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专题一 选择题的解法

时间:2012-03-05


专题一

选择题的解法

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选择题的解法 试题特点

1. 选择题是高考数学的三大题型之一 数学选择题 选择题是高考数学的三大题型之一. 在当今高 考试题中,不但题目数量多,且占分比例高. 考试题中,不但题目数量多,且占分比例高 2005年为 分,占总分的 年为60分 占总分的40%,20

06年一般省市 年为 , 年一般省市 仍维持2005年的试题结构,选择题 个小题,总 年的试题结构, 个小题, 仍维持 年的试题结构 选择题12个小题 分60分. 天津、重庆、浙江、湖南、广东等省市 分 天津、重庆、浙江、湖南、 的选择题有10个 分值50分 的选择题有 个,分值 分. 2007年高考进一步 年高考进一步 调整了试卷结构,其中湖南、天津、广东、江苏、 调整了试卷结构,其中湖南、天津、广东、江苏、 湖北、浙江有10个选择题 分值50分 个选择题, 湖北、浙江有 个选择题,分值 分,北京只有 8个选择题,与上海 个选择题逐步接近 个选择题, 个选择题逐步接近. 个选择题 与上海4个选择题逐步接近

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选择题的解法 试题特点

2. 高考数学选择题具有概括性强、知识覆盖面广,小巧灵活, 高考数学选择题具有概括性强、知识覆盖面广,小巧灵活, 有一定的综合性和深度等特点, 有一定的综合性和深度等特点 , 主要是考查考生基本知 基本技能、基本数学思想方法的灵活运用; 识 、 基本技能 、 基本数学思想方法的灵活运用 ; 而且每 一题几乎都有两种或两种以上的解法, 能有效地检测学 一题几乎都有两种或两种以上的解法 , 生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力. 生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力 3. 高考数学选择题属于容易题和中档题,2007年高考适当降 高考数学选择题属于容易题和中档题, 年高考适当降 低了起始题的难度, 低了起始题的难度 , 有些省市的高考选择题很多题目是 容易题, 属于送分题,可一捅就破, 马上获得解答, 在 容易题 , 属于送分题 , 可一捅就破 , 马上获得解答, 排序上按前易后难的顺序分布,有利于稳定考生的心态, 排序上按前易后难的顺序分布 , 有利于稳定考生的心态 , 有利于考生的正常发挥. 有利于考生的正常发挥

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选择题的解法 应试策略

由选择题的结构特点, 由选择题的结构特点 , 决定了解选择题除常规方法 外还有一些特殊的方法. 解选择题的基本原则是: 外还有一些特殊的方法 解选择题的基本原则是:“小题 不能大做” 要充分利用题目中(包括题干和选项 包括题干和选项)提供的 不能大做”,要充分利用题目中 包括题干和选项 提供的 各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断. 各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断 数学选择题的求解,一般有两种思路: 数学选择题的求解, 一般有两种思路: 一是从题干 出发考虑, 探求结果; 出发考虑 , 探求结果 ; 二是从题干和选择支联合考虑或 从选择支出发探求是否满足题干条件. 从选择支出发探求是否满足题干条件 由此得到了解选择 题的几种常用方法: 直接法、 排除法、特例法、 题的几种常用方法 : 直接法 、 排除法 、 特例法 、 数形结 合法和代入验证法等. 合法和代入验证法等

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选择题的解法 考题剖析

1. (2007·福建莆田四中五月模拟) 福建莆田四中五月模拟) 福建莆田四中五月模拟 若方程x 的两根分别为椭圆、 若方程 2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线 的两根分别为椭圆 b 的离心率, 的离心率,则 的取值范围是 ( )
a

b A. -2< a <- <-1 < 1 b C. -2< < <- 2 a

b b B. a <- <-2 或 a >- >-1 1 b b D. a >- 2 或 <-2 <- a

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选择题的解法 考题剖析

[解析]方程的两根分别为椭圆与双曲线的离心率即方 解析] 程在区间(0,1),(1,+∞)内各有一根, 内各有一根, 程在区间 + 内各有一根 令f(x)= x2+(1+a)x+1+a+b, 则

