nbhkdz.com冰点文库

椭圆各种类型题


面积类
1、已知椭圆 : 与 正半轴、 正半轴的交点分别为 ,动点 是椭圆上任一点,求 面积的最大值。 【解析】试题分析:先求顶点坐标,再求直线方程,根据椭圆的参数方程表示 出点 的坐标,然后再求点到直线的距离,表示出面积,然后求最值 试题解析:依题意 设点 , 的坐标为 , ,直线 ,则点 , 当 所以 时, 面积的最大值是 , : 到直线 ,即 的距离是


考点:椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值 2、设点 A( 斜率之积为 ,0),B( ,0),直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的

. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程;(Ⅱ)若直线 过点 F(1, 相交于 P、Q 两点, 与轨迹 C 相交于 R、 求△ 的面积的最大值和最小值(F′为轨迹 C 的左

0)且绕 F 旋转, 与圆 S 两点,若|PQ| 焦点). 【解析】(Ⅰ)设 化简 (Ⅱ)设 ,将 设 ,则 ,则 轨迹 ,

的方程为 的距离 , 方程并整理得: ,

代入轨迹



,则

上递增,

, 考点:椭圆,根与系数关系,基本不等式,坐标表示 3、已知椭圆 为 若 ,圆 ,过点 与圆 的右焦点为 与 轴交于 相切的直线 与 ,上顶点为 B,离心率 的值;(Ⅱ) 的面积

两点(Ⅰ)求 的另一交点为 ,求

【解析】(Ⅰ)由题意, , 则 (Ⅱ)当 , 时, , ,





,∵



得 ,

, ,得

,则 在圆 F 上,

直线

,则设 又点

由 到直线 的距离

得 ,得

, 的面积

考点:椭圆,根与系数关系,坐标表示等,考查了学生的综合化简计算能力

4、设椭圆

的左焦点为

,离心率为

,过点

且与 轴 的直线

垂直的直线被椭圆截得的线段长为 与椭圆交于不同的两点 【解析】(1)由题意可得 ,所以椭圆方程为 ,当 ,

. (1) 求椭圆方程. (2) 过点 面积最大时,求 ,又 . ,解得

(2)根据题意可知,直线 的斜率存在,故设直线 的方程为

,设



由方程组

消去 得关于 的方程 两点,则有 ,即

由直线 与椭圆相交于 得

由根与系数的关系得

故 到直线 的距离 ,故 的面积 令 以 当且仅当 时等号成立, 即 则

又因为原点

,所

时,

考点:1.椭圆方程;2.椭圆与直线综合;3.基本不等式. 5、已知椭圆 为椭圆 上任意一点,且 的左、右焦点分别为 的最小值为 . (1)求椭圆 与椭圆 、 ,P

的方程;

(2)动圆 【解析】(1)因为 P 是椭圆 ,由余弦定理得

相交于 A、B、C、D 四点,当 为 . 在△ 中,

何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积. 上一点,所以

. 因为

,当且仅当 ,所以 以 . (2)设 ,则矩形 ABCD 的面积 . 所以 且 ,所以当 . 所以当 时, . 因为 ,解得 .又 ,所以 . 因为

时等号成立. 因为 的最小值为 ,所 .所以椭圆 C 的方程为

,所以 . 因为

取得最大值 24. 此时



时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为

. 考点:椭圆的定义、余弦定理、二次函数 6、已知 、 分别是椭圆 : 的左、右焦点,点 的垂直平分线经过点 .直线

在直线 与椭圆

上,线段

交于不同的两点 、 ,且椭圆 上存在点 ,使 ,其中 是坐标原点, 是实数.(Ⅰ)求 的取值范围; 的面积最大?最大面积等于多少? ;(Ⅱ)当 时, 的面积最大,最大面积

(Ⅱ)当 取何值时, 【答案】(Ⅰ) 为 .

【解析】(Ⅰ)设椭圆

的半焦距为 ,根据题意得

解方程组得 .由 得关于 的方程 ∴ .设 、 ,则 ,得

∴椭圆

的方程为 . 根据已知

有两个不相等的实数根. , 化简得:

. (1)当 、 关于原点对称, ,满足题意; (2)当 时,点 、

时,点 关于原

点不对称,

.由

,得



∵ 简得: ∴ ,即 . 时, 值范围是 (Ⅱ)当

在椭圆 .∵ 且

上,∴ ,∴ .∵ ,

,化

. 综合(1)、(2)两种情况,得实数 的取 、 、 三点在一条直线上,不构成

,此时,

. ∴为使 ∴

的面积最大,

. ∵ . ∵原点 到直线

的距离

,∴ .∵

的面积 , ,



.

∴ ,∴ . “ ” 成立

.∵ ,即

. ∴当 时, 的面积最大,最大面积为 考点:直线和椭圆的相关问题,综合考查考生的运算求解能力. 7、设椭圆 是直线 (Ⅰ)求椭圆 (其中 的方程;(Ⅱ)若 的离心率 , 是其左右焦点,点 的倾斜角为 ,求 .

