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广东开侨中学2015届高三文科数学单元练习 导数的概念及运算


开侨中学 2015 届高三文科数学单元练习
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导数的概念及运算 1.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 2. 设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( ) ln2 2 A.e B.ln2 C. D.e 2 3.下列求导运算正确的是( ) A. (

x ? 1 ) ′ ? 1 ? 1

x

x2

B.(log 2 x ) ′ ?

1 xln2

C. (3x ) ′ ? 3 ? log 3 e
x

D. ( x 2 cosx)′=-2xsinx

1 4.已知物体的运动方程是 s= t3-6t2+32t(t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度为 0 的时 3 刻是( ) A.2 秒或 4 秒 B.2 秒或 16 秒 C.8 秒或 16 秒 D.4 秒或 8 秒 5.若曲线 C: y ? x3 ? 2ax2 ? 2ax 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数 a 的值等于 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.-1 4 2 6.若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 1 7.下列图象中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)的 3 图象,则 f(-1)=( )

1 A. 3

B.-

1 3

7 1 5 C. D.- 或 3 3 3
2

8.若点 P 是曲线 y ? x ? lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( A.1 . 9.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为________. B. 2 C.

)

2 2

D. 3

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C: y ? x ?10 x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线
3

C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 . 3 11.若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 12.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则 称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′,若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x) 在 D 上为凸函数.以下四个函数:①f(x)=x2+2x;②f(x)=sinx+cosx;③f(x)=lnx-x;④ π? f(x)=-xex 在? ?0,2?上是凸函数的是________.(填序号)

13.已知函数 f(x)=lnx-ax+ 处的切线方程.

1-a -1(a∈R).当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2)) x

14.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=2x2. (1)求 x<0 时,f(x)的表达式; (2)令 g(x)=lnx,问是否存在 x0,使得 f(x) ,g(x)在 x=x0 处的切线互相平行? 若存在,试求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

15.已知函数 f(x)=

1 2 x -alnx(a∈R). 2

(1)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.

b 16.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积 为定值,并求此定值.

2015 届高三文科数学单元练习
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参考答案

1.C [解析] 因为 y′=3x ,所以 k=y′|x=1=3,所以过点 P(1,12)的切线方程为 y-12= 3(x-1),即 y=3x+9,所以与 y 轴交点的纵坐标为 9. 2.D [解析] f′(x)=x′lnx+x(lnx)′=lnx+1, ∴f′(x0)=lnx0+1=2,∴lnx0=1,∴x0=e.
x 2 3. B ( x ? 1 ′ ? 1 ? 1 ; (3x ) ′ ? 3 ln3; ( x 2 cosx)′=2xcos x ? x sinx. x)

x2

2 4. C 由题意,y′ ? 3x ? 4ax ? 2a ? 0 对 x ?R 恒成立,故 ? ? 0 ? 0 ? a ? 3 ?

2

又 a ?Z, ∴a=1. 5.D [解析] 瞬时速度 v=s′=t2-12t+32,令 v=0 可得 t=4 或 8. 6.B [解析] 由题意知 f′(x)=4ax3+2bx,若 f′(1)=2,即 f′(1)=4a+2b=2,从题 中可知 f′(x)为奇函数,故 f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2,故选 B. 7.B [解析] f′(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1, ∴y=f′(x)是开口向上,以 x=-a 为对称轴,(-a,-1)为顶点的抛物线.∴(3)是对 应 y=f′(x)的图象.∵由图象知 f′(0)=0,对称轴 x=-a>0.∴a2-1=0,a<0, 1 1 ∴a=-1,∴y=f(x)= x3-x2+1,∴f(-1)=- . 3 3
2 8 B 过 点 P 作 y=x-2 的 平 行 线 , 且 与 曲 线 y ? x 2 ? lnx 相 切 , 设 P( x0 ? x0 ? ln x0 )? 则

k=y′|

x ? x0

? 2 x0 ? 1 ? x 0

∴ 2 x0 ? 1 ? 1 . ∴ x0 ? 1 或 x0 ? ? 1 舍 去 ). ∴ P(1,1). ∴ 2(

x 0

d?

? 1 ?1 ? 2 ? ? 2 1?1

3 9.4x-y-3=0 [解析] 设切点坐标为(x0,y0),则 4x0 =4,∴x0=1,y0=1,即切点坐标为 (1,1),切线的斜率 k=4,∴l 的方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0.

10. 【答案】 (-2,15) 【解析】 ∵ y ? x3 ? 10 x ? 3? ∴y′ ? 3x ? 10 . 由题意,设切点 P 的横坐标为 x0 ? 且 x0 ? 0?
2

2 3 2 即 3x0 ?10 ? 2? ∴ x0 ?10x0 ? 3 ? 15 . 故点 P 的坐标为 (-2,15). ? 4 . ∴ x0 ? ?2 . ∴ y0 ? x0

1 11.(-∞,0) [解析] 由题意可知 f′(x)=3ax2+ ,又因为曲线存在垂直于 y 轴的切线, x 1 1 所以 3ax2+ =0?a=- 3(x>0)?a∈(-∞,0). x 3x 12.②③④ [解析] 对于①f′(x)=2x+2,f″(x)=2>0,因此①不是凸函数;对于②f′(x) π 0, ?,∴sinx>0,cosx>0, =cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx,∵x∈? ? 2? 1 1 ∴f″(x)<0,因此②是凸函数;对于③,f′(x)= -1,f″(x)=- 2<0,因此③是凸函数; x x 对于④,f′(x)=-ex-xex,f″(x)=-ex-ex-xex=-(x+2)ex<0,因此④是凸函数.

2 13.[解答] 当 a=-1 时,f(x)=lnx+x+ -1,x∈(0,+∞). x x2+x-2 所以 f′(x)= ,x∈(0,+∞), x2 因此 f′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2+2)=x-2,即 x-y+ln2=0. 14.解: (1)当 x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2. (2)若 f(x) ,g(x)在 x0 处的切线互相平行,则 x0>0, 且 f'(x0)=g'(x0) ,f'(x0)=4x0=g'(x0)=

1 1 ,解得 x0=± . 2 x0

∵x0>0,得 x0= 即在 x0=

1 , 2

1 处 f(x) ,g(x)的切线互相平行. 2 a 15.解: (1)因为 f'(x)=x- (x>0) ,又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b, x

?2 ? a ln 2 ? 2 ? b, ? 所以 ? 解得 a=2,b=-2ln2. a 2 ? ? 1, ? ? 2
(2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,则 f'(x)=x- 恒成立,即 a≤x2 在(1,+∞)上恒成立. 所以有 a≤1,即实数 a 的取值范围是(-∞,1]. 7 16.[解答] (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x b 1 2a- = , ?a=1, 2 2 ? 3 于是 解得? 故 f(x)=x- . x b 7 ? b = 3. ? a+ = , 4 4

a ≥0 在(1,+∞)上 x

? ? ?

3 (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方 x 3 3 3 1+ 2?(x-x0),即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0). 程为 y-y0=? x0? ? x0? ? x0? ? 6? 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x0?. x0 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x |=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 S= ? 2? x0? 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值 为 6.


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