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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.2.1对数与对数运算(二

时间:2011-07-12


2.2.1 对数与对数运算(二)
(一)教学目标 1.知识与技能:理解对数的运算性质. 2. 过程与方法: 通过对数的运算性质的探索及推导过程, 培养学生的 “合情推理能力” 、 “等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识. 3.情感、态态与价值观 通过“合情推理”“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互 、 联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的 科学精神.

(二)教学重点、难点 1.教学重点:对数运算性质及其推导过程. 2.教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明. (三)教学方法 针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引导发现等方法. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 复习:对数的定义及对数恒等式 学生口答,教师板书. 对数的概念 和对数恒等 式是学习本 节课的基础,

log a N = b ? a b = N
引入

( a >0,且

a ≠1,N>0) ,
指数的运算性质.

a m ? a n = a m+ n ;

a m ÷ a n = a m?n
m

学习新知前 的简单复习,

(a m )n = a mn ;

an = a

n m

不仅能唤起 学生的记忆, 而且为学习

新课做好了 知识上的准 备. 提出 探究:在上课中,我们知道,对数式可 看作指数运算的逆运算, 你能从指数与对数 问题 的关系以及指数运算性质, 得出相应的对数 运算性质吗?如我们知道 a ? a = a
m n m+n

学生探究, 教师启发引导.



那 m + n 如何表示,能用对数式运算吗? 如:

a m ? a n = a m + n , 设M = a m , N = a n .
于是 MN = a m + n , 由对数的定义得到

M = a m ? m = log a M , N = a n ? n = log a N MN = a m + n ? m + n = log a MN ∴ log a M + log a N = log a MN (放出投 )

即:同底对数相加,底数不变,真数相 乘 提问: 你能根据指数的性质按照以上的 方法推出对数的其它性质吗?

概念

(让学生探究,讨论) 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那 让学生多角度思考,探究,教 师点拨. (1) log a MN = log a M + log a N 让学生讨论、研究,教师引

让学生明确 由 “归纳一猜 想” 得到的结 论不一定正 确, 但是发现 数学结论的

形成

么:

M (2) log a = log a M ? log a N N

导.

(3) log a M = n log a M
n

(n ∈ R)

有效方法, 让 学生体会“归 纳一猜想一 证明”是数学

证明: (1)令 M = a m , N = a n

M 则: = a m ÷ a n = a m?n N ∴ m ? n = log a
又由 M = a ,
m

中发现结论, 证明结论的 完整思维方 法, 让学生体 会回到最原 始(定义)的

M N

N = an

∴ m = log a M , n = log a N
即 :

地方是解决 数学问题的 有效策略. 通

log a M ? log a N = m ? n = log a
(3)

M N

过这一环节
N n

n ≠ 0时, 令N = log a M n , 则M = a b = n log a M , 则M = a ∴a = a
∴N = b
即 log a
N n b n b n

的教学, 训练 学生思维的 广阔性、 发散 性, 进一步加 深学生对字 母的认识和 利用, 体会从 “变”中发现 规律. 通过本 环节的教学, 进一步体会 上一环节的 设计意图.

M = log a M ? log a N N

当 n =0 时,显然成立.

∴ log a M n = n log a M

概念

合作探究: 1. 利用对数运算性质时,各字母的取

(师组织, 生交流探讨得出 如下结论)

深化

值范围有什么限制条件?

底数 a>0, a≠1, 且 真数 M >0,N>0;只有所得结果中对 数和所给出的数的对数都存在 时,等式才能成立.

(生交流讨论) 2. 性质能否进行推广? 性质(1)可以推广到 n 个 正数的情形,即 loga(M1M2M3…Mn) =logaM1+logaM2 +logaM3+… +logaMn (其中 a>0,且 a≠1,M1、M2、M3…Mn>0).

应用 举例

例 1 用 log a x , log a y , log a z 表示 下列各式 (1) log a

学生思考, 口答, 教师板演、 通 过 例 题 的 解 点评. 答, 巩固所学的 对数运算法则, 提高运算能力.

xy z x2 y
3

例 1 分析:利用对数运算 性质直接化简. (1) log a

(2) log a

8

xy z

= log a xy ? log a z = log a x + log a y ? log a z
(2) log a

x2 y
3

z

= log a x 2 y ? log a 3 z = log a x 2 + log a ? log a 3 z y

= 2 log a x +

1 log a y 2

1 ? log a z 3
小结:此题关键是要记住 对数运算性质的形式, 要求学生 不要记住公式.

例 2 求下列各式的值. (1) log 2 (4 × 2 )
7 5

例 2 解(1) log 2 (4 × 2 )
7 5

= log 2 47 + log 2 25
= 14 + 5 = 19
(2) lg 5 100

(2) lg 5 100

= lg10 =

2 5

2 5

例 3 计算: (1)lg14-2lg (2 )
lg 243 ; lg 9 lg 27 + lg 8 ? 3 lg 10 . lg 1.2
7 +lg7-lg18; 3

例 3(1)解法一:
lg14-2lg 7 +lg7-lg18 3

=lg(2×7)-2(lg7-lg3) +lg7-lg(32×2) =lg2+lg7 - 2lg7+2lg3+lg7

(3 )

-2lg3-lg2=0. 解法二: lg14 - 2lg - lg18=lg14 - lg (
lg18=lg 7 +lg7 3

7 2 ) +lg7 - 3

14 × 7 =lg1=0. 7 ( ) 2 × 18 3

(2)解:
lg 243 lg 3 5 51g 3 5 = = = . lg 9 lg 3 2 2 lg 3 2

(3)解:

lg 27 + lg 8 ? 3 lg 10 lg 1.2
1 3 2 lg(3 )

=

+ lg 2 ?
3

1 31g10 2

lg

3 × 22 10

3 (lg 3 + 21g 2 ? 1) 3 =2 = . lg 3 + 21g 2 ? 1 2

小结: 以上各题的解答, 体 现对数运算法则的综合运用, 应 注意掌握变形技巧, 每题的各部 分变形要化到最简形式, 同时注 意分子、 分母的联系, 要避免错 用对数运算性质.