)上一点,且直线 是椭圆 上两点,满足

( 为坐标原点)面积的最小值. 【解析】(Ⅰ) 则 ,故 (Ⅱ)当直线 的斜率不存在时,可设 , 当直线 代入椭圆得 的斜率存在时,设 , 设 由 得: 则

,此时, 代入椭圆得:

当 时,取等号,又 考点:直线与椭圆的位置关系综合应用. 8、已知椭圆 的菱形的四个顶点. (I)求椭圆 两点,且线段 最大值. 【解析】 (I)因为椭圆 内角为 的菱形的四个顶点, 所以

,故

的最小值为

.

的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角为 的方程;(II)直线 与椭圆 ,求 ( 交于 ,

的垂直平分线经过点

为原点)面积的

的四个顶点恰好是一边长为 2, 一 ,椭圆 的方程为

(II)设 率, 当直线

因为

的垂直平分线通过点

, 显然直线

有斜 所以

的斜率为 时,则

的垂直平分线为 轴,则 因为

, 所以 得最大值为

,当且仅当

时,



当直线 到

的斜率不为 时,则设 当

的方程为 ,

所以 即 , ,又

,代入得

方程有两个不同的解 又 所以

,化简得到 又原点到直线的距离为

代入

,得到

所以 化简得到 因为 ,所以当 . 时,即 时, 取得最

大值 综上, 面积的最大值为 考点:直线与圆锥曲线的位置关系. 9、如图,A,B 是椭圆 斜率为

的两个顶点,

,直线 AB 的

.求椭圆的方程;(2)设直线 平行于 AB,与 x,y 轴分别交于点 的面积等于 的面

M、N,与椭圆相交于 C、D,证明:

积.

【解析】(1)解:依题意,





, 整理得 . (2)证明:由于 // 所以 椭圆的方程为 ,设直线 的方程为

解得 . ,将其代入 . 设 ,

,消去 , 整理得

. 所以 △ 的面积是 .由 ,

证法一:记△ , 则

的面积是



因为 以 证法二:记△ 的面积是 线段 以 . , 因为 , ,△ ,从而 的面积是 的中点重合. . 故线段 . .则 因为 的中点为

,所

,所

,所以 线段

的中点坐标

亦为 . 从而 . 考点:1.斜率公式;2.直线与曲线的位置关系;3.韦达定理. 10、已知椭圆 好是抛物线 的中心在原点,焦点在 轴上,离心率 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 的交点为 【答案】(1) 【解析】(1)抛物线 ,∴ (2)设点 、 ,求 . ,∴ 所以椭圆 ,连 又椭圆 的方程为 , 由对称 离心率 ,它的一个顶点恰 与曲线

的方程;(Ⅱ)设椭圆

面积的最大值.

;(2)

的焦点为 , ,则

交 轴于点

性知:



得:



(当且仅





时取等号)

面积的最大值为

. 考点:椭圆标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系.

11、已知椭圆 直线 ( 与



的右焦点

在圆

上,

交椭圆于 、 两点. (1)求椭圆 的方程; (2)若 为坐标原点),求 的值; (3)设点 关于 轴的对称点为 ( 与 轴交于点 ,试问 的圆心坐标是 . 1 分 所以,在椭圆中 (舍去,∵ 或 的面积是否存在最 ,半径为 , 故 ,又 的方程为

不重合),且直线

大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)由题设知,圆 圆 与 轴交与两点 , 所以, . , 或

), …于是,椭圆

(2)设 得 ∴



;直线 与椭圆 .∴ ,

方程联立 , ,

, 化简并整理

. ,∴ ,即 (3)∵ ,则 , ,即 为定值. , ∴直线 的方程为 得 ∴

∵ ,



, ∴

当且仅当



时等

号成立. 故 的面积存在最大值 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线 与椭圆位置关系的运用,属于中档题。 12、已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、

|F1F2|、|PF2|构成等差数列.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的 两点,且 F1M⊥l, F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. 【解析】 (1)依题意,设椭圆 数列, 为 (2) 将直线 的方程 代入椭圆 的方程 中, 得 仅有一个公共点 的方程为 , . 又 . , . 构成等差 椭圆 的方程

由直线 与椭圆

知, 得: 设 ,

, , 当 ,

化简 时,设直线

的倾斜角为 , 则

,

, 时, , ,

, 当 . 当 时,四边形 是矩

形, 所以四边形 面积 的最大值为 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了椭圆方程,以及直线与椭圆 的位置关系的运用,属于中档题。 13、如图,已知椭圆 点,线段 的中点为 , 的左焦点为 ,过点 的直线交椭圆于 两 的面积 ,使得 两

的中垂线与 轴和 轴分别交于 ,求直线 的斜率;(2)记△

点.(1)若点 为 ,△ (

的横坐标为

为原点)的面积为

.试问:是否存在直线

?说明理由.

【解析】 (Ⅰ)解:依题意,直线 . 将其代入

的斜率存在,设其方程为

,整理得 . 设 , ,所以 .依题意,得



故点

的横坐标为 . ,使得 .

