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2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 卡西欧计算机于数学解题方面的应用

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2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 卡西欧计 算机于数学解题方面的应用 (1) 、用图像函数解决数形结合的问题: 过圆 C: (x-1)?+(y-1)?=1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半 轴于点 A,B,△AOB 被圆分成了四个部分,若这个四个部分的 面积满足关系:S1+S4=S2+S3,则直线 AB 有几条? 本题可以使用常规思路,由于在直线的倾角增大的过程中, S3 因为底边减小,底边上的高也同时减小,而 S1 则底边与高同时 增大,两者面积增减都具有单调性,即 S1 单调递增,S3 单调递 减。而由题 S3-S1=S4-S2,S4-S2 为定值。由函数单调性可知, 该直线情况只有一种。 同时,本题可以用图形函数来验证。 通过构建面积的关系式, 最后得到一个关于斜率 k 的等式。 即求函数 y=1/k –k+2-3π 与函数 y=-2arctank 的 交点 通过图形函数计算,列出两式: 1 求取交点: 得到两个交点,由于 k∈(-∞,0) 所以舍正,得到一个交点,与之前论证相符。 (2) 、用动态函数图解决数形结合问题: (1) 、通过动态图可以发现,左焦点为 C1-C2 型点。且当斜率为 2 时成立。 (2) 、 由于直线过原点时与 C2 存在平行关系无焦点,并在 k=1 时与 C1 不存在交点, 那么 2 就用动态图尝试发现直线位置与上述图像的规律。 将初始值调为 1.001 减小误差,并将步长调为 0.1 使其更有普遍性。 经过几次尝试后发现,y=kx 不断逼近 y 轴,只可能与 C2 有交点,与 C1 恒无交点。 则第二题得证。 (3) 、 通过观察图像发现整体关于原点对称。 那不妨 只讨论第二象限及第三象限的情况。 通过引入 y=x+1 发现其与 C2 有无数个交点,即有与其一边重合关系 且与 C1 做下半支只有一个交点。 如图所示: 那么易知,当该直线截距小于 1 时,斜率不变,直线与 C1 C2 都不会有交点。 那么若将平移过的直线(截距小于 1)以圆内一点为定点进行旋转时,该直线在 k>1 时, 3 会和 C2 有交点,与 C1 无交点,在 k=1 时,与 C2 C1 都没交点,在 k 小于 1 时,会与 C1 有交点,与 C2 无交点。该结论可由第二题的结论得到。 由于该图像关于原点对称,那么在其余三种情况下,该结论都应成立。 那么,命题得证。 4

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