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0,

所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·2=2m2-m. y 1 从而|AB|= 1+ 2· 1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2.(7 分) |y k |1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= . 1+4m2 1 设△ABP 的面积为 S,则 S= |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2.(9 分) 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 u= m-m2,0<u≤ ,则 S=u(1-2u2).(10 分) 2 1 2 设 S(u)=u(1-2u ),0<u≤ ,则 S′(u)=1-6u2. 2 ? 6? 1? 6 ? 6 ? ?0, ?,所以 S(u)max=S? 由 S′(u)=0 得 u= ∈ = . ? 6 ? 2? 6 ? 9 ? ? 6 故△ABP 面积的最大值为 .(12 分) 9

第15讲│ 要点热点探究

[规范评析] 解析几何中的最值问题基本思路是建立求解目标关 于某个变量的函数,通过求解函数最值解决问题.参数范围的思路与 此类似,即建立求解目标关于某个变量的函数,通过函数值域求解其 范围.

第15讲│ 要点热点探究

y2 x2 5 变式题 已知双曲线a2-b2=1(a,b>0)的离心率 e= 2 , 焦点(0,c)到一条渐近线的距离为 1. (1)求此双曲线的方程; (2)设 P 为双曲线上一点, B 两点在双曲线的渐近线上, A, ? ? → =λPB,其中 λ∈?1,3?, → 且分别位于第一、第二象限,若AP ?2 ? 求△AOB 面积的取值范围.

第15讲│ 要点热点探究

解:(1)依题意,焦点(0,c)到渐近线 ax-by=0 的距离为 1, bc 即 2 =b=1. a +b2 c 5 又 e=a= 2 , ∴a=2,b=1,c= 5, y2 故双曲线的方程为 4 -x2=1.

第15讲│ 要点热点探究
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x, 设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m>0,n>0. ?m-λn 2m+2λn? ? → =λPB得点 P 的坐标为? → 由AP ? 1+λ , 1+λ ?, ? ? ?1+λ?2 y2 2 将点 P 的坐标代入 4 -x =1 整理得 mn= 4λ . 1 4 设∠AOB=2θ,则 tanθ=2,从而 sin2θ=5, 又|OA|= 5m,|OB|= 5n, 1 1? 1? 所以 S△AOB=2|OA|· |OB|sin2θ=2mn=2?λ+λ ?+1, ? ? ?1 ? 1? 1? ?λ+ ?+1 在? ,1?上单调递减,[1,3]上单调递增, 易知 f(λ)=2 λ? ? ?2 ? ?1? 9 8 且 f(3)=3,f(1)=2,f?2?=4, ? ? ? 8? 所以△AOB 面积的取值范围是?2,3?. ? ?

第15讲│ 要点热点探究

?

探究点四

圆锥曲线中的定点与定值问题

在平面直角坐标系中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 2,0), 1 B(- 2,0),直线 PA 与 PB 的斜率之积为- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对 称点为 Q(M、Q 不重合),求证:直线 MQ 过定点.

例 4

第15讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)PA 与 PB 的斜率之积为-

1 ? (目标)求点 P 2

的轨迹方程 ? (方法)直接设定代入; (2)(条件)椭圆方程、直线系过点(1,0)等 ? (目标)直线 MQ 恒过定 点 ? (方法)以参数表达直线系方程、代入椭圆方程,设出 M,N 的坐 标,得出 Q 坐标,建立直线系 MQ 的方程,证明直线过定点.

第15讲│ 要点热点探究
圆锥曲线中的定点与定值问题 y y 1 解:(1)由题知: · =- . 2 x+ 2 x- 2 x2 2 化简得 +y =1(y≠0).(4 分) 2 (2)方法 1:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1, x2 2 代入 +y =1(y≠0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.(7 分) 2 -2m -1 y1+y2= 2 ,y y = , m +2 1 2 m2+2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1),(10 分) x1-x2 令 y=0, y1?x2-x1? my1?y2-y1? 2my1y2 得 x=x1+ =my1+1+ = +1=2, y1+y2 y1+y2 y1+y2 ∴直线 MQ 过定点(2,0).(12 分)

第15讲│ 要点热点探究

方法 2:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:y=k(x-1), x2 2 代入 +y =1(y≠0)整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,(7 分) 2 2k2-2 4k2 x1+x2= ,x1x2= , 1+2k2 1+2k2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1),(10 分) x1-x2 令 y=0, y1?x2-x1? k?x1-1??x2-x1? 2x1x2-?x1+x2? 得 x=x1+ =x1+ = =2. y1+y2 k?x1+x2-2? x1+x2-2 ∴直线 MQ 过定点(2,0).(12 分)

第15讲│ 要点热点探究

[规范评析] 解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数 建立直线系方程,然后再根据直线系方程过定点时,方程的成立与参 数没有关系得到一个关于 x,y 的方程组,以这个方程组的解为坐标的 点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同,看下面变式.