, 解得 (Ⅱ)解:假设存在直线 直. 由(Ⅰ)可得

,显然直线 因为

不能与

轴垂

,所以

, 解得 △ ∽△ ,所以

,即 . 所以 , 整理得



因为

. 因为此方程无

解,所以不存在直线 ,使得 . 考点:直线与椭圆相交的位置关系 点评:直线与椭圆相交时常联立方程借助于 方程根与系数的关系整理化简,此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据 处理能力 14、已知椭圆 : 的离心率为 , 分别为椭圆

的左、右焦点,若椭圆 的焦距为 2. ⑴求椭圆 的方程; ⑵设 为椭圆上 任意一点,以 为圆心, 为半径作圆 ,当圆 与椭圆的右准线 有公共 点时,求△ 【解析】 ⑴因为 所以椭圆 ⑵设点 的方程为 的坐标为 . 由于圆 . 因为 , 即 . 解得 ,又 ,则 面积的最大值. ,且 ,所以 . . 因为 , 到 的距离 ,所以直线 小于或等 . 2 分 所以 . 4分

的方程为 于圆的半径

与 有公共点,所以

,所以 . 又因为 ,∴ ,所以 .当

时, ,所以 考点:本题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关 系,不等式的解法。 点评:中档题,求椭圆的标准方程,主要运用了椭圆的几 何性质,a,b,c,e 的关系。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次 方程,运用韦达定理,简化解题过程。利用函数观点,建立三角形面积的表达 式,确定其最值。

15、已知椭圆 好是抛物线 线 与椭圆

的中心在原点,焦点在 轴上,离心率为 ,它的一个顶点恰 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)过点 ,当 为何值时 的直 的

相切

,直线 与 轴交于点

面积有最小值?并求出最小值. 【解析】(Ⅰ)设 ,则 方程为 的离心率 . ,抛物线 所以 的焦点为 ,得

. 双曲线

∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设直线 的方程为 得:

,由对称性不妨设 依题意 ,得: 由





,令

,得

,即

当且仅当



时取等

号. 因为 故 时, 有最小值 . 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运 用,属于中档题。 16、已知椭圆 的距离为 ,直线 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点 。(1)求椭圆的方 面积的最大值。

交椭圆于不同的两点 到直线 的距离为 ,求

程;(2)若坐标原点

【解析】(1)由 (2)由已知 去 ,整理可得: 设

,椭圆的方程为: ,联立 , ,则 和 ,消

,当且仅当

时取等号 显然

时,

。 考点:本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系 17、已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .(1)求椭

圆的标准方程;(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 A C、BD 过原 点 O,若 , (i)求 的最值.(ii)求证:四边形 ABCD 的

面积为定值;

【解析】 (1)由题意

, . ,设

,又



解得

,椭圆的标准方程为 (2)设直线 AB 的方程为

联立

,得

-①

=

(i)

当 k=0(此时 时,

满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴 ,所以

的最小值为-2. 又直线 AB 的斜率不存在时 的最大值为 2.

11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

. 即,四边形 ABCD 的面积为定值 考点:本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系 点评:对于直线与圆锥曲线的综 合问题,往往要联立方程,同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解; 而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率 k 表示,然后根据题意将其进行 化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.

向量点乘类
1、在直角坐标系 轨迹为 的值. 【解析】(1)设 长半轴为 2 的椭圆, . ,由椭圆定义可知,点 它的短半轴 的轨迹 是以 , 故曲线 为焦点, 的方程为 ,直线 中,点 与 到两点 交于 两点. (1)写出 的距离之和等于 4,设点 的方程; (2) 的 ,求

(2)证明:设

,其坐标满足 故

消去 并整理,得 . ,于 , 解得

即 是

,而

考点:椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系. 2、已知椭圆 的离心率为 ,且过点 . (1)求椭圆

的方程;(2)若过点 C(-1,0)且斜率为 的直线 与椭圆相交于不同的两点 ,试问在 轴上是否存在点 在,求出点 ,使 是与 无关的常数?若存

的坐标;若不存在,请说明理由. ,∴ ,∴ . 所以 . . 1 分 又 椭圆 4

【解析】(1)∵椭圆离心率为 过点(

,1),代入椭圆方程,得

分 ∴椭圆方程为 (2)在 x 轴上存在点 M

,即 ,使

. 是与 K 无关的常数. 证明:假 是与 k 无关的常数, ∵直线 L 过

设在 x 轴上存在点 M(m,0),使

点 C(-1,0)且斜率为 K,∴L 方程为 . 设 ∵ ∴

,由 ,则



= = = 设常数为 t,则 . 对任意的 k 恒成立, , 即在 x 轴上存在点 M( ), 使 = 整理得 解得 是与 K 无关的常

数. 考点:椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量的数量 积。 点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方 程,运用韦达定理。求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质,建立了 a,bac 的方程组。 3、已知椭圆 半轴为半径的圆与直线 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 相切,直线 与椭圆 C 相交于 的取值范围; ,即 又

A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)求 【解析】(Ⅰ)由题意知 ,∴ ,∴ 故椭圆的方程为

(Ⅱ)解:由

得: 设

A(x1,y1),B (x2,y2),则 ∴ ∴ . , ∴ ∴ 的取值范围是 ∵

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方 程. 4、如图,F1,F2 是离心率为 的椭圆 C: (a>b>0)的左、右焦点,

直线 :x=- 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A,B 是 C 上的 两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 的取值范围。

【解析】(Ⅰ)设 F2(c,0),则 以 a= . 所以椭圆 C 的方程为

= ,所以 c=1. 因为离心率 e= .

