nbhkdz.com冰点文库

2015-2016学年高中数学 第1章 4简单计数问题课时作业 北师大版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 第 1 章 4 简单计数问题课时作业 北师大版 选修 2-3

一、选择题 1.4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任 选一道作答,选甲答对得 100 分,答错得-100 分;选乙答对得 90 分,答错得-90 分.若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是( A.48

种 C.24 种 [答案] B [解析] 本题是考查排列组合及相关分类的问题. ①设 4 人中两人答甲题,两人答乙题,且各题有 1 人答错,则有 A4=24(种). ②设 4 人都答甲题或都答乙题,且两人答对,两人答错,则有 2C4C2=12(种). ∴4 位同学得总分为 0 分的不同情况有 24+12=36(种).故选 B. 2.将 5 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子 里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( A.15 种 C.25 种 [答案] C [解析] 就编号为 1 的盒子中所放的球的个数分类: 第一类, 当编号为 1 的盒子中放入 一个球时,相应的放法数有 C5种;第二类,当编号为 1 的盒中放入 2 个球时,相应的放法数 有 C5=10 种;第三类,当编号为 1 的盒子中放入 3 个球时,相应的放法数有 C5=10 种.根 据分类加法计数原理可知,满足题意的放法种数是 5+10+10=25. 3.(2014·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个 数字组成,其中 4 个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有( A.(C ) A 个 C.(C ) 10 个 [答案] A [解析] ∵前两位英文字母可以重复,∴有(C26) 种排法,又∵后四位数字互不相同, ∴有 A10种排法,由分步乘法计数原理知,共有不同牌照号码(C26) A10个. 4.甲、乙、丙、丁四名同学在一次联欢会上合唱一首歌曲,他们商议:前四句歌词每
4 1 2 4 1 2 1 2 26 4 1 2 4 26 10 2 3 1 2 2 4

)

B.36 种 D.18 种

)

B.20 种 D.32 种

)

B.A A 个 D.A2610 个
2 4

2 4 26 10

1

人唱一句,其中甲和乙唱相邻的两句且甲不能唱第一句,第五句歌词由两人合唱,第六句歌 词由另外两人合唱, 歌曲的余下部分由四人合唱, 则四人唱完这首歌曲的不同唱法的种数是 ( ) A.24 C.48 [答案] D [解析] 由题意,对甲的前 4 句唱哪句进行分类:①甲唱第 2 句:C2·A2;②甲唱第 3 句:C2·A2;③甲唱第 4 句:C1·A2;共有 C2·A2+C2·A2+C2·A2=10 种唱法.然后第 5 句 有 C4种唱法,第 6 句有 C2种唱法,故共有 10×C4×C2=60 种唱法. 5.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位.现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是( . A.234 C.350 [答案] B [解析] ∵前排中间 3 个座位不能坐, ∴实际可坐的位置前排 8 个,后排 12 个. (1)两人一个前排,一个后排,排法数为 C8C12A2; (2)两人均在后排,共 A12种,需排除两个相邻的情况:A11A2,即 A12-A11A2; (3)两人均在前排,又分两类:①两人一左一右,为 C4C4A2,②两人同左或同右时,有 2(A4-A3A2)种. 综上,不同排法的种数为 C8C12A2+(A12-A11A2)+C4C4A2+2(A4-A3A2)=346. 二、填空题 6.将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴世博会的三个不同场 馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答) [答案] 90 种 [解析] C5C3C1 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题,先分组 2 ,再把三组分配乘 A2
2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

B.36 D.60

)

B.346 D.363

C5C3C1 3 3 以 A3得: 2 ·A3=90 种. A2 7.将数字 1、2、3、4、5、6 排成一列,记第 i 个数为 ai(i=1,2,?,6).若 a1≠1,

2 2 1

a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有________种.(用数字作答)
[答案] 30 [解析] 本题主要考查用排列知识解决问题的能力.第一类:a1=2 时,a3=4,a5=6
3

