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第九章第8讲二项分布及其应用

时间:2016-05-31


第 8 讲 二项分布及其应用

,[学生用书 P198])

1.条件概率及其性质 P(AB) (1)条件概率的定义:设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= 为在事件 A P(A) 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. (2)条件概率的性质:①0≤P(B|A)≤1;②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A) =P(B|A)+P(C|A). 2.事件的相互独立性 (1)定义:设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立. (2)性质: ①若事件 A 与 B 相互独立, 则 P(B|A)=P(B), P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)· P(B). - - - - ②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验,Ai(i=1,2,?,n)表示第 i 次试验结果,则 P(A1A2A3?An)=P(A1)P(A2)?P(An). (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概 率是 p,此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率,在 n 次独 k n-k 立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck (k=0,1,2,?,n). np (1-p)

1.辨明两个易误点 (1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. (2)P(B|A)是在 A 发生的条件下 B 发生的概率,而 P(A|B)是在 B 发生的条件下 A 发生的 概率. 2.理解事件中常见词语的含义 (1)A,B 中至少有一个发生的事件为 A∪B; (2)A,B 都发生的事件为 AB; - - (3)A,B 都不发生的事件为 A B ; - - (4)A,B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B; - - - - (5)A,B 至多一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .

1 1.若事件 E 与 F 相互独立,且 P(E)=P(F)= ,则 P(EF)的值等于( ) 4 1 A.0 B. 16 1 1 C. D. 4 2 答案:B 1 3 2.已知 P(B|A)= ,P(AB)= ,则 P(A)等于( ) 2 8 3 13 A. B. 16 16 3 1 C. D. 4 4 3 解析:选 C.由 P(AB)=P(A)P(B|A),可得 P(A)= . 4 3.(2015· 高考全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知 某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概 率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 2 解析:选 A.3 次投篮投中 2 次的概率为 P(X=2)=C2 3×0.6 ×(1-0.6),投中 3 次的概率 2 为 P(X=3)=0.63,所以通过测试的概率为 P(X=2)+P(X=3)=C3 ×0.62×(1-0.6)+0.63= 0.648.故选 A. 4.设袋中有大小相同的 4 个红球与 2 个白球,若从中有放回地依次取出一个球,则 6 次取球中取出 2 个红球的概率为________. 2 2 2?2? ?1? 6, ?,所以 P(X=2)=C6 解析:由题意得红球个数 X 服从二项分布,即 X~B? · ? 3? ?3? ?3? 4 20 = . 243 20 答案: 243 1 5.(选修 23P55 练习 T3 改编)国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙去北京旅游的 3 1 概率为 ,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概 4 率为________. - 解析:记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A, “乙去北京旅游”为事件 B,又 P( A 1?? 1? 1 - - - B )=P( A )· P( B )=[1-P(A)][1-P(B)]=? ?1-3??1-4?=2, 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游,故所求概 1 1 - - 率为 1-P( A B )=1- = . 2 2 1 答案: 2

考点一 条件概率[学生用书 P199] 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶 数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( )

1 A. 8 2 C. 5

1 B. 4 1 D. 2 2 2 C3+C2 4 2 P(AB) C2 1 2 [解析] P(A)= = = , P(AB)= 2= , 由条件概率公式, 得 P(B|A)= 2 C5 10 5 C5 10 P(A) 1 10 1 = = . 4 4 10 [答案] B 若将本例中的事件 B:“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数 均为奇数” ,则结果如何? 2 C2 P(AB) 3 C2 3 3+C2 2 3 解:P(A)= = ,P(AB)= 2= ,所以 P(B|A)= = . 2 C5 5 C5 10 P(A) 4

条件概率的两种求解方法 P(AB) (1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)= 求 P(B|A). P(A) (2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事 n(AB) 件 AB 包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= . n(A) 1.

如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该 圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影 部分)内”,则 P(B|A)=________. 1 ×1×1 2 2× 2 2 1 解析:依题意得, P(A)= = ,P(AB)= = ,则由条件概率公式可知, π π π 2π P(AB) 1 P(B|A)= = . P(A) 4 1 答案: 4

考点二 相互独立事件的概率[学生用书 P199] (2016· 唐山统考)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时 间段,时常发生交通拥堵现象,交警部门统计 11 月份 30 天内的拥堵天数.东西南北四个主 干道入口的拥堵天数分别是 18,15,9,15.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频率为 概率. (1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率; (2)设 X 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求 X 的分布列. [解] (1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件 A,B,C,D.