,所

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=- ,此时 P( Q( ,0),

,0)、

. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为

k,M(- ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 由 2(y1+y2) =0, 则-1+4mk=0,故 k= .即

得(x1+x2)+

. 此时,直线 PQ 斜率为 . 联立

,PQ 的直线方程为

消去 y,整理得 , . 于是

. 所以 (x1-1)(x2-1)+y1y2

. 令 t=1+32m2,1<

t<29,则

. 又 1<t<29,所以

. 综上,

的取值范围为 . 考点:椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理 5、如图,已知椭圆 点 为圆心作圆 : .(1)求椭圆 的方程;(2)求 : 的离心率为 ,设圆 与椭圆 ,以椭圆 交于点 的左顶 与点 分别与

的最小值,并求此时圆 的方

程;(3)设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点,且直线 轴交于点 , 为坐标原点,求证: 为定值。

【解析】(1)依题意,得 椭圆 的方程为 与点 .



,∴

;故

(2)点

关于 轴对称,设 在椭圆 上,所以 ,

, .

, 不妨设 (*) 由已知

. 由于点 ,则

, 所以

. 由于 时, 又点 取得最小值为 . 由(*)式, ,故

,故当 ,

在圆 上,代入圆的方程得到 .

. 故圆 的方程为:

(3) 设

,则直线 , 同理:

的方程为: , (**) 又点 故 与点

,令

,得

在椭圆上,故





代入(**)式,得: . 所以

为定值. 考点:1.椭圆方程;2.配方法求最值. 6、已知椭圆 半轴为半径的圆与直线 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 相切,直线 与椭圆 C 相交于 的取值范围; ,即 又

A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程;(2)求 【解析】(Ⅰ)由题意知 ,∴ ,∴ 故椭圆的方程为

(Ⅱ)解:由

得: 设 ,则

∴ ∵ ∴ , ∴ ∴ 的取值范围是

. 考点:1.椭圆的方程;2.椭圆的离心率;3.直线和椭圆的综合应用;4.向量的数 量积.

7、已知椭圆 的标准方程; (Ⅱ)若点 两点,且 在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)由题意知: 故所求椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)假设存在这样的直线 ,

,

为其右焦点,离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C ,使 与椭圆 交于

,问是否存在直线

.若存在,求出 的取值范围;若不存

,∵离心率 .

,∴





满足题意,并设 , , 所以:

. 因为

由 . 根据题意, ,且 , 所以 即 或 题意; 当 . 当 时,代入 时, ,得 (

,得 ,得

, 解得



),显然符合 ,解得

. 综上所述,存在这样的直线 ,其斜率 的取值范围是 . 考点:椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关 系. 8、已知椭圆 圆的方程; (Ⅱ)如果过点 合), ①求 程. 的离心率为 的直线与椭圆交于 ,且经过点 两点( . (Ⅰ)求椭 点与 点不重 的方

的值; ②当

为等腰直角三角形时,求直线

【解析】 (Ⅰ)因为椭圆经过点 , 所以椭圆的方程为

, .

,因为

,解得

(Ⅱ)①若过点 的直线的斜率不存在,此时 两点中有一个点与 点重 合,不满足题目条件. 所以直线 的斜率存在,设其斜率为 ,则 的方程 为 ,把 ,则 , 为 ,所以 代入椭圆方程得 , ,因 ,设

, ②由①知: 的中点为 ,则 ,显然满足 ,解得 或 ,且 ,此时直线

,如果

为等腰直角三角形,设 ,若 ,则 ,则 ,即 或

的方程为

;若

,所以直线

的方程为 的方程为

. 综上所述:直线

或 . 考点:1、求椭圆方程,2、直线与二次曲线的位置关系. 9、已知椭圆 心、以椭圆 椭圆 垂直 于点 (Ⅲ)设 : 的离心率为 ,直线 : 与以原点为圆 的方程;(Ⅱ)设 的轨迹 的方程; ,求

的短半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 ,右焦点 ,直线 过点 在 ,线段 垂直平分线交 于点 ,不同的两点 ,求点

的左焦点为

且垂直于椭圆的长轴,动直线 上,且满足

与 轴交于点

的取值范围.

【解析】(Ⅰ)∵ 相切, ∴ ∵椭圆 (Ⅱ)∵ 的方程是 , ∴动点 到定直线 : 为 准线,

∵直线 ∴

的距离等于它到定点 为焦点的抛物线 ∴点

的距离, ∴动点 的轨迹 (Ⅲ) ∴ ∴ ∴ 的方程为 ,设

的轨迹是

、 ∵ ∵ ,化简得 当且仅当 即 ,

时等号成立



,又

∴当

即 时, ,故 的取值范围是 考点:1.椭圆方程;2.抛物线的定义;3.坐标法的应用. 10、已知 、 是椭圆 的左、右焦点,且离心率 的内切圆面积的最大值为 ,点

为椭圆上的一个动点, 程; (2) 若 共线,且

. (1) 求椭圆的方 与 共线, 与

是椭圆上不重合的四个点,满足向量 ,求 的取值范围.

【解析】 (1)由几何性质可知:当 大值,且 值, 即 , 综上得 , 经计算得 , , .由

内切圆面积取最大值时, 即 得 ; 又由 又 ,可得 .

