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宁夏回族自治区银川一中2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题


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银川一中 2015 届高三第三次模拟考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ 卷第 22~24 题为选考题,其它题为 必考题。考生作答时,将答案答在答题

卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并 交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证 号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2 B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? x ? R | x 2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x ? R || x ? 1 |? 2?. 则 M ? N = A.(-3,-2] B.[-2,-1) C.[-1,2) D.[2,3)

?

?

2.设 i 是虚数单位,复数 A. 2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为 2?i 1 B. ? 2 C. ? 2

D.

1 2 1 ”的 2

3.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ OAB 的面积为 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.已知 tan(? ? ? ) ? ?2 ,则 A.-3 B. B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
1 ? cos 2? ? cos2 ?

2 5
B. 12 种 D. 21 种

C.3

D.

?

5 2

5.如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有 A.11 种 C.20 种

?x ? y ? 2 ? OM 的 6.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1), 若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点,则 OA · ?y ? 2 ?

取值范围是 A.[0,1] B. [0,2] C.[-1,0]
-1-

D.[-1,2]

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7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 A.2 B.1 C.

1 2

D. ? 1

8.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) ,

r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2
表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 A. r2 ? r 1 ?0 C. 0 ? r2 ? r 1 B. r2 ? 0 ? r 1 D. r2 ? r 1

9.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c .
2 2 若 sin B ? 2sin C , a ? b ?

3 bc ,则角 A 等于 2

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的表面积为(单位:m2)

11? 4 2)? A.(

12 ? 4 2)? B.(

13 ? 4 2)? C.(
11.已知双曲线

14 ? 4 2)? D.(

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (2, 0) ,设 A , B 为双曲线上关于原点对称的两点, a 2 b2

AF 的中点为 M , BF 的中点为 N ,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上,直线 AB 的斜率为
则双曲线的离心率为 A. 4 B. 2 C.

3 7 , 7

5

D.

3

1 1 f (? ) ? . 12.已知函数 f ( x) ? sin2 ?x ? 3 sin?x ? cos?x,? ? R, 又 f (? ) ? ? ,   2 2

若 ? ? ? 的最小值为 A.

3? ,则正数 ? 的值为 4

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

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第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a =( 3 ,1) , b =(0 ,-1) , c =(k, 3 ).若 a ? 2b 与 c 共线,则 k=______________. 14.若曲线 y ? x? ?( 在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 ? =________. 1 ? ? R)
2 15.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x ,则不等式

f ( x) ? x 的解集用区间表示为________________.
16.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=3,PB=2,PC=1. 设 M 是 底面 ABC 内的一点,定义 f(M)=(m,n,p),其中 m、n、 p 分别是三棱锥 M—PAB、三棱锥 M—PBC、三棱锥 M—PCA 的 体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 的最小值为________. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3, 公差d ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,且 a1 , a4 , a13 分别是等比数列 ?bn ? 的第 2 项,第 3 项,第 4 项. (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)证明

1 2

1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a x y

1 1 1 1 3 ? ? ? ??? ? ? . 3 S1 S2 Sn 4

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, 且∠ BAD=120° ,且 PA⊥ 平面 ABCD,PA=2 别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥ 平面 ABCD; (2) 过点 A 作 AQ⊥ PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值. 6,M,N 分

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙 三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合 格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时 成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;
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(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 E ( X ) . 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ?( 1 a ? b ? 0) 的一个焦点 与抛物线 y ? 4 3x 的焦点 F 重合,且椭圆短轴的两个 2 a b

端点与点 F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程; → → (2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P,Q,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0),使PE· QE恒 为定值?若存在,求出 E 的坐标,并求出这个定值;若 不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
2

( a 为实常数) .

(1)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 ?1, e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

1 1 ,求实数 a 的取值范围 . ? x1 x2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. D =∠ E; (1)证明:∠ (2)设 AD 不是圆 O 的直径,AD 的中点为 M, 且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴。已知曲线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? sin ? ? a(a ? 0) , 射 线

? ? ? ,? ? ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

,? ?

?
2

? ? 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A,B,C,D.

(1)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (2)求|OA|· |OC|+|OB|· |OD|的值.
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24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (I)若不等 式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

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银川一中 2015 届高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 题号 C A A D D B 答案 二、填空题: 13. k=1; 14. ? ? 2 ;15.x?(-5,0)?(5,+ ? );16. 1. 7 C 8 B 9 C 10 B 11 B 12 B

17.