18 3 15 1 9 3 则 P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = , 30 5 30 2 30 10 15 1 P(D)= = . 30 2 设一天恰有三个入口发生拥堵为事件 M,则 M=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD. 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 7 1 3 1 3 1 45 9 则 P(M)= × × × + × × × + × × × + × × × = = . 5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 200 40 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 14 7 55 11 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , 200 100 200 40 77 45 9 P(X=2)= ,P(X=3)= = , 200 200 40 9 P(X=4)= . 200 X 的分布列为: X P 0 7 100 1 11 40 2 77 200 3 9 40 4 9 200

相互独立事件的概率的求法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 1 2.甲、 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球, 命中率分别为 与 p, 2 1 且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率. 解:(1)设“甲投一次球命中”为事件 A, “乙投一次球命中”为事件 B. 1 - - 由题意得:P( B )P( B )= , 16 1 1 - - 于是 P( B )= 或 P( B )=- (舍去). 4 4 3 - 故 p=1-P( B )= . 4 1 - 1 (2)法一:由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 - - 3 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 1-P( A · A )= . 4 1 1 - 法二:由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 - 1 C2 P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4 考点三 独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书 P200] 独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容, 也是高考命题的热点, 多以解答题的 形式呈现,试题难度较大,多为中高档题目.

高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度: (1)已知二项分布,求二项分布列; (2)已知随机变量服从二项分布,求某种情况下的概率. (2014· 高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下: 每盘游戏都需击鼓三次, 每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即 1 获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? [解] (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意,有 1 2 ?1? ? 1? 3 P(X=10)=C1 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 2 1 1 1 3 ? ? ? ? 1 - P(X=20)=C2 × × = 3 2 2 ? ? ? ? 8, 3 0 ?1? ? 1? 1 P(X=100)=C3 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 0 1? ? 1?3 1 ? P(X=-200)=C0 × 3 ?2? ×?1-2? =8. 所以 X 的分布列为 X 10 20 100 -200 3 3 1 1 P 8 8 8 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 1 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 8 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1?3 1 511 1-P(A1A2A3)=1-? ?8? =1-512=512. 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 (1)独立重复试验满足的条件 独立重复试验是在同样的条件下重复地、 各次之间相互独立地进行的一种试验. 在这种 试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中 发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件 ①每次试验中,事件发生的概率是相同的. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数. 3.(2016· 唐山第一次模拟)小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、 丙随机发放红包,每次发放 1 个. (1)若小王发放 5 元的红包 2 个,求甲恰得 1 个的概率; (2)若小王发放 3 个红包,其中 5 元的 2 个,10 元的 1 个.记乙所得红包的总钱数为 X, 求 X 的分布列. 解:(1)设“甲恰得 1 个红包”为事件 A, 1 2 4 1 则 P(A)=C2 × × = . 3 3 9 (2)X 的所有可能取值为 0,5,10,15,20.

2?3 8 P(X=0)=? ?3? =27, 1 ?2?2 8 P(X=5)=C1 , 2× × 3 = 3 ? ? 27 2 2 1? 2 ?2? 1 6 P(X=10)=? ?3? ×3+?3? ×3=27, 2 ?1? 2 4 , P(X=15)=C1 2× 3 × = ? ? 3 27 3 1 ? 1 P(X=20)=? ?3? =27. X 的分布列为: X 0 5 8 8 P 27 27

10 6 27

15 4 27

20 1 27

,[学生用书 P200]) 规范解答——离散型随机变量的综合问题

(本题满分 12 分)(2015· 高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金 额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只 有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分 布列和数学期望. (1) 条件 ― → 列出事件 ― ― → 求出事件A1、A2、B1、B2的概率 ― ― → 结果 独立 互斥 (2) 条件 ― → 次数X服从二项分布 ― → P(X)的值 ― → 分布列 ― → 期望
事件 B1、B2

(1)记事件 A1={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}, A2={从乙箱中摸出的 1 个球是红球}, B1={顾客抽奖 1 次获一等奖}, B2={顾客抽奖 1 次获二等奖}, C={顾客抽奖 1 次能获 奖}. 由题意知 A1 与 A2 相互独立,A1A2 与 A1A2 互斥,B1 与 B2 互斥,且 B1=A1A2,B2=A1A2 +A1A2,C=B1+B2. 4 2 5 1 因为 P(A1)= = ,P(A2)= = ,(2 分) 10 5 10 2 2 1 1 所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= × = , 5 2 5 (3 分) P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2) =P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) =P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)