取最 为定 ,

, 故椭圆方程为

(2) ①当直线 ②当直线



中有一条直线垂直于 轴时, 的方程为: ,由

.

斜率存在但不为 0 时,设

消去

可得

,代入弦长公式

得:

, 同理由

消去 可得 , 代入弦长公式得: ,所

以 ,所以

令 , 由①②可知,

,则 的

取值范围是 . 考点:(1)椭圆方程;(2)直线与椭圆的位置关系;(3)函数的值域. 11、在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的左焦点为 ,

左、右顶点分别为 ,上顶点为 ,过 三点作圆 (Ⅰ)若线段 是圆 的直径,求椭圆的离心率;(Ⅱ)若圆 的圆心在直线 上, 求椭圆的方程; (Ⅲ)若直线 交(Ⅱ)中椭圆于 ,交 轴于 ,求 的最大值 【解析】(Ⅰ)由椭圆的方程知 , 分 (Ⅱ) 过点 是 的直径, 解得 三点, , 点 , , 椭圆离心率 , ,设 F 的坐标为 2

圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的 ① 的中点为 ② 由①②得

垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为 , 的垂直平分线方程为

,即 , 椭圆的方程为 (Ⅲ)由 得

在直线 。由

上, 得 ,

(*) 设

,则

当且仅当 , 时取等号。此时方程(*)中的 Δ>0, 的

最大值为 1 考点:直线与椭圆的位置关系 12、在平面直角坐标系中,已知定点 A(-2,0)、B(2,0),异于 A、B 两 点的动点 P 满足 ,其中 k1、k2 分别表示直线 AP、BP 的斜率.(Ⅰ)

求动点 P 的轨迹 E 的方程;(Ⅱ)若 N 是直线 x=2 上异于点 B 的任意一点,直 线 AN 与(I)中轨迹 E 交予点 Q,设直线 QB 与以 NB 为直径的圆的一个交点 为 M(异于点 B),点 C(1,0),求证:|CM|· |CN| 为定值。

【解析】(Ⅰ)设 点的轨迹方程为

,由 .



,其中

, 整理得

(Ⅱ)设点 设 ,则

(

), , . 而 , , 从而 直线斜率

, , . 定值证法一:即 切割线定理可知, : 得, , ,直线

直线

与以

为直径的圆的另一个交点为 ,即 ,过定点 是以 为直径的圆的切线,由 定值证法二:直线

方程为 三点共线,又 ,为定值. :

, 联立

,为定值. 考点:椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系 点评:关于曲线的大题,第一问一 般是求出曲线的方程,第二问常与直线结合起来,当涉及到交点时,常用到根 与系数的关系式 13、如图,已知椭圆 点 设 满足 ,求 ,联结 ,交椭圆于点 , 是长轴的左、右端点,动 , 时, 满足的条

.(1)当 为常数,探究

的值;(2)若

件?并说明理由;(3)直接写出

为常数的一个不同于(2)结论类型

的几何条件.

【解析】(1)直线 . 所以 (2)设 ,即 . , .又 所以

,解方程组 . , 因为 ,即

,得

三点共线,于是

. 所以 当 (3)“设 时, 为常数 . 为等腰三角形时, 时, 为常数

为椭圆的焦点, 或 .”

为短轴的顶点,当 或给出“当

为常数

或 .” 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运 用,属于中档题。 14、已知圆的方程为 、 ,直线 恰好经过椭圆 是椭圆 且 ,过点 作圆的两条切线,切点分别为 的右顶点和上顶 ( 垂直于 是椭圆上异于 于两点 、 ,求证

点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设 轴的一条弦, 、 所在直线的方程为 、

的任意一点,直线

分别交定直线

.

【解析】(Ⅰ) 观察知, 心,根据圆的切线性质, 的方程为 圆的方程为 (Ⅱ) 椭圆方程为 , ,整理得 .线

是圆的一条切线,切点为 , 所以 与 轴相交于 ,依题意

, 设

为圆

, 所以直线 ,所求椭

,设 在直线 的方程 ① 同理, ② ① ②,并将

则有 中,令

代入得

= = .而 = ∵ 且

=



∴ ∴ 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 点评:本题考查直线与圆锥 曲线的位置关系,考查椭圆的标准方程,考查数形结合思想,考查学生的运算 能力、分析问题解决问题的能力,难度较大. 15、已知点 P(4, 4),圆 C: 与椭圆 E:

有一个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦 点,直线 PF1 与圆 C 相切.(Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程;(Ⅱ)设 Q 为椭

圆 E 上的一个动点,求

的取值范

围.



【解析】(1)代入点 A(3,1)得 m=1 或 5,得 m=1 2 分 设 PF 斜率为 k,

列方程组得: 所求椭圆方程为 (2)设点 Q

解得:

考点:本题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关 系,平面向量的坐标运算,三角函数辅助角公式。 点评:中档题,求椭圆的标 准方程,主要运用了椭圆的几何性质,a,b,c,e 的关系。曲线关系问题,往往通 过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理,简化解题过程。通过向量 的坐标运算,得到三角函数式,应用辅助角公式“化一”后,确定数量积的范 围。 16、已知椭圆 成等差数列,求椭圆 相交于 两点,求 .(Ⅰ)设椭圆的半焦距 的方程;(Ⅱ)设(1)中的椭圆 的取值范围. ,且 与直线

【解析】(Ⅰ)由已知: 分 所以椭圆 (Ⅱ)将 的方程是

,且 .