? f (1)< 0 必有 ? ? f (0)> 0


> ?a + b + 1 0 ? < ?2 a + b + 3 0



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选择题的解法 考题剖析

直角坐标系中作出方程组① 在aOb直角坐标系中作出方程组①所表示的区域如图阴影 直角坐标系中作出方程组 b 部分.直线 直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点是(- ,1), 表示 的交点是(- 部分 直线 与 的交点是(-2, ), a b 可行域上的点与原点连线的斜率, 满足: 可行域上的点与原点连线的斜率,由图可知 a 满足:

b -2< <- < a

1 2

[点评]本题主要考查椭圆、双曲线的离心率性质、一元 点评]本题主要考查椭圆、双曲线的离心率性质、 二 次方程根的分布,及利用函数思想、 次方程根的分布,及利用函数思想、数形结合思 想 解题的能力.

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选择题的解法 考题剖析

2. (2007·北京市四中 过抛物线 2=4x的焦点,作直线与此抛物 北京市四中)过抛物线 的焦点, 北京市四中 过抛物线y 的焦点 线相交于两点P和 ,那么线段PQ中点的轨迹方程是 中点的轨迹方程是( 线相交于两点 和Q,那么线段 中点的轨迹方程是( A.y2=2x-1 C. y2=-2x+1 + B. y2=2x-2 D. y2=-2x+2 + )

[解析] (筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0), 解析] 筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为 , , 开口向右,由此排除答案A、 、 ,所以选B; 开口向右,由此排除答案 、C、D,所以选 ;

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选择题的解法 考题剖析

另解:(直接法)设过焦点的直线 另解:(直接法)设过焦点的直线y=k(x-1),则 :(直接法 - ,

? y = k ( x ? 1) ? 2 消y得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 得 + , y = 4x ?

中点坐标为

? x1 + x 2 k 2 + 2 = ?x = ? 2 k2 ? k2 + 2 2 ?y = k( ? 1) = ? k2 k ?

,消k得y2=2x-2,选B. 得 - ,

筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题. [ 点评 ] 筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题 当题 目中的条件多于一个时, 目中的条件多于一个时 , 先根据某些条件在选择支中 找出明显与之矛盾的, 予以否定, 找出明显与之矛盾的 , 予以否定 , 再根据另一些条件 在缩小的选择支的范围内找出矛盾, 这样逐步筛选, 在缩小的选择支的范围内找出矛盾 , 这样逐步筛选 , 直到得出正确的选择.它与特例法 、 图解法等结合使用 直到得出正确的选择 它与特例法、 它与特例法 是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中约占40%. 是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中约占

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选择题的解法 考题剖析

3. (2007·重庆南开二次调研)方程 重庆南开二次调研) 重庆南开二次调研 A. 4 B. 6 C. 8

2 ? x 2 =| 2 sin 3x | 的实根的个数是

( D. 12 [解析]令y= 2 ? x 2 , y=|2sin3x|在同一直角坐 解析] 在同一直角坐 标系中作出它们的图形,如图所示, 标系中作出它们的图形,如图所示,可知 两个图形有6个交点 个交点, 两个图形有 个交点,故方程 的实根个数是6. 的实根个数是 2 ? x 2 =|2sin3x|的实根个数是 [点评]本题主要是利用数形结合的思想来判断方程根 点评] 的个数.要求图形画得尽可能准确 要求图形画得尽可能准确. 的个数 要求图形画得尽可能准确



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选择题的解法 考题剖析

1 3 2 4. (2007·重庆南开中学四月模拟)已知函数 重庆南开中学四月模拟) 重庆南开中学四月模拟 已知函数y= x +x +x的图象 的图象 3

C上存在一定点 满足:若过点 的直线 与曲线 交于不同于 上存在一定点P满足 若过点P的直线 与曲线C交于不同于 的直线l与曲线 交于不同于P 上存在一定点 满足: 的两点M(x1, y1), N(x2, y2),且恒有 1+y2为定值 0,则y0的值为 为定值y 的两点 ,且恒有y ( ) 1 2 4 A. - B. - C. - D. -2
3
3 3