1 2 1 1 2 1- ?+?1- ?× = .(5 分) = ×? 5 ? 2? ? 5? 2 2 1 1 7 故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = .(6 分) 5 2 10 1 (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验, 由(1)知, 顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 , 5 1 ? 所以 X~B? ?3,5?. (7 分) 0 3 ?1? ?4? = 64 , 于是 P(X=0)=C0 3 5 ? ? ?5? 125 1 2 1 4 48 ? ? ? ? P(X=1)=C1 3 5 ? ? ?5? =125, 2 1 ?1? ?4? = 12 , P(X=2)=C2 3 5 ? ? ?5? 125 1?3?4?0 1 ? P(X=3)=C3 3 5 ? ? ?5? =125.(10 分) 故 X 的分布列为 X P (11 分) 1 3 X 的数学期望为 E(X)=3× = .(12 分) 5 5 (1)解答此类问题,应注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求答 题. (2)注意分布列要用表格的形式列出来,不要认为求出各个相应的概率就结束了. 0 64 125 1 48 125 2 12 125 3 1 125

1.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A, “骰子向 上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一个发生的概率是( ) 5 1 A. B. 12 2 7 3 C. D. 12 4 1 1 解析:选 C.依题意,得 P(A)= ,P(B)= ,且事件 A,B 相互独立,则事件 A,B 中至 2 6 1 5 7 - - - - 少有一个发生的概率为 1-P( A · B )=1-P( A )· P( B )=1- × = ,故选 C. 2 6 12 5 2.设随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥2)的值为( ) 9 32 11 A. B. 81 27

65 16 C. D. 81 81 解析:选 B.因为随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),又 P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1 1 5 1 11 4, ?,则 P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)= . -p)2= ,解得 p= ,所以 Y~B? ? 3? 9 3 27 3. 将三颗骰子各掷一次, 设事件 A 为“三个点数都不同”, B 为“至少出现一个 3 点”, 则 P(A|B)=( ) 60 1 A. B. 91 2 7 81 C. D. 12 125 解析:选 A.P(A|B)表示在 B 发生的情况下,A 发生的概率,即在“至少出现一个 3 点” 的情况下, “三个点数都不相同”的概率,因为“至少出现一个 3 点”的情况数目为 6×6×6 -5×5×5=91, “三个点数都不相同”则只有一个 3 点, 共 C1 故 P(A|B) 3×5×4=60 种情况, 60 = . 91 1? 4.如果 X~B? ) ?15,4?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为( A.3 B.4 C.5 D.3 或 4 解析:选 D.观察选项,采用特殊值法. 1?3?3?12 ? 因为 P(X=3)=C3 15 4 ? ? ?4? , 4 11 ?1? ?3? , P(X=4)=C4 15 4 ? ? ?4? 1?5?3?10 ? P(X=5)=C5 15 4 ? ? ?4? , 经比较,P(X=3)=P(X=4)>P(X=5),故使 P(X=k)取最大值时 k=3 或 4. 5.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗的成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽 取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析:设种子发芽为事件 A,种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗). 依题意 P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式 P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.8×0.9=0.72, 即这粒种子能成长为幼苗的概 率为 0.72. 答案:0.72 6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠,若该电梯在底层有 5 1 个乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为 ,用 X 表示 5 位乘客在第 20 层 3 下电梯的人数,则 P(X=4)=________. 解析: 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验, 这是 5 次独立重复试验, 故 X~ k 5-k 1? k ?1? ?2? B? ?5,3?,即有 P(X=k)=C5?3? ×?3? ,k=0,1,2,3,4,5. 1?4 ?2?1 10 ? 故 P(X=4)=C4 5 3 × 3 = ? ? ? ? 243. 10 答案: 243 7. (2015· 高考福建卷节选)某银行规定, 一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误, 该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银 行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一, 小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试. 若 密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的分布列.

解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件 A, 5 4 3 1 则 P(A)= × × = . 6 5 4 2 (2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3. 1 5 1 1 5 4 2 又 P(X=1)= ,P(X=2)= × = ,P(X=3)= × ×1= . 6 6 5 6 6 5 3 所以 X 的分布列为 X P 1 1 6 2 1 6 3 2 3