,解得

, 4

代入椭圆方程,得 设 , 所以,



化简得, ,则



由 , 所以 的取值

范围是 . 考点:椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系 点评:椭圆中离心率 ,当直线与椭圆相交时,常将直线与椭圆方程联立方程组,利 用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示 17、已知椭圆 椭圆 的两个焦点为 ,设点 ,点 是椭圆 在椭圆 上任一点,求 上. (Ⅰ)求 的

的方程; (Ⅱ)已知点

取值范围. 【解析】(1)设椭圆 的方程为 由椭圆定义, ∴ . (2)设 ∴ 故所求的椭圆方程为 .

∵点 ∵

在椭圆上,∴ ∴

∴ 有最小值 ; , 有最大值

∴ ,∴ 的范围是 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了直线与椭圆的位置关系,以 及向量的数量积的运用,属于基础题。

垂直平分线类
1、如图,A 点在 x 轴上方, 外接圆半径 ,弦 (1)求 在 轴上且 轴垂直平分 且以 边,

外接圆的标准方程 (2)求过点

为焦点的椭圆方程

【答案】(1) (2) 【解析】本试题主要是考查了圆与直线的位置关系,以及椭圆方程的求解。 (1)因为根据已知可知 外接圆半径 ,那

么可知外接圆的半径,然后得到方程。 (2)根据过点 且以 为焦点的椭 圆,那么可知椭圆中的长轴长为 20,焦距为 10,因此可知椭圆方程。 2、在平面直角坐标系 两不同点 ,且线段 中,椭圆 恰以点 为 (1)若一直线与椭圆 为中点,求直线 的方程; 交于

(2)若过点 的直线 (非 轴)与椭圆 相交于两个不同点 试问在 轴上是否存在定点 ,使 恒为定值 ?若存在,求出点 的坐标 及实数 的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1) 点

在椭圆内部, 直线

与椭圆必有公共点 设点

,由已知

,则有 而

两式相减,得 直线 的斜率



直线

的方程为 ,使 且设点 . 显然 ,则 恒为定值 由于直线 不可能为 轴 于 将 代入

(2) 假定存在定点 是可设直线 的方程为 得

若存在定点

使



定值( 与 值无关),则必有 定点 ,使 恒为定值

在 轴上存在

3、如图:已知椭圆 椭圆的中心 O,且 (2)若 AB 上的一点 F 满足

是长轴的一个端点,弦 BC 过 . (1)求椭圆的方程; 求证:CF 平分∠BCA;(3)

对于椭圆上的两点 P、Q,∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴时,是否存在实数

λ,使得

【解析】(I)

又 ∴△AOC 是等腰直角三角形. ∵A

(2,0),∴C(1,1)而点 C 在椭圆上, ∴ 求椭圆方程为 (Ⅱ)证明 C(1,1),则 B(-1,-1) 又 即点 F 分

. ∴所

所成的

定比为 2. 设 CF⊥x 轴, ∴∠ACF=∠FCB=45°,即 CF 平分∠BCA. (Ⅲ)对于椭圆上两点 P、Q,∵∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴 ∴PC 与 CQ 所在直线关于 x=1 对称,kpC=k,则 kcQ=-k, 设 C(1,1),则 PC 的直线 方程 y-1=k(x-1) y=k(x-1)+1 ① QC 的直线方 y-1=-k(x-1) y=-k(x- 1)+1 ② 将①代入 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 ③ ∵C

(1,1)在椭圆上,∴x=1 是方程③的一个根, ∴xp〃1= =1 同理 将②代入 x2+3y2=4 得 (1+3k2)x2-6k(k+1)x+3k2+6k-1=0 ④ ∵C(1,1)在 椭圆上, ∴x=1 是方程④的一个根, ∴xQ〃1=

∴存在实数 λ,使得 4、已知椭圆 为圆心、以椭圆 设椭圆 程; 线 垂直 于点 . 的离心率为 ,直线 : 与以原点 的方程;(II) 的轨迹 的方

的短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 ,右焦点 ,直线 过点 ,线段 垂直平分线交 于点 ,求点

的左焦点为

且垂直于椭圆的长轴,动直

【解析】(Ⅰ)∵ 相切, ∴ 椭圆 C1 的方程是

∵直线 ∴ ∵

(Ⅱ)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 的距离等于它到定点 F1(1, 0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨 迹 C2 的方程为 5、(本小题满分 14 分) 已知椭圆 的两焦点分别为 ,且椭圆上的 点到 的最小距离为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)过点 作直线 交椭圆 于 两点,设线段 的中垂线交 轴于 , ,求 m 的取值范围. , ,

【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆为 ,故椭圆 的方程为 . (Ⅱ)①当 的斜率不存在时,线段 斜率存在时,设 的方程为 ,由 得,

的中垂线为 轴, ,代入 设 得:

; 8 分 ②当 的

,则

, 中点为 .由 . 6、如图所示,已知圆 段 的垂直平分线交

, ,中垂线方程为 ,易得.