[解析] 解析] 2+2x+1=(x+1)2,当x= -1时,y= - 1 , 解法1: 解法 :y′=x
1 可证得函数图形关于点(- (-1,- 对称, 可证得函数图形关于点(- - )对称, 3 2 3

故y1+y2= -

3

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选择题的解法 考题剖析

解法2: 解法 : 1 1 3 1 3 2 1 3- 可由奇函数 可由奇函数y= x 向左平移 ∵y= x +x +x= (x+1)
1 一个单位, 得到, 一个单位 再向下平移 3 得到,而奇函数图象关于原 1 1 3+x2+x的图象关于点(- 点对称, 的图象关于点(- 点对称,则 y= x 的图象关于点(-1, - )对 3 3 3 3 3 3

称.故y1+y2= - 故

2 3

. 故选 故选B.

[点评]本题主要考查函数的对称性及图象平移等基础知识. 点评]本题主要考查函数的对称性及图象平移等基础知识

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选择题的解法 考题剖析

5. (2007·湖北地区适应考试 ) 湖北地区适应考试3) 湖北地区适应考试 如图, 如图,虚线部分是四个 象限的角平分线,实线部分是函数y=f(x) 象限的角平分线,实线部分是函数 的部分图象,则 的部分图象 则f(x)可能是 ( 可能是 ) A. xsinx C. x2cosx B. xcosx D. x2sinx

轴对称, [解析] 图形关于 轴对称,则函数是一 解析] 图形关于y轴对称 个偶函数,排除 排除B、 答案 答案, 个偶函数 排除 、D答案,图形 恒在直线y=± 之间 之间, 恒在直线 ±x之间, 即有 |f(x)|≤x恒成立,则只有答案 恒成立, 恒成立 则只有答案A.

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选择题的解法 考题剖析

[点评] 由于函数图象是一个非常规图形,难以直接求出函 点评] 由于函数图象是一个非常规图形, 数表达式,于是根据图形的特征,主要是对称性、 数表达式,于是根据图形的特征,主要是对称性、 单调性、定义域、值域和特殊点等来进行排除筛选. 单调性、定义域、值域和特殊点等来进行排除筛选

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选择题的解法 考题剖析

6. (2007·广东深圳市)y=f(x)有反函数 广东深圳市) 有反函数y=f -1(x),将y=f(x) 广东深圳市 有反函数 , 的图象绕原点顺时针方向旋转90° 的图象绕原点顺时针方向旋转 °后得到另一个函数的 图象, 图象,则得到的这个函数是 ( ) A. y= f -1(x) C. y= f -1 (-x) - B. y=- f -1 (x) - D. y=- f -1 (-x) - -

作一个示意图. [解析]取特例,如令f(x)=2x作一个示意图 选B. 解析]取特例,如令 [点评]本题主要考查函数图形及反函数图形的关系,举例 点评]本题主要考查函数图形及反函数图形的关系, 结合图象处理较好

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选择题的解法 考题剖析

7. (2007·湖北黄冈)将直线 -y+λ=0沿x轴向左平移 个单 湖北黄冈) 轴向左平移1个单 湖北黄冈 将直线2x- 沿 轴向左平移 所得直线与圆x 相切, 位,所得直线与圆 2+y2+2x-4y=0相切,则实数 的值为 - 相切 则实数λ的值为 ( ) A. -3或7 或 C. 0或10 或 B. -2或8 或 D. 1或11 或

[解析] 解析] 由题意可知: 由题意可知:直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位 后的直线l为:2(x+1)-y+λ=0.已知圆的圆心为 O(-1,2),半径为 5 .