第15讲│ 要点热点探究

x2 y 2 变式题 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F1(-1,0), 长轴长与短轴长的比是 2∶ 3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F1 作两直线 m,n 交椭圆于 A,B,C,D 四点,若 1 1 m⊥n,求证:|AB|+|CD|为定值.

第15讲│ 要点热点探究

?2a∶2b=2∶ 3, ? 解:(1)由已知得?c=1, ?a2=b2+c2, ? 解得 a=2,b= 3. x2 y2 故所求椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)由(1)知 F1(-1,0), 当直线 m 斜率存在时,设直线 m 的方程为:y=k(x+ 1)(k≠0).

第15讲│ 要点热点探究
?y=k?x+1?, ? 2 2 由 ?x y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0. ? 4 + 3 =1 ? 由于 Δ>0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 4k2-12 8k2 x1+x2=- ,x1x2= , 3+4k2 3+4k2 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] ?? 8k2 ?2 4k2-12? 12?1+k2? ? ? ? = ?1+k2???-3+4k2? -4× . 2 ?= ? 3+4k ? 3+4k2 ? ?? 12?1+k2? 同理|CD|= . 3k2+4 3+4k2 3k2+4 7?1+k2? 1 1 7 所以|AB|+|CD|= + = =12. 12?1+k2? 12?1+k2? 12?1+k2? 1 1 1 1 7 当直线 m 斜率不存在时,此时|AB|=3,|CD|=4,|AB|+|CD|=3+4=12. 1 1 7 综上,|AB|+|CD|为定值12.

第15讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼

?规律 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量, 那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这 些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值, 就是要求的定点、定值;解决圆锥曲线中的最值、范围问题基本思想是 建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围.

第15讲│ 规律技巧提炼

?技巧 定点、定值问题的基本技巧是引进变动的参数表示直线方 程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参 数影响的量;解决参数范围、最值问题时,在建立目标函数或不等关系 时选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个 变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际 情况灵活处理. ?易错 忽视特殊情况, 其使用直线的点斜式方程而忽视了斜率不存 在的情况;在直线与圆锥曲线相交的问题中忽视消元后的一元二次方程 的判别式大于零.

第15讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
抽象概括能力——圆锥曲线问题中的存在性问题

示例 设 A 是单位圆 x2+y2=1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂 直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足|DM|= m|DA|(m>0,且 m≠1).当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程, 判断曲线 C 为何种圆锥曲线, 并求其焦点坐标; (2)过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象 限,且它在 y 轴上的射影为点 N,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H.是否存 在 m,使得对任意的 k>0,都有 PQ⊥PH?若存在,求 m 的值;若不存 在,请说明理由.

第15讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括 能力、分类讨论、化归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模 式进行命制, 解题中需要对参数进行分类讨论, 以及把已知的几何条件逐步 转化为代数条件,充分体现了等价转化思想的应用.

[思考流程] (1)(条件)|DM|=m|DA|,点 A 在单位圆 x2+y2=1 上 ? (目 标)得出椭圆方程 ? (方法)设出点 M,A 的坐标,运用相关点法求解; (2)(条件)椭圆方程 ? (目标)判断实数 m 存在与否 ? (方法)先假设其 存在,把几何条件条件转化为代数条件后得到关于实数 m 的坐标方程,这 个方程若有解,则存在,否则不存在.

第15讲│ 命题立意追溯

解:(1)如图 5-15-2(1),设 M(x,y),A(x0,y0), 则由|DM|=m|DA|(m>0,且 m≠1), 1 可得 x=x0,|y|=m|y0|,所以 x0=x,|y0|=m|y|.①
2 2 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0+y0=1.②

y2 将①式代入②式,即得所求曲线 C 的方程为 x +m2=1(m>0,且 m≠1).
2

因为 m∈(0,1)∪(1,+∞),所以当 0<m<1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的 椭圆, 两焦点坐标分别为(- 1-m2,0),( 1-m2,0); m2-1). 当 m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0,- m2-1),(0,

第15讲│ 命题立意追溯
(2)如图 5-15-2(2)、(3),对任意 k>0,设 P(x1,kx1),H(x2,y2),则 Q(-x1,-kx1),N(0,kx1),直线 QN 的方程为 y=2kx+kx1,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2x2-m2=0. 1 依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得 4k2x1 m2x1 -x1+x2=- 2 ,即 x2= 2 . 2 2 m +4k m +4k 2km2x1 因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2-kx1=2kx2= 2 . m +4k2 ? 4k2x1 2km2x1 ? ? , → 于是PQ=(-2x1, -2kx1),→ =(x2-x1, 2-kx1)=?- 2 PH y ? m +4k2 m2+4k2?. ? ?