或 a3=5,a5=6,共有 2A3=12(种). 第二类:a1=3 时,a3=4,a5=6 或 a3=5,a5=6,共有 2A3=12(种).
2
3

第三类:a1=4 时,a3=5,a5=6,共有 A3=6(种). 所以总的排列方法有 12+12+6=30(种). 8.如果把 2 条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线 共有________对(用数字作答). [解析] 方法一:第一步:从 6 条侧棱中任取一条,有 C6种方法. 第二步:从与该侧棱不相交的 4 条底边中任取一条,有 C4种方法. 根据乘法原理,异面直线有 C6C4=24 种. 方法二:从 12 条直线中任取 2 条组成 C12对直线,求其中异面直线的对数,只需从中减 去 2 条直线共面的情况. 2 条直线共面的情况有三类: 第一类:任取 2 条侧棱所在的直线,显然是共面的,有 C6种取法. 第二类:任取 1 条侧棱所在的直线,再取与它有交点的底边所在直线,有 6×2 种取法. 第三类:任取 2 条底边所在的直线,显然是共面的,有 C6种取法. 所以异面直线共有 C12-C6-6×2-C6=24 对. 三、解答题 9.男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男、女队长各 1 人,选派 5 人外出比赛,在下 列情形中各有多少种选派方法? (1)男 3 名,女 2 名; (2)队长至少有 1 人参加; (3)至少有 1 名女运动员; (4)既要有队长,又要有女运动员. [分析] 此题中选的 5 人与顺序无关,是组合问题. [解析] (1)C6×C4=120 种不同的选派方法. (2)分为两类:仅 1 名队长参加和两人都参加: 共 C2×C8+C8=196 种不同的选派方法. (3)全部选法中排除无女运动员的情况: 共 C10-C6=246 种不同的选法. (4)分三类:①仅女队长:C8; ②仅男队长:C8-C5; ③两名队长:C8; ∴共 C8+C8-C5+C8=191 种不同的选派方法. [反思总结] 本题涉及所取元素“至少”问题, 一般有两种考虑方法: 直接法: “至少” 中包含分类,间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况,“至多”也可这样考虑. 10.某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,他有 5 次
3
4 4 4 3 3 4 4 4 4 5 1 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

3

出牌机会,每次只能出一种点数的牌,但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? [解析] 出牌的方法可分为以下几类: (1)5 张牌全部开出,有 A5种方法; (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A5种方法; (3)2 张 2 一起出,3 张 A 分开出,有 A5种方法; (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C3A5种方法; (5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A5种方法; (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C3A5种方法. 因此共有不同的出牌方法 A5+A5+A5+C3A5+A5+C3A5=860 种. [反思总结] 全面细致地分类是解决本题的关键. 若按出牌次数分类, 方法数为 A5+(1 +C3)A5+(1+C3)A5+A5=860 种.
2 4 2 3 2 5 5 2 4 2 3 3 2 4 2 4 3 2 3 4 2 5

一、选择题 1.某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种,且省内路线有 4 条,省外路线有 5 条, 则参加该旅游团的游客的旅游方案有( A.4 种 C.9 种 [答案] C [解析] 游客的旅游方案分为两类:第一类:选省内路线,有 4 种方法.第二类:选省 外路线,有 5 种方法.由加法原理可知,游客的旅游方案有 4+5=9 种. 2.(2014·重庆理,9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声 类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 C.144 [答案] B [解析] 分两类:(1)先排歌舞类有 A3 =6 种排法,再将其余的三个节目插空,如图所 示▼▽▼▽▼▽,或者▽▼▽▼▽▼,此时有 2A3A3 =72;(2)先排歌舞类有 A3=6 种排法, 其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼,或者▼▽▼▽△▼,有 4A3C2 =48.所以共 有 72+48=120 种不同的排法.解决不相邻的排列问题,一般是运用插空法,解决本题容易 忽略了第二类,导致出差. 3.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( A.232 C.472 B.252 D.484
4
3 1 3 3 3 3

) B.5 种 D.20 种

)

B.120 D.168

)

[答案] C [解析] 本题考查了利用组合知识来解决实际问题. 16×15×14 3 3 2 1 C16-4C4-C4C12= -16-72=560-88=472. 6 另解:C4C12-3C4+C4C12=
0 3 3 1 2

12×11×10 12×11 -12+4× =220+264-12=472. 6 2

解题时要注意直接求解与反面求解相结合,做到不漏不重 4.如图 A,B,C,D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同 的建桥方案共有( )

A.8 种 C.16 种 [答案] C

B.12 种 D.20 种

[解析] 如图,构造三棱锥 A-BCD;四个顶点表示四个小岛,六条棱表示连接任意两 岛的桥梁.由题意,只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法.这可由间接法完 成:从六条棱中任取三条棱的不同取法有 C6种,任取三条共面棱的不同取法有 4 种,所以从 六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有 C6-4=16 种.故不同的建桥方案共有 16 种.
3 3