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选择题的解法 考题剖析

解法1:直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径, 解法 :直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,

| 2 × (?1 + 1) ? 2 + λ | = 5 ,得λ= -3或7. 因而有 或 5
解法2:设切点为C(x, y),则切点满足 解法 :设切点为 ,则切点满足2(x+1)-y+λ=0,即 - , y=2(x+1)+λ,代入圆方程整理得: ,代入圆方程整理得: 5x2+(2+4λ)x+(λ2-4)=0, (*) , ) 由直线与圆相切可知,( 方程只有一个解, ,(*) 由直线与圆相切可知,( )方程只有一个解, 因而有?=0,得λ= -3或7. 因而有 , 或

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选择题的解法 考题剖析

解法3: 解法 : 由直线与圆相切,可知CO⊥ ,因而斜率相乘得- , 由直线与圆相切,可知 ⊥l,因而斜率相乘得-1,即
y?2 × 2 = ?1 ,又因为 又因为C(x, y)在圆上,满足方程 2+y2+2x- 在圆上, 又因为 在圆上 满足方程x - x +1

4y=0,解得切点为(1,1)或(-3,3),又C(x, y)在直线 ,解得切点为 在直线2(x+1) 或- , 在直线 -y+λ=0上,解得 -3或7. 上 解得λ= 或 [点评]本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系,只要正确 点评]本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系, 理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.直线 理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决 直线 与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中 与圆的位置关系历来是高考的重点 作为圆与圆锥曲线中 的特殊图形,具有一般曲线的解决方法外(解法2) 的特殊图形,具有一般曲线的解决方法外(解法 )还 有特别的解法,引起重点理解和掌握. 有特别的解法,引起重点理解和掌握

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选择题的解法 考题剖析

8. (2007·湖南岳阳)若直线 +ny=4和⊙O:x2+y2=4没有 湖南岳阳) 湖南岳阳 若直线mx+ 和 : 没有
x2 y2 交点,则过( , ) 交点,则过(m,n)的直线与椭圆 + = 1 的交点个数 9 4





A. 至多一个

B. 2个 个

C. 1个 个

D. 0个 个

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选择题的解法 考题剖析

[解析] 解析] 没有交点, ∵直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点, 直线 + 和 : 没有交点 ∴
| 0×m + 0× n ? 4 | m +n
2 2

≥2 ,

m2 n2 m2 n2 即m2+n2≤4,∴ , , + ≤ + ≤1 9 2 4 2 4 4
∴点(m, n)在椭圆 在椭圆 直线与该椭圆有两个交点.故选 直线与该椭圆有两个交点 故选B 故选

y x 故过点(m, n)的 的 + = 1 内,故过点 9 4

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选择题的解法

[点评] 点评] 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系, 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与 圆的位置关系一般可以用方程法判断, 圆的位置关系一般可以用方程法判断,也可以用几 何法判断, 何法判断,直线与椭圆的位置关系一般用方程法来 判断,但是直线经过圆锥曲线内部一点时, 判断,但是直线经过圆锥曲线内部一点时,直线与 圆锥曲线一定是相交的关系. 圆锥曲线一定是相交的关系

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选择题的解法

考题剖析 9. (山东省泰安市)半径为 的球面上有 、B、C、D四点, 山东省泰安市)半径为4的球面上有 的球面上有A、 、 、 四点 四点, 两两互相垂直, 且AB,AC,AD两两互相垂直,则△ABC、△ACD、 , , 两两互相垂直 、 、 面积之和S 的最大值为( △ADB面积之和 △ABC+S△ACD+S△ABD的最大值为( 面积之和 ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 解析] [解析] 为共顶点的棱作出球的内接长方体, 依题以AB,AC,AD为共顶点的棱作出球的内接长方体, 2 2 2 设AB=x, AC=y,AD=z, 则x +y +z =64, 1 2 2 2 2 2 2 1 S△ABC+S△ACD+S△ABD= (xy+yz+xz)≤ 4 (x +y +y +z +z +x ) 2 =32 当且仅当x=y=z时取等号. [点评]本题主要考查球与多面体的接切关系、基本不等 点评]本题主要考查球与多面体的接切关系、 式求最值等知识.注意转化与构造方法的运用 注意转化与构造方法的运用. 式求最值等知识 注意转化与构造方法的运用

