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《基本不等式(一)》


a ? b ? ab 2

(a ? 0, b ? 0)

2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标

思考:这会标中含有怎 样的几何图形? 思考:你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系?

问1:在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a ?b 为

S=———— , 问2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab A D 形,它们的面积和是S’=——— 问3:S与S’有什么样的关系?
H

从图形中易得,

s > s ’, 即

a +b

2

2

E F

G

a + b > 2ab

2

2

B

C

问题1:s, S’有相等的情况吗? 何时相等?
?形的角度

图片说明:当直角三角形 变为等腰直角三角形,即 a=b时,正方形EFGH缩为一 个点,这时有

a ? b =2ab
2 2

?数的角度

当a=b时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

问题2:当 a,b为任意实数时,a + b ? 2ab 成
2 2

立吗?

结论:一般地,对于任意实数a、b,我们有

a ? b ? 2a ? b
2 2

当且仅当a=b时,等号成立

此不等式称为重要不等式

类 (特别的)如果 a>0 ,b>0 , 比 联 用 a和 b代替a、b, 可得 a ? b ? 2 想 也可写成 推 理 论 证

ab

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当 a=b 时“=”号成
立 此不等式称为基本不等式

a?b ? 2
算术平均数

ab

几何平均数

(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

对基本不等式的几何意义作进 一步探究:

P

A

a

o

Q b

B

如图,AB是圆o的 直径,Q是AB上任 一点,AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ,连AP,BP,

ab 半径 则PQ=____, a?b AO=_____

2

几何意义:圆的半径不小于圆内半弦长

已知 x, y 都是正数,试探究: (1)如果积

xy 是定值P,和 x ? y 是否有最小值? x? y 若有,那么当 时,最小值为: 2 P
(2)如果和 x ? 若有,那么当

y 是定值S,积 xy 时,最大值为 x? y

是否有最大值?
1 2 S 4

例 1 : ( 1 )用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形
菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少?
解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

x? y ? ? xy ? x ? y ? 2 100, 2 2( x ? y) ? 40 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10.
因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最 短,最短的篱笆是40m.

强调:两个正变量积为定值,则和有最小值, 当且仅当两值相等时取最值。

(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少?
解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2( x + y )= 36 , x + y = 18

矩形菜园的面积为xym2
得 xy

?

x? y ? xy ? =18/2=9 2

81

当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立

因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大, 最大面积是81m2

强调:两个正变量和为定值,则积有最大值, 当且仅当两值相等时取最值。

应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

a与b为正实数

积定和最小

和定积最大

若等号成立, a与b必须能 够相等

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

2 求f ( x) ? sin x ? , ( x ? (0, ? ))的最值。 sin x
a与b为正实数 积定和最小 若等号成立, a与b必须能 够相等

和定积最大

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积 为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造 价最低?最低总造价是多少?

分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: z ? 150 ? 4800 ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)
3 ? 240000 ? 720(x ? y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy
z ? 240000 ? 720 ? 2 1600
z ? 297600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

1.下列函数中最小值为4的是( C )

4 4 A、y = x + B、y = sinx + (0 ? x ?π) x sinx C、y = 3x + 4·3-x D、y = lgx + 4log x 10
2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1), p=loga(2a)则m,n,p的大小关系是(

m>p>n )
4 2)

3.若a.b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值为(

4.设计一副宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面 的宽与高的比为a(a<1),画面的上下各留出8cm的 空白,左右各留5cm的空白,怎样确定画面的高与 宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小? 解:设宣传画的宽为xcm,面积为S
4840 3025 S =(x + 10)( + 16) = 5000 + 16(x + ) x x 3025 ? 5000 + 16×2 x· = 6760 x 3025 只有x = 即x = 55取" = " x 4840 55 = 88,a = <1 x 88

5.某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理 费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为:第一 年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元 的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最 合算(即使用多少年的平均费用最少?)
解:设使用x年报废最合算
(0.2 + 0.2x)x 10 + 0.9x + 10 x 2 y= = 1+ + x x 10 10 x ? 1 + 2× · =3 x 10 10 x 只有 = 即x = 10取" = " x 10

1. 两个不等式 (1)

a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab

(当且仅当a ? b时取" ?"号)
a?b (2) ab ? (a>0,b>0) 当且仅当a=b时,等号成立 2

注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用:主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正,二定,三相等”

b >0,若 3是 1.设 a >0,
得最小值为(

3a 与 3b

1 1 的等比中项,则 a ? b

B)
B. 4

(2009年天津理6)

A. 8

C. 1

D.

1 4

? 3 x ? y ? 6 ? 0, ? 2.(2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?

z ? ax ? by(
A.

a>0, b
B.

2 3 ? 的最小值为( A >0)的最大值为12,则 ) a b

25 6

8 3

C.

11 3
y

D. 4

略解:
把点(4,6)代入z = ax + by得4a + 6b = 12, 2 3 ? 2 3 ? 2a + 3b 即2a + 3b = 6,而 + = ? + ? a b ?a b? 6 13 b a 13 25 = +( + ) ? + 2 = ,故选A 6 a b 6 6
-2

(4,6)

x? y?2?0
z ? ax ? by

2 0

2

3x ? y ? 6 ? 0

x

作业
教材:P100:习题3.4A组


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