[反思总结] 化思想. 二、填空题

此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转

5.有 4 张分别标有数字 1、2、3、4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1、2、3、4 的蓝 色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10,则不同的排法共有________种(用数字作答). [答案] 432 [解析] 因为 10=1+2+3+4=2+2+3+3=1+1+4+4, 即数字之和为 10 的情况有 4,4,1,1;4,3,2,1;3,3,2,2,共三种. 若为 1,2,3,4,先选出标有数字的卡片,有 2×2×2×2 种可能,然后再排列它们,每 一种可能有 A4种排法,根据乘法原理,满足题意的排法有 2×2×2×2×A4=384 种; 若为 2,2,3,3,先选出标有数字的卡片,方法是唯一的,再排列它们有 A4种排法;
5
4 4 4

若为 1,4,1,4 也有 A4种排法. 所以共有 384+A4+A4=432 种不同的排法. 6.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,若同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列共 有________种不同的方法(用数字作答). [答案] 1260 [解析] 方法一:只需找到不同颜色的球所在的位置即可,共有 C9C7C4=1260 种方法. 方法二:同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题),先全排列,再消去各自的 顺序即可,则将这 9 个球排成一列共有 三、解答题 7.有四个不同的数字 1、4、5、x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字 之和为 288,求 x 的值. [解析] 因为 1、4、5、x 四个数字不同,排成的四位数中 1 在千位上、百位上、十位 上、个位上分别有 A3个,所有的 1 的和共为 4×A3=24. 同理,排成的四位数中 4 在千位上、百位上、十位上、个位上分别有 A3个,所以,所有 的 4 的和共为 4×4×A3=96. 所有的 5 的和共为 5×4×A3=120. 所有的 x 的和为 x×4×A3=24x. 即 24x+120+96+24=288,解得:x=2. 8.“抗震救灾,众志成城”在舟曲的救灾中,某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴 灾区救灾,其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家.问: (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? [解析] (1)分步:首先从 4 名外科专家中任选 2 名,有 C4种选法,再从除外科专家的 6 人中选取 4 人,有 C6种选法, 所以共有 C4·C6=90 种抽调方法. (2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法, 方法一(直接法):按选取的外科专家的人数分类: ①选 2 名外科专家, 共有 C4·C6种选法; ②选 3 名外科专家,共有 C4·C6种选法; ③选 4 名外科专家,共有 C4·C6种选法; 根据分类加法计数原理,共有
4 2 3 3 2 4 2 4 4 2 3 3 3 3 3 3 2 3 4 4 4

4

A =1260 种不同的方法. AAA

9 9 2 3 4 2 3 4

6

C4·C6+C4·C6+C4·C6=185 种抽调方法. 方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有 C10种选法,考虑选取 1 名外科专家参 加,有 C4·C6种选法;没有外科专家参加,有 C6种选法,所以共有: C10-C4·C6-C6=185 种抽调方法. (3)“至多 2 名”包括“没有”、“有 1 名”、“有 2 名”三种情况,分类解答. ①没有外科专家参加,有 C6种选法; ②有 1 名外科专家参加,有 C4·C6种选法; ③有 2 名外科专家参加,有 C4·C6种选法. 所以共有 C6+C4·C6+C4·C6=115 种抽调方法.
6 1 5 2 4 2 4 1 5 6 6 1 5 6 1 5 6 6

2

4

3

3

4

2

7


2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第1章 4 简单计数问题

2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第1章 4 简单计数问题_学科竞赛_高中教育_教育专区。第一章 §4 一、选择题 1.4 位同学参加某种形式的竞赛,...

2015-2016学年高中数学 第1章 1计数原理课时作业 北师大版选修2-3

2015-2016学年高中数学 第1章 1计数原理课时作业 北师大版选修2-3_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第 1 章 1 计数...

2015-2016学年高中数学 第1章 3组合课时作业 北师大版选修2-3

2015-2016 学年高中数学 第 1 章 3 组合课时作业 北师大版选修 2-3 一、选择题 1.(2015·广东理,4)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 ...

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第1章 4 简单计数问题]

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第1章 4 简单计数问题]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选...

【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-3同步练习:第1章 简单计数问题]

【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-3同步练习:第1章 简单计数问题]_高中教育_教育专区。【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-3同步练...

【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-3同步练习:第1章 简单计数问题]

【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-3同步练习:第1章 简单计数问题]_高中教育_教育专区。【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-3同步练...

2015-2016学年高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修2-2

2015-2016学年高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修2-2_高一数学_...①②③ [答案] C 4.“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是( A.若 x∈...

1[1].4简单的计数问题 教案(北师大版选修2-3)

1[1].4简单计数问题 教案(北师大版选修2-3)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1.4 简单的计数问题一、教学目标 (1) 掌握排列组合一些常见的题型及解题方法...

2015-2016学年高中数学 第3章 1回归分析课时作业 北师大版选修2-3

2015-2016学年高中数学 3章 1回归分析课时作业 北师大版选修2-3_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第 3 章 1 回归...