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选择题的解法 考题剖析

10. (2007·河南郑州)设直线 河南郑州) 河南郑州 设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直 关于原点对称的直 y 2+ 线为l′, 与椭圆x =1的交点为 、B,点P为椭 的交点为A、 , 线为 ,若l′与椭圆 与椭圆 的交点为 为椭 4 1 圆上的动点,则使△ 圆上的动点,则使△PAB的面积为 的点 的个数为 的面积为 的点P的个数为 2 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2

专题一 [解析] 解析]

选择题的解法 考题剖析

直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为 :2x+y-2=0,该 关于原点对称的直线为l′: 直线 关于原点对称的直线为 - , 直线与椭圆相交于A(1, 0)和B(0, 2),P为椭圆上的点,且 为椭圆上的点, 直线与椭圆相交于 和 , 为椭圆上的点 则点P到直线 到直线l′的距离为 △PAB的面积为 2 ,则点 到直线 的距离为 的面积为
5

1

5,在直线的 5

下方,原点到直线的距离为 2 5 ,所以在它们之间一定有两个 下方, 点满足条件,而在直线的上方, 点满足条件,而在直线的上方,与2x+y-2=0平行且与椭圆 - 平行且与椭圆 相切的直线,切点为 相切的直线,切点为Q(
2 , 2) 2

,该点到直线的距离小于

5 5



所以在直线上方不存在满足条件的P点 故该选 故该选B. 所以在直线上方不存在满足条件的 点.故该选

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选择题的解法 考题剖析

[点评] 点评] 本题主要考查对称性问题及直线与椭圆的位置关系问题. 本题主要考查对称性问题及直线与椭圆的位置关系问题 将面积转化为点到直线的距离是处理问题的要点. 将面积转化为点到直线的距离是处理问题的要点

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选择题的解法 考题剖析

11. (2007·云南昆明)如图,非零向量 OA, OB 与x轴正半轴的夹 云南昆明) 云南昆明 如图, 轴正半轴的夹 角分别为
π 6

和 2π
3

,且 OA + OB + OC =0,则 OC与x轴正半 , 轴正半 )
π 3

轴的夹角的取值范围是( 轴的夹角的取值范围是(
π A. (0, ) 3
π 2π C. ( 2 , ) 3

B. (

2 π 5π D. ( 3 , ) 6

5π , ) 6

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选择题的解法 考题剖析

[解析] 解析] 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量- 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量 - OC与x轴正半轴的夹角的取值范围应在向量-OA ,-OB

轴正半轴的夹角之间, 与x轴正半轴的夹角之间,故选 轴正半轴的夹角之间 故选B.

[点评] 点评] 本题主要考查向量的运算及向量的夹角知识. 本题主要考查向量的运算及向量的夹角知识

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选择题的解法 考题剖析

12. (2007·广西南宁)已知平面 ∥β,直线 α,?点P∈l,平面 广西南宁) 广西南宁 已知平面α∥ ,直线l ∈ 平面 α,β之间的距离为 ,则在 内到 点的距离为 且到直线 之间的距离为8,则在β内到 点的距离为10且到直线 内到P点的距离为 且到直线l 之间的距离为 的距离为9的点的轨迹是 的距离为 的点的轨迹是 ( ) A. 一个圆 C. 四个点 B. 两条直线 D. 两个点