课本 P79 练习第 1,2,3. 课本 P79 练习第 1,2,3. 答 案 : 1. ( 1 ) lg ( xyz )
=lgx+lgy+lgz;

(2)lg

xy 2 =lg(xy2)-lgz z

=lgx+lgy2-lgz =lgx+2lgy-lgz;

(3)lg

xy 3 z

=lg(xy3)-lg z

1 lgz 2 1 =lgx+3lgy- lgz; 2
=lgx+lgy3-

(4)lg

x y z
2

=lg x -lg(y2z)

=

1 lgx-lgy2-lgz 2 1 = lgx-2lgy-lgz. 2
2.(1)7; 2)4; 3)-5; ( (

(4)0.56.
3.(1)log26-log23 =log2 6 =log22=1; 3 5 (2)lg5-lg2=lg ; 2

(3)log53+log5
=log53×

1 3

1 =log51=0; 3

(4)log35-log315
=log3 =-1.

1 5 - =log3 =log33 1 15 3

补充练习答案:4

补充练习:若 a>0,a≠1,且 x>y>0, N∈N,则下列八个等式: ①(logax)n=nlogx; ②(logax)n=loga(xn) ;

1 ) ; x log a x x ④ =loga( ) ; log a y y
③-logax=loga( ⑤ n log a x = ⑥
1 logax; x

1 logax=loga n x ; n
log a x

⑦a n

= x n;

⑧loga

x? y x+ y = - loga . 其中成立的 x+ y x? y

有________个.

归纳 总结

1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用,应掌握变 形技巧: (1)各部分变形要化到最简形式,同 时注意分子、分母的联系; (2)要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较:
式子 ab=N a——幂的底数 名称 b——幂的指数 N——幂值 am·an=am+n 运算性 质 am÷an=am
-n

通过师生 的合作总结, 使学生对本节 学生先自回顾反思, 教师点 课所学知识的 评完善. 结构有一个明 晰的认识,形 成知识体系.

(am)n=amn (a>0,且 a≠1,m、n∈R)

式子

logaN=b a——对数的底数

名称

b——以 a 为底的 N 的对数 N——真数 loga(MN)=logaM+logaN

运算性 质

loga

M =log M-log N a a N

logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,且 a≠1,M>0,N>0)

课后 作业

作业:2.1 第四课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 计算下列各式的值:

(1) lg

1 2

32 4 ? lg 8 + lg 245 ; 49 3 2 3

(2) lg 5 2 + lg 8 + lg 5 ? lg 20 + (lg 2) 2 . 【解析】 (1)方法一: 原式= (lg 2 5 ? lg 7 2 ) ? lg 2 2 + lg(7 2 × 5) 2 = lg 2 ? lg 7 ? 2 lg 2 + lg 7 + lg 5 = lg 2 + lg 5 = (lg 2 + lg 5) = 方法二:原式= lg = lg
1 2 1 . 2 1 2 1 2 5 2 1 2
1 2 4 3
3 1

4 2 ? lg 4 + lg 7 5 7 4 2 ×7 5 7× 4 1 . 2

= lg( 2 × 5 ) =

(2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3. 【小结】易犯 lg52 = (lg5)2 的错误. 这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则 将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值; 另一种方法是将式中的对数的和、 积、 差、 商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、 商、幂、方根,然后化简求值. 计算对数的值时常用到 lg2 + lg5 = lg10 = 1. 例 2: (1)已知 lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求 lg 45 ; (2)设 logax = m,logay = n,用 m、n 表示 log a [ 4 a ? 3 (3)已知 lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc,求 x. 【分析】由已知式与未知式底数相同,实现由已知到未知,只须将未知的真数用已知的 真数的乘、除、幂表示,借助对数运算法则即可解答.
x
4

];

y

【解析】 (1) lg 45 =

1 1 90 lg 45 = lg 2 2 2

1 = [lg 9 + lg10 ? lg 2] 2 1 = [2 lg 3 + 1 ? lg 2] 2
= lg 3 + 1 1 ? lg 2 = 0.4771+0.5 – 0.1505 2 2

= 0.8266 (2) log a [ 4 a ? 3
1

x ] 4 y
1 1

= log a a 4 + log a x 3 ? log a y 12
= 1 1 1 1 1 1 + log a x ? log a y = + n ? m. 4 3 12 4 3 12

(3)由已知得:
lg x = lg a 2 + lg b 3 ? lg c 5 = lg a 2b3 c5



∴x=

a 2b3 c5

.

【小结】①比较已知和未知式的真数,并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、 乘方表示是解题的关键,并且应注意对数运算法则也是可逆的;②第(3)小题利用下列结 论:同底的对数相等,则真数相等. 即 logaN = logaM ? N = M.


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