8.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗 骰子的点数之和大于 8”. (1)求 P(A),P(B),P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率. 2 1 解:(1)P(A)= = . 6 3 因为两颗骰子的点数之和共有 36 个等可能的结果,点数之和大于 8 的结果共有 10 个. 10 5 所以 P(B)= = . 36 18 当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个,故 P(AB) 5 = . 36 5 P(AB) 36 5 (2)由(1)知 P(B|A)= = = . 1 12 P(A) 3 9.(2016· 沈阳质量监测)某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业 老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一 张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一 1 类票的概率都为 ,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决 3 定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖. (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率; (2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和 X 的分布列及数学期望. 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为 A,则事件 A 包括:该节 目可以获两张“获奖”票,或者获三张“获奖”票. 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都 1 为 ,且三人投票相互没有影响, 3 2 1 3 ?1? ?2? +C3 ?1? = 7 . 所以 P(A)=C2 3 3 3 ? ? ?3? ?3? 27 (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和 X 的可能取值为 0,1,2,3. 1 2 1?3 1 6 2 1?2? ?1? P(X=0)=? = ; P ( X = 1) = C 3 ?3? 27 ?3? ?3? =27=9; 2?2?1?1 12 4 2?3 8 ? ? P(X=2)=C2 = = ; P ( X = 3) = 3 3 ? ? ?3? 27 9 ?3? =27. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27

1 6 12 8 所以 X 的数学期望为 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 27 27 27 27 1. (2016· 陕西省质量监测)某中学为丰富教职工生活, 国庆节举办教职工趣味投篮比赛, 有 A,B 两个定点投篮位置,在 A 点投中一球得 2 分,在 B 点投中一球得 3 分.规则是:每 1 1 人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次, 教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是 和 , 2 3 且在 A,B 两点投中与否相互独立. (1)若教师甲投篮三次,求教师甲投篮得分 X 的分布列和数学期望; (2)若教师乙与教师甲在 A, B 投中的概率相同, 两人按规则各投三次, 求甲胜乙的概率. 解:(1)根据题意知 X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7, 1 2 1 1 1- ? ×?1- ?= , P(X=0)=? ? 2? ? 3? 6 1 ? 1? ? 1? 1 P(X=2)=C1 2× × 1-3 × 1-2 = , ? ? ? 3 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? P(X=3)=? ?1-2?×3×?1-2?=12, 1 1 1 1 1- ?× = , P(X=4)= ×? 2 ? 3? 2 6 1 ? 1? 1 1 P(X=5)=C1 2× × 1-2 × = , ? 3 6 2 ? 1 1 1 1 P(X=7)= × × = , 2 3 2 12 所以教师甲投篮得分 X 的分布列为: 0 2 3 4 5 7 1 1 1 1 1 1 P 6 3 12 6 6 12 所以教师甲投篮得分 X 的数学期望为 1 1 1 1 1 1 E(X)=0× +2× +3× +4× +5× +7× =3. 6 3 12 6 6 12 (2)教师甲胜教师乙包括:甲得 2 分,3 分,4 分,5 分,7 分五种情形.这五种情形之 间彼此互斥,因此,所求事件的概率为 1 1? 1 ?1 1 1 ? 1 ?1 1 1 1? 1 ? 1 1 1 1 19 + + × + + + × + + + + × 1- ? = . P= × + ×? 3 6 12 ?6 3? 6 ?6 3 12? 6 ?6 3 12 6? 12 ? 12? 48 2.(2016· 武汉调研)某次飞镖比赛中,规定每人至多发射三镖.在 M 处每射中一镖得 3 分,在 N 处每射中一镖得 2 分,如果前两次得分之和超过 3 分即停止发射,否则发射第三 镖. 某选手在 M 处的命中率 q1=0.25, 在 N 处的命中率为 q2.该选手选择先在 M 处发射一镖, 以后都在 N 处发射,用 X 表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为 X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求随机变量 X 的分布列; (2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过 3 分的概率与选择都在 N 处发射飞镖 得分超过 3 分的概率的大小. 解:(1)设该选手在 M 处射中为事件 A,在 N 处射中为事件 B,则事件 A,B 相互独立, - - 且 P(A)=0.25,P( A )=0.75,P(B)=q2,P( B )=1-q2. 根据分布列知:当 X=0 时, - - - - - - P( A B B )=P( A )P( B )P( B )=0.75(1-q2)2=0.03, 所以 1-q2=0.2,q2=0.8. - - - - - - - - 当 X=2 时,P1=P( A B B + A B B)=P( A )P(B)P( B )+P( A )P( B )P(B)=0.75q2(1- X

q2)×2=0.24, 当 X=3 时, -- - - P2=P(A B B )=P(A)P( B )P( B ) =0.25(1-q2)2=0.01, 当 X=4 时, - - P3=P( A BB)=P( A )P(B)P(B)=0.75q2 2=0.48, - - 当 X=5 时,P4=P(A B B+AB)=P(A B B)+P(AB) - =P(A)P( B )P(B)+P(A)P(B) =0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24. 所以随机变量 X 的分布列为: X 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 该选手选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率为 - - - - P( B BB+B B B+BB)=P( B BB)+P(B B B)+P(BB) 2 =2(1-q2)q2 +q2 2=0.896. 所以该选手选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率大.


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