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选择题的解法 考题剖析

[解析] 解析] 如图:过点P作 ⊥ 于点 于点O, 如图:过点 作PO⊥β于点 则PO=8,在β , 内取点Q, 内取点 ,使PQ=10,则QO=6,所以点 , ,所以点Q 的集合是β平面上以 为圆心, 为半径的 平面上以O为圆心 的集合是 平面上以 为圆心,6为半径的 圆,在β内取点 ,过M作直线 使n∥l, 内取点M, 作直线n使 ∥ , 内取点 作直线 过P作PN⊥n,则ON⊥n,可知当 作 ⊥ , ⊥ ,可知当PN=9时, 时 17 ON= 与圆相交, <6,即直线 与圆相交,且这样 ,即直线n与圆相交 的直线只有两条,故在β内满足条件的点即 的直线只有两条,故在 内满足条件的点即 直线n与圆的交点 与圆的交点, 直线 与圆的交点,共4个. 个 [点评] 点评] 本题是一道立体几何中的平面轨迹问题, 本题是一道立体几何中的平面轨迹问题,弄清各种距离的定 义并转化到同一平面结合图形进行处理. 义并转化到同一平面结合图形进行处理

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选择题的解法 考题剖析

河北石家庄二模) 13. (2007?河北石家庄二模)若△ABC的外接圆的圆心为O, 半径为1,且 OA + OB + OC =0,则 OA · OB = ( 1 1 A. B. 0 C. 1 D. -
2 2



[解析] 解析] 为正三角形, 取特例.取△ABC为正三角形,又由OA + OB + OC 为三角形的重心, 知O为三角形的重心, ∴ 〈 〉 OA·OB =| OB |·| OA | cos OA , OB
1 =1×1×cos120°= - , 故选D. 2

=0,

[点评]本题解法较多但用特例要简单. 点评]

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选择题的解法 考题剖析

河北石家庄二模) 14. (2007·河北石家庄二模)已知半径为1的圆的圆心在双

x2 2 曲线y - =1上,当圆心到直线x-2y=0的距离最小 2
时,该圆的方程为
2 2 2 2





A.(x+ 2 ) +(y+ 2 ) =1或(x- 2 ) +(y- 2 ) =1 2 2 B. (x+ 2 ) +(y+ 2 ) =1 2 2 C. (x- 2 ) +(y+ 2 ) =1 2 2 2 2 D. (x- 2 ) +(y+ 2 ) =1或(x+ 2 ) +(y- 2 ) =1

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选择题的解法 考题剖析

[解析] 解析] 解法1:作直线x-2y=0的平行直线x-2y-m=0使它与双 曲线相切, 曲线相切, 由
?x ? 2 y ? m = 0 ? ? ? 2 x2 =1 ?y ? 2 ?

2y +4my+m +2=0,

2

2

令?=0,得m= 2 或m= - 2 圆心坐标为(- 当m= 2 时,圆心坐标为(- 2 ,- 2 ) 圆心坐标为( 当m= - 2 ,圆心坐标为( 2 , 2 ) 又圆半径为1,所以圆的方程为 2 2 2 2 (x+ 2 ) +(y+ 2 ) =1或(x- 2 ) +(y- 2 ) =1

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选择题的解法 考题剖析

解法2:直线过双曲线的中心,由双曲线的对称性,知所求 直线过双曲线的中心,由双曲线的对称性, 圆应该有两个所以排除B、C,通过图形判断圆心在 第一或三象限, 第一或三象限,排除D. [点评] 点评] 本题主要考查圆的知识和点到直线的距离公式等知 直接运算较繁, 识,直接运算较繁,但结合图形根据图形的对称性 处理则容易.

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选择题的解法 规律总结

解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、 1. 解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证 法 和数形结合法. 在解选择题时要注意灵活运用上述一种或 几种方法“巧解” 几种方法“巧解”,切忌盲目地采用直接法. 解选择题时,要注意多观察、多分析, 2. 解选择题时,要注意多观察、多分析,充分利用题干和 选择支两方面提供的信息,灵活选用各种方法, 选择支两方面提供的信息,灵活选用各种方法,才能加 作为训练,解完一道题后, 快解题速度. 作为训练,解完一道题后,还考虑一下能不 能用其它方法进行“巧解” 并注意及时总结, 能用其它方法进行“巧解”,并注意及时总结,这样才 能有效地提高解选择题的能力.


专题一选择题的解题方法和技巧

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