第15讲│ 命题立意追溯
4?2-m2?k2x2 1 → PH → 而 PQ⊥PH 等价于PQ· = =0, m2+4k2 即 2-m2=0,又 m>0,得 m= 2, y2 故存在 m= 2,使得在其对应的椭圆 x + 2 =1 上,对任意的 k>0 都有
2

PQ⊥PH.

图 5-15-2

第15讲│ 命题立意追溯
跟踪练
x2 y2 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),过点 B(0,1),离心率 2 2 为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆交于 M,N 两 → =1PN成立?若存在,求出直线 l 的 个不同的点,且使PM 2 → 方程;若不存在,请说明理由.

第15讲│ 命题立意追溯
c 解:(1)由题意可知 b=1,a= 2 2 3 , 解得 a2=9. x2 2 故椭圆 M 的方程为 9 +y =1. → =1PN,∴点 M 为 PN 的中点, (2)∵PM 2 → 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x2=2x1. ① ① 当直线的斜率 k 不存在时,M(0,1),N(0,-1), P(0,2),易知不符合条件,此时直线方程不存在.
?b?2 1-?a? = ? ?

1 1-a2=

第15讲│ 命题立意追溯
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y=kx+2. ?y=kx+2, ? 2 由 ?x 消去 y 得(9k2+1)x2+36kx+27=0. +y2=1 ?9 ? 2 2 2 1 得 Δ=(36k) -4· +1)· (9k 27>0,解得 k >3(*). 36k 27 x1+x2=- 2 ,②x1x2= 2 ,③ 9k +1 9k +1 3 15 2 由①②③消去 x1,x2,可得 k =5,故 k=± 5 ,满足(*) 15 综上可知:存在满足条件的直线 l 的方程为:y=± 5 x+2.

第15讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:下面的例题是一道典型的定点问题的试 题,从这个题目看以看出解决定点问题的基本思路,可以 在探究点四中使用.

第15讲│ 教师备用例题

例 1 [2012· 福建卷] 如图所示,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P, 与直线 y=-1 相交于 点 Q,证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.

第15讲│ 教师备用例题

解:解法一:(1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30° . 设 B(x,y),则 x=|OB|sin30° =4 3,y=|OB|cos30° =12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上,所以(4 3)2=2p×12, 解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,且 l 的方程为 1 1 1 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2. 2 2 4 0 2 x0-4 1 1 2 ? ? ?x= ?y= x0x- x0, , 2 4 2x0 由? 得? ?y=-1, ?y=-1. ? ? ?x2-4 ? ? 0 ? 所以 Q? ,-1?. ? 2x0 ?

第15讲│ 教师备用例题

假设以 PQ 为直径的圆恒过定点 M, 由图形的对称性知 M 必 1 → MQ → 在 y 轴上,设 M(0,y1),令MP· =0 对满足 y0= x2(x0≠0)的 4 0 x0,y0 恒成立. ?x2-4 ? ? → =(x0,y0-y1),MQ=? 0 → ? 由于MP ,-1-y1?. ? 2x0 ? 2 x0-4 → MQ → 由MP· =0,得 -y0-y0y1+y1+y2=0. 1 2 即(y2+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*) 1 1 由于(*)式对满足 y0= x2(x0≠0)的 y0 恒成立, 4 0 ?1-y1=0, ? 所以? 2 ?y1+y1-2=0, ? 解得 y1=1. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

第15讲│ 教师备用例题

解法二: (1)同解法一. 1 1 (2)由(1)知 y= x2,y′= x, 4 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,且 l 的方程为 1 1 1 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2. 2 2 4 0 2 x0-4 1 1 2 ? ? ?x2-4 ? ?x= ?y= x0x- x0, , ? 0 ? 2 4 2x0 ? ? 由 得 所以 Q? ,-1?. ? 2x0 ? ?y=-1, ?y=-1, ? ? 取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为(x 2 -1) +y2=2,交 y 轴于点 M1(0,1)或 M2(0,-1);取 x0=1,此时 ? ? ? 1? ? 3 1? ? 3? 125 ?1, ?, ?- ,-1?, PQ 为直径的圆为?x+ ?2+?y+ ?2= P 以 , 4 ? Q? 2 4? ? 8? 64 ? ? ? ? 7? ?0,- ?. 交 y 轴于 M3(0,1)或 M4 4? ? 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1).