, ∴线段 ,令 得



综上可知,实数 m 的取值范围是

, 于点 ,点

为定点,

为圆

上的动点,线

的轨迹为曲线 E. (Ⅰ)求曲线 的方

程;(Ⅱ)过点

作直线 交曲线 于

两点,设线段

的中垂线交

轴于点

,求实数 m 的取值范围.

【解析】(Ⅰ)由题意知, ∴动点 D 的轨迹是以点 , 焦距 . (Ⅱ)①当 的斜率不存在时,线段

. 又 为焦点的椭圆,且椭圆的长轴长 , ∴曲线 的方程为 的中垂线为 轴, ; ,代入 设 ,则 得:



②当 的斜率存在时,设 的方程为 ,由 得,

, 中点为 .由 .

, ,中垂线方程为 ,易得

, ∴线段 ,令 得



. 综上可知,实数 m 的取值范围是

7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点

,焦点在 轴上,离心率为

,且椭圆 E 上

一点到两个焦点距离之和为 4; , 是过点 交椭圆 E 于 , , 两点, 交椭圆 E 于 与直线 ,

且相互垂直的两条直线, 两点, , 的中点分别为

.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)求直线 的斜率 的取值范围; 的斜率乘积为定值.

(3)求证直线

【解析】(1)设椭圆 E 的方程为

,由



所以所求椭圆 E 的标准方程为



(2)由题意知,直线 的斜率存在且不为零,由于

,则

,由

消去 并化简整理,得 , 根据题意, ,解得 , ∴有 ,解得

,同理可得 . (3)设 , ,

,即



,那么 ,即

,则 ,

同理可得 ,即直线

,即 与直线

,∴ 的斜率乘积为定值

8、已知椭圆 C: ,点 M(2,1). (1)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (2)求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程. 【解析】(1)由 得 所以 焦点坐标是

离心率 (2)显然直线不与 x 轴垂直,可设此直线方程为 点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 又 直线方程为: 9、如图,椭圆 C: 距离为 , 所以:

,且它与椭圆的交

所以:



(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的

.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线

OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方

程.

【解析】(Ⅰ)由题:

; (1) 左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: . (2) 由(1) (2)可解得: .∴所求椭圆 C

的方程为:



(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. ∵A,B 在椭圆上,



. 设直线 AB 的方程为

l:y=﹣

(m≠0), 代入椭圆: . ∴﹣ <m< |

. 显然 且 m≠0. 由上又有: |=

=m,

= =

. ∴|AB|=

. ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: ,其中﹣ ,则 当 m= 时,有 <m

. ∴S ABP= d|AB|= < 且 m≠0. 利用导数解:令

(S ABP)max. 此时直线 l 的方程 10、已知椭圆 的左右焦点为 F1,F2,离心率为 ,以线段

F1 F2 为直径的圆的面积为 , (1)求椭圆的方程; (2) 设直线 l 过椭圆的右焦点 F2(l 不垂直坐标轴),且与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M(m,0),试求 m 的取值范围.

【答案】(1)由离心率为 积为 得: c2= , c2=1

得:

=

① 又由线段 F1 F2 为直径的圆的面 ,c=1,∴b2=1,∴椭圆方程为

②由①, ②解得 a=

(2) 由题意,F2(1,0),设 l 的方程为 整理,得 …6 分 因为 l 过椭圆的右焦点, 设 ,则

…………………………8 分 令

………10 分 由于

11、已知:椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,e= ,

过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数 列,且|AB|=4。(I)求椭圆 C 的方程;(II)M、N 是椭画 C 上的两点, 若线段 MN 被直线 x=1 平分,证明:线段 MN 的中垂线过定点。 【答案】 (Ⅰ)∵ ∴ . 、 、 成等差数列, ∴ ,得 ,所以 . (Ⅱ)设 , . , , 由题意知: 两式相减得: , , 所求的椭圆方程为: ,又

,∴ 所以 . , 易证,此直线经过定点



平行线类
1、已知 A1,A2,B 是椭圆 =1(a>b>0)的顶点(如图),直线 l 与椭 ,且|A2B| 圆交于异于顶点的 P,Q 两点,且 l∥A2B,若椭圆的离心率是 =

。(1)求此椭圆的方程;(2)设直线 A1P 和直线 BQ 的倾斜角分别为

α,β,试判断 α+β 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由。

【答案】

【解析】略

2、已知椭圆





)的离心率为

,直线

与以

原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆 的方 程; (2)设椭圆 的左焦点为 ,右焦点为 ,直线 过点 且垂直于椭 圆的长轴,动直线 求点 的轨迹 垂直 于点 ,线段 的垂直平分线交 为点 的轨迹 于点 . (i) 的两条 的方程;(ii)若 的过点

相互垂直的弦,求四边形 【答案】(1)∵ 与圆 . (2)(i)∵ 的距离, ∴动点 的轨迹 的方程为: ,∴

面积的最小值. = = , = ,∴ ,∴ . . ∴椭圆 ∵直线 的方程是

相切,∴

∴动点 的轨迹 .

