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全国高中数学联合竞赛(校拟)试题附答案

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全国高中数学联合竞赛(校拟)试题 第 一 2 试 时间:10 月 16 日 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 ? 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为( A. ) ? 6 B. ? 12 or 5? 12 C. ? 6 or 5? 12 D. ? 12 2、已知 M ? {( x, y) | x2 ? 2 y 2 ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b} 。若对所有 m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是( A. ? ? ) ? ? 6 6? , ? 2 2 ? B. ? ? ? ? ? 6 6? , ? 2 2 ? ? C. (? 2 3 2 3 , ] 3 3 ) D. ? ? ? 2 3 2 3? , ? 3 ? ? 3 3、不等式 log 2 x ? 1 ? 1 log 1 x3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2 C. [2, 4) A. [2,3) B. (2,3] D. (2, 4] 4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积 的比为( A. 2 ) B. ??? ? ??? ? ??? ? ? 3 2 C. 3 D. 5 3 5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点, O 为底面圆的圆心, AB ? OB ,垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的 中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A. 5 3 B. 2 5 3 C. 6 3 D. 2 6 3 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、 在平面直角坐标系 xoy 中, 函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数 g ( x) ? a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。 8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有 f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。 1 D1 C1 9、如图、正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____________。 A1 F E D B1 C A 2 10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________。 11、 已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 , 则 B ?a i ?o n 1 i 的值 是_________________________。 12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,

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