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二面角求法总结925


二面角求法总结 一、定义法:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面 角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例 1:(全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD

? 2 ,
DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°

(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。
G F

练习 1:(山东)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ) 若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为
6 , 求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2

1

二、三垂线法
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常 当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例 2. (山东卷理) 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。

(1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。

练习 2(天津)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

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三.补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之 有明确的交线(称为补棱) ,然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱 法解决

例 3(湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中 点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. P (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小.
G P F H A D A E C B D B E C

练习 3:已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a, 侧棱与底面成 600 的角, 侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。
A1 C1 B1

A C B

L



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四、射影面积法( cos q =

s射影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 (cos ? ?

S射 S斜

)求出二面角的大小。

例 4:(北京理)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小;
P

A C

B

练习 4: 如图,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角 的余弦值.
D A D1 A1 B1 B E C1 C

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五、向量法 1.法向量
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解, 用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表 示的向量,进行向量计算解题。

例 5: (天津卷理)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中 1 点,AF=AB=BC=FE= AD 2 (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。

练习 5: (湖北)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ? 侧面 A1 ABB1 . (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ? ,二面角 A1 ? BC ? A 的大小为 ? ,试判断 ? 与 ? 的大小关 系,并予以证明.

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2.向量积法 具体步骤: (1) 建立空间直角坐标系; (2) 取与二面角的棱共线的向量 a ,在平面 ?、? 内分别取不与 a 共线的向量 b1、b2 (注意方向) ; (3) 将 a 放在前面作向量积分别求出平面 ?、? 的法向量,即 m ? a ? b1 , n ? a ? b2 ; (4) 利用向量夹角公式 cos m, n ? 是所求二面角的余弦值. 例 6: (全国卷Ⅰ理) 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

m?n ,求出 cos m, n 的值,此时无需再进行判断, cos m, n 就 m?n

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练习 6: (广东卷理)如图, ? ABC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为 ? AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点.平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? DF ? 5a ,FE= 6 a . (1)证明:EB⊥FD; (2) 已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点, 使得 BQ ? 所成二面角的正弦值.
2 2 FE , FR ? FB ,求平面 BED 与平面 RQD 3 3

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