到定直线 是以 为准线,

的距离等于它到定点 为焦点的抛物线. ∴点

(ii)由题意可知:直线 ,

的斜率存在且不为零, 则: 由韦达定理知:

令:



抛物线定义知:

而:

同样可得:

则: (当且仅当 时取“ ”号) 所以四边形 3、已知椭圆 面积的最小值是:8 的长轴长为 ,离心率 (1)求

椭圆 C 的标准方程;(2)若过点 B(2,0)的直线 (斜率不等于零)与椭圆 C 交于点 E,F,且 ,求直线 的方程。

【答案】

(II)由题意知 的斜率存在且不为零, 设 方程为 ,整理得

① 将①代入

…………………………8 分 由







,则

② 由已知

,即

. 代入②得, 解得 ,满足

………………10 分 消去 即



. ……………………………………12 分 所以,所求直线 的方程为 …………13 分 【解析】略 4、已知椭圆 (1) 若点 平分线段 平行的直线与椭圆交于 ,求证: // 【答案】(1) ① ,过点 作直线 与椭圆交于 、 两点.

,试求直线 的方程;设与满足(1)中条件的直线 、 两点, 与椭圆交于点 , 与椭圆交于点 , ,则有 ② ① -②得 , . ,即

, 的方程为 (2)证明:设 有 、 ① , 的坐标分别代入椭圆方程: ②② ,即 ,即 .



故直线

,且 .

.则 将点

-①得 易知 ,故约去 得

③ 同理有 ④ 由④-③得 . 由已知, , , 所以 // . 得 即 斜率为 ,有 ,即

5、(14 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2, 0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程;(2)是否存在平行于 OA 的直线 ,使 得直线 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 的距离等于 4?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由。 【答案】(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 点为 F(-2,0), 从而有 以 ,故椭圆 C 的方程为 。 ,解得 ,且可知左焦 ,又 ,所

(2)假设存在符合题意的直线 ,其方程为 , 解得

,由



, 因为直线 与椭圆有公共点,所以有 , 另一方面,由直线 OA 与 的

距离 4 可得:

,从而

, 由于

,所以符

合题意的直线 不存在。 6、已知 的顶点 在椭圆 上, 在直线 上,且

.(Ⅰ)当 (Ⅱ)当 【解析】(Ⅰ)因为 为 .设 . 所以 的距离. 所以 (Ⅱ)设

边通过坐标原点 时,求 的长及 的面积; ,且斜边 的长最大时,求 所在直线的方程. ,且 边通过点 ,所以 .由 . 又因为 , . ,由 在椭圆上,所以 ,则 . 又因为 的长等于点 , 得 .设 , 所以 到直线 的距离, .所 ) 此时 所在直线的方程 所在直线的方程 得

两点坐标分别为

边上的高 等于原点到直线

所在直线的方程为 . 因为

两点坐标分别为

即 以当 为 .

. 所以 时, 边最长,(这时

7、如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经 过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 交

椭圆于 A、B 两个不同点。(1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围;

【解析】略 8、(本小题满分 14 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3), 且点 F(2,0)为其右焦点。(1)求椭圆 C 的方程;(2)是否存在平行于 OA 的直线 ,使得直线 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 的距离等于 4?若 存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由。 【解析】(1)设椭圆的方程 因为 ,所以 F(2,0) 从而有 故椭圆方程为:

(2)假设存在符合题意的直线 ,其方程 得 解得





直线 与椭圆有公共点, 所以, 另一方面,由直线 OA 与 的距离

等于 4,可得 的直线 不存在

由于

,所以符合题意


椭圆各类型题目

椭圆各类型题目_高二数学_数学_高中教育_教育专区。椭圆类型题目全都有学员姓名: 授课教师: 教学标题 科目:数学 总课时: 年级: 已上课时: 时间:年月日共课时 ...

椭圆各种类型题

椭圆各种类型题_数学_高中教育_教育专区。椭圆部分常出现的几种类型题面积类 1、已知椭圆 :与 正半轴、 正半轴的交点分别为 ,动点 是椭圆上任一点,求 面积的...

椭圆各类题型分类汇总

椭圆各类题型分类汇总_数学_高中教育_教育专区。椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第...42 ? 32 ? 7 的椭圆的方程: x2 y2 ? ?1. 16 7 说明:本题是先根据...

高考椭圆大题专题分类

高考椭圆大题专题分类_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.已知椭圆G: ...轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上. ...

高中椭圆习题全类型详解

高中椭圆习题类型详解_数学_高中教育_教育专区。3 5 (1)两个焦点的坐标分别...3 3 ?x? 5 5 小结:本题考查椭圆的方程、焦半径公式,三角函数,解不等式...

椭圆经典例题答案版

48 . 13 (法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为 在 ...4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两点 3 关于该直线对称. 分析:若设椭圆上 ...

椭圆问题中最值得关注的几类基本题型

椭圆问题中最值得关注的几类基本题型_数学_高中教育_教育专区。第 33 练 椭圆...(x,y),由题设得 ·=- (x≠0). x x 9 x2 y2 化简得 +=1(x≠0...

椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014...2014造价工程师各科目冲刺试题及答案81份文档 笑话大全集 笑话大全爆笑版 幽默...

椭圆标准方程典型例题及练习题

椭圆标准方程典型例题及练习题_数学_高中教育_教育专区。椭圆标准方程典型例题及练习...4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称. M ( x0 , y0 ) ...

椭圆题库

椭圆题库_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中椭圆类题库椭圆...4 x ? m ,椭 3 圆 C 上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上...