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十种求数列通项公式的方法(理)

时间:2014-07-08


高考数列 3------求通项

3.十种求数列通项公式的方法
一、公式法(不能直接运用公式的要稍加变形)
例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 答案: an ? ( n ? )2 。评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3?

2n 转化为

3 1 n 2 2 an ?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ?1 2 2 2 2n an 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2

二、累加法(an+1 与 an 的系数相同,不相同的看能否变形为相同)
例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 2 an ? n2 。 例 3 an ? 3n ? n ?1. 例 4 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

三、累乘法(an+1/an 是一变量)
例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 6 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 式。 求 {an } 的通项公 ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,

例5

an ? 3 ? 2

n ?1

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

例 6 {an } 的通项公式为 an ?

n! . 2

四、待定系数法(y=kx+b 转化为 y=kx)
例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n

例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 例 7 an ? 2n?1 ? 5n 。 例 8 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。

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高考数列 3------求通项

五、对数变换法(出现高次)
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 10 an ? 7

5n?1

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、迭代法(有递推规律)
例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1
n

3( n ?1)2 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。

n

3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an?1 ? an ,所以 an ? an ?1

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2

n? 2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3

n?3

2

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

? ? a13 ?a
n?1

?2?3

( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2?
n ( n?1) 2

?( n?3)?( n?2)?( n?1)

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an

?5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


n

3( n ?1)2 评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an?1 ? an 两

边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an ,即

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an lg an?1 lg an ? ? ? lg an?1 lg an?2

n?1 lg a3 lg a2 ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法(先猜后证)
例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

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高考数列 3------求通项

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

(2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 ? ? (2k ? 3) 2 [2( k ? 1) ? 1]2
由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法(去根号)

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高考数列 3------求通项

例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ?

1 3 1 bn ? ,可化为 bn ?1 ? 3 ? (bn ? 3) , 2 2 2
1 为公比的等比数列, 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项, 以 因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式,从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。

九、求和法

例14.知:a1 ? 1,a n ?1 ? Sn (n ? N? ).求an ? ?. 3
十、周期法

(n ? 1) ?S1 an ? ? ?S n1 ? S n?1 (n ? 2)

15、、已知数 {a n }中a 1 ? 2, a n ? 1 ? 求a 100 ? __________ _

1 a n ?1

,

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