第15讲│ 教师备用例题

以下证明点 M(0,1)就是所要求的点. ?x2-4 ? ? → =(x0,y0-1),MQ=? 0 → ? 因为MP ,-2?, ? 2x0 ? 2 → MQ x0-4-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. → MP· = 2 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M.

第15讲│ 教师备用例题
x2 y2 例 2 如图,已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,其上顶点为 A,已知△F1AF2 是边长为 2 的正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(-4,0)任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,记 → → → → MQ=λ· .若在线段 MN 上取一点 R 使得MR=-λ· ,试判断 QN RN 当直线 l 运动时,点 R 是否在某一定直线上运动?若在,请求出 该定直线的方程;若不在,请说明理由.

第15讲│ 教师备用例题

解:(1)△F1AF2 是边长为 2 的正三角形,则 c=1,a=2, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)直线 MN 的斜率必存在,设其直线方程为 y=k(x+4),并 设 M(x1,y1),N(x2,y2). 2 2 ?x y ? + =1, 联立方程? 4 3 消去 y 得(3+4k2)x2+32k2x+64k2 ?y=k?x+4?, ? -12=0, -32k2 64k2-12 则 Δ=144(1-4k2)>0,x1+x2= ,x1· 2= x , 3+4k2 3+4k2

第15讲│ 教师备用例题
→ =λ· ,得-4-x1=λ(x2+4),故 λ=-x1+4. → 由MQ QN x2+4 设点 R 的坐标为(x0,y0), → → 则由MR=-λ· 得 x0-x1=-λ(x2-x0), RN x1+4 x1+ · x x2+4 2 2x1x2+4?x1+x2? x1-λx2 解得 x0= = = , 1-λ x1+4 ?x1+x2?+8 1+ x2+4 64k2-12 -32k2 -24 又 2x1x2+4(x1+x2)=2× +4× = , 3+4k2 3+4k2 3+4k2 -32k2 24 (x1+x2)+8= +8= , 3+4k2 3+4k2 2x1x2+4?x1+x2? 从而 x0= =-1, ?x1+x2?+8 故点 R 在定直线 x=-1 上.


...届高考数学二轮复习专题训练:专题四 平面解析几何

江苏省2012届高考数学二轮复习专题训练:专题平面解析几何_数学_高中教育_教育...4. 5+1 解析: 点(2,3)到圆心的距离是 ?2-1?2+?3-1?2= 5, 则...

2014年高三高考数学专题复习之平面解析几何

2014 年高三高考数学专题复习平面解析几何一、本章知识结构: 二、重点知识回顾 1.直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为 k,倾斜角为α ,它们的关系...

2009年高考数学第二轮复习专题:平面解析几何(含答案)

2009年高考数学第二轮复习专题:平面解析几何(含答案)...(2,1),半径是 5 , 所以圆 C 的方程是 ( x ...2013高考数学(文)二轮复... 141页 7下载券 2013...

《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课...

《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题五 解析几何 第1讲_高考_高中...10.(2013· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy ...

《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课...

《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题五 解析几何 第2讲_高考_高中教育_教育专区。《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(...

《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课...

《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题五 解析几何第3讲_高考_高中教育_教育专区。《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏...

最新2008高考数学专题复习精品教案:专题5:解析几何题型...

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...最新2008高考数学专题复习精品教案:专题5:解析几何题型...例题 2. (湖北省十一校)在直角坐标平面中,△ABC ...

...)新课标高考总复习专项演练:第九章 平面解析几何9-5...

2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练:第九章 平面解析几何9-5 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。数学备课大师 www.eywedu.net【全...

2013届高考数学总复习阶段性测试题九:平面解析几何(北...

2013高考数学总复习阶段性测试题九:平面解析几何(北师大版))_高中教育_教育专区...只有一项是符合题目要求的) 1.(文)(2012· 潍坊模拟)若直线 x-2y+5=0 ...

...·通用版)专题综合训练(六) 专题六 平面解析几何 Wo...

2014高考数学复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(六) 专题平面解析几何 Word版含解析_高中教育_教育专区。2014高考数学复习方案 二轮作业手...

相关文档

更多相关标签