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1.2.2 空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的判定(人教B版必修2)

时间:2017-09-08


1.2.2

空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的判定
自主学习

学习目标 1.理解直线与平面平行的判定定理的含义. 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理,并知道 其地位和作用. 3.能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 自学导引 1.如果一条直线和一个平面____

__________,那么,我们说这条直线和这个平面平行. 2.直线与平面平行的判定定理 如果不在一个平面内的一条直线和________________________平行, 那么这条直线和这 个平面平行.即________平行,则线面平行. 用符号表示:______________________________. 3.过平面外一点有________条直线与这个平面平行. 对点讲练 知识点一 直线与平面的位置关系 例 1 下面命题中正确的个数是( ) ①如果 a、b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面; ②如果直线 a 满足 a∥α,那么 a 与平面 α 内的任何一条直线平行; ③如果直线 a、b 满足 a∥α,b∥α,则 a∥b; ④如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b?α,那么 b∥α; ⑤如果 a 与平面 α 上的无数条直线平行,那么直线 a 必平行于平面 α. A.0 B.2 C.1 D .3 点评 解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判 断,要有画图意识,并借助于空间想象能力进行细致的分析. 正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要的模型,又是最基本的模型,而且立体几 何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之 称.本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的. 变式训练 1 已知下列命题: ①若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ②若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α; ③若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 知识点二 线面平行的判定定理的简单应用 例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, Q 是 PA 的中点, 求证: PC∥平面 BDQ.

点评 利用中点构造三角形的中位线, 再利用三角形中位线定理实现线线平行, 进而证 得线面平行.

变式训练 2 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为 BC 边的中点,连接 AD、DC1、A1B、 AC1.求证:A1B∥平面 ADC1.

知识点三 线面平行判定定理的综合应用 例3

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC、C1D1 的中点,求证: EF∥平面 BDD1B1.

变式训练 3

如图所示, P 是?ABCD 所在平面外一点, E, F 分别在 PA, BD 上, 且 PE∶EA=BF∶FD. 求证:EF∥平面 PBC.

1.空间中直线与平面的位置关系有且只有三种:直线在平面内(有无数个公共点)、直 线与平面相交(有惟一公共点)、直线与平面平行(无公共点).其中直线与平面相交、直线与 平面平行统称为“直线在平面外”.

?—直线与平面平行的定义 2.线面平行的判定方法—? ?—直线与平面平行的判定定理
课时作业 一、选择题 1.若三条直线,a,b,c 满足 a∥b∥c,且 a?α,b?β,c?β,则两个平面 α、β 的位 置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 2.点 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,则三棱 锥 A—BCD 中的六条棱中与平面 EFGH 平行的条数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.若直线 m 不平行于平面 α,且 m?α,则下列结论中正确的是( ) A.α 内的所有直线与 m 异面 B.α 内不存在与 m 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 m 平行 D.α 内的直线与 m 相交 4.A、B 是不在直线 l 上的两点,则过点 A、B 且与直线 l 平行的平面有( ) A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.以上三种情况均有可能 5.过平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平 行的直线共有( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题 6.经过直线外一点有________个平面与已知直线平行;经过直线外一点有________条 直线与已知直线平行. 7.P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,矩形对角线交点为 O,M 为 PB 的中点,给出四 个结论: ①OM∥面 PCD; ②OM∥面 PBC; ③OM∥面 PDA; ④OM∥面 PBA. 其中正确的是________(填写序号). 8.若直线 a∩直线 b=A,a∥平面 α,则 b 与 α 的位置关系是__________. 三、解答题 9.

如图所示,已知 E、F、G、M 分别是四面体的棱 AD、CD、BD、BC 的中点,求证: AM∥平面 EFG.

10.

如图所示,设 P,Q 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 AA1D1D 和面 A1B1C1D1 的中 心. 求证:PQ∥平面 AA1B1B.

【答案解析】 自学导引 1.没有公共点 2.平面内的一条直线 线线

a?α,b?α 且 a∥b?a∥α

3.无数 对点讲练 例1 C

如图所示,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′却在过 BB′的 平面 AB′内,故命题①不正确;AA′∥平面 B′C,BC?平面 B′C,但 AA′不平行于 BC,故命题②不正确;AA′∥平面 B′C,A′D′∥平面 B′C,但 AA′与 A′D′相交, 所以③不正确;④中,假设 α 与 b 相交,∵a∥b, ∴a 与 α 相交, 这与 a∥α 矛盾, 故 b∥α, 即④正确; AA′显然与平面 A′B 中和 B′B 平行的无数条直线平行,但 AA′?平面 A′B,故⑤不正确.] 变式训练 1 A [①错.因为直线 a 在平面 α 外有两种情形:a∥α 和 a 与 α 相交. ②错.因为 a 可能在平面 α 内. ③正确.无论 a 在平面 α 内或 a∥α,在 α 内都有无数条直线与 a 平行.] 例 2 证明

如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AO=OC,连接 OQ,则 OQ 在平面 BDQ 内,且 OQ 是△APC 的中位线, ∴PC∥OQ.又∵PC 在平面 BDQ 外, ∴PC∥平面 BDQ. 变式训练 2 证明 连接 A1C 交 AC1 于 O,连接 OD.

在△A1BC 中, 因为 D 为 BC 中点, O 为平行四边形对角线 A1C 的中点, 所以 OD∥A1B. 又 A1B?平面 ADC1, OD?平面 ADC1, ∴A1B∥平面 ADC1. 例 3 证明 取 D1B1 的中点 O, 连接 OF,OB.

∵OF

1 1 B C ,BE B1C1, 2 1 1 2

∴OF BE. ∴四边形 OFEB 是平行四边形, ∴EF∥BO. 又∵EF?平面 BDD1B1, BO?平面 BDD1B1, ∴EF∥平面 BDD1B1. 变式训练 3 证明 连接 AF 延长交 BC 于 G, 连接 PG.

在?ABCD 中, 易证△BFG∽△DFA. ∴ GF BF PE = = , FA FD EA

∴EF∥PG. 而 EF?平面 PBC, PG?平面 PBC, ∴EF∥平面 PBC. 课时作业 1.C 2.C [由线面平行的判定定理知: BD∥平面 EFGH,AC∥平面 EFGH.] 3.B 4.D 5.C 6.无数 1 7.①③ 8.平行或相交 9.证明 如图所示,连接 MD 交 FG 于 N,连接 EN. ∵GF 为△BCD 的中位线,

∴N 为 MD 的中点, ∵E 为 AD 中点, ∴EN 为△AMD 的中位线,

∴EN∥AM. 又∵AM?平面 EFG, EN?平面 EFG,∴AM∥平面 EFG. 10.证明 方法一 取 AA1,A1B1 的中点 M,N,连接 MN,NQ,MP,AD1,A1C1, 1 ∵MP∥A1D1,MP= A1D1, 2 1 NQ∥B1C1,NQ= B1C1, 2

∴MP∥NQ 且 MP=NQ, ∴四边形 PQNM 为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又∵MN?平面 AA1B1B, PQ?平面 AA1B1B, ∴PQ∥平面 AA1B1B. 方法二 连接 AD1,AB1,B1D1, 在△AB1D1 中,显然 P,Q 分别是 AD1,D1B1 的中点, 1 ∴PQ∥AB1,且 PQ= AB1. 2 又∵PQ?平面 AA1B1B,AB1?平面 AA1B1B, ∴PQ∥平面 AA1B1B.


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