18. 【解析】(1)如图,连接 BD.∵ M,N 分别为 PB,PD 的中点,∴ 在△ PBD 中,MN∥ BD. 又 MN?平面 ABCD,∴ MN∥ 平面 ABCD. 3 3 (2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2 6),M?- , , 6?,N( 3,0, 6),C( 3,3,0). ? 2 2 ? 设 Q(x,y,z),则 C=(x- 3,y-3,z), C=(- 3,-3,2 6). ∵ C=λC=(- 3λ,-3λ,2 6λ), ∴ Q( 3- 3λ,3-3λ,2 6λ). 1 2 3 2 6? 由 A⊥ C?A· C=0,得 λ= .即:Q? . 3 ? 3 ,2 , 3 ?
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对于平面 AMN:设其法向量为 n=(a,b,c). 3 3 ∵ A=?- , , 6?,A=( 3,0, 6). ? 2 2 ? a= , ? ? 19 ??b=3, ? ?c=- 186. 3
M P

z

3 3 ? ?- a+ b+ 6c=0, 2 2 则?? ? ? 3a+ 6c=0 ∴ n=? 3 1 6? . ? 9 ,3,- 18 ?

N

同理对于平面 QMN, 3 5 6? 得其法向量为 v=? ,1, . 6 ? ?3 记所求二面角 A-MN-Q 的平面角大小为 θ, n· v 33 则 cosθ= = . |n|· |v| 33 ∴ 所求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为

Q A

D y

33 . 33 B x 19.解:(1)分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为 事件 A1 , A2 , A3 ,E 表示事件“甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试” 则: P( E) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) =0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.4+0.4*0.5*0.4+0.6*0.5*0.4 =0.5 (2) “甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后能被该校预录取”分别记为事件 A,B,C. 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 又题意,知 X 所有可能的取值为 0,1,2,3.根据事件的独立性和互斥性得

C

P( X ? 0) ? P( ABC) ? P( A)P(B)P(C) ? 0.73 ? 0.343 1 P( X ? 1) ? C3 0.3 ? 0.7 2 ? 0.441
2 P( X ? 2) ? C3 0.32 ? 0.7 ? 0.189

P( X ? 3) ? 0.33 ? 0.027
所求分布列为: X P 0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027

20. 解 (1)由题意,知抛物线的焦点为 F( 3,0), 所以 c= a2-b2= 3. 因为椭圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形, 3 所以 b= 3× =1. 3 x2 可求得 a=2,故椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)假设存在满足条件的点 E,当直线 l 的斜率存在时, 设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1). x2 ? ? 4 +y2=1, 由? 得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,

?y=k(x-1), ?

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

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4k2-4 8k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1 则=(m-x1,-y1),=(m- x2,-y2), 所以· =(m-x1)(m-x2)+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1) 2 4k2-4 8k2m 4k -4 8k2 =m2- 2 + 2 +k2( 2 - 2 +1) 4k +1 4k +1 4k +1 4k +1 2 2 2 (4m -8m+1)k +(m -4) = 4k2+1 1 1 (4m2-8m+1)(k2+ )+(m2-4)- (4m2-8m+1) 4 4 = 4k2+1 17 2m- 4 1 = (4m2-8m+1)+ 2 . 4 4k +1 17 17 33 要使· 为定值,令 2m- =0,即 m= ,此时· = . 4 8 64 3 3 当直线 l 的斜率不存在时,不妨取 P(1, ),Q(1,- ), 2 2 17 9 3 9 3 81 3 33 由 E( ,0),可得=( ,- ),=( , ),所以· = - = . 8 8 2 8 2 64 4 64 17 33 综上,存在点 E( ,0),使· 为定值 . 8 64

2x 2 ? 4 ( x ? 0) , 当 x ? [1, 2 ) 时 , f ?( x) ? 0 . 当 x ? 2 , e 时 , f ?( x) ? 0 , 又 21. 解 :(1) f ?( x) ? x f (e) ? f (1) ? ?4 ? e 2 ? 1 ? 0 ,故 f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 4 ,当 x ? e 时,取等号 (2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时, 1 2 x ln x ? x 2 x2 x2 x ? x(2 ln x ? 1) 方程 ? a ? 根的个数. 设 g ?x ? = , g ?( x) ? 2 ln x ln x ln x ln 2 x 当 x ? 1, e 时 , g ?( x) ? 0 , 函 数 g ( x) 递 减 , 当 x ? ( e , e? 时 , g ?( x) ? 0 , 函 数 g ( x) 递 增 . 又

?

?

?

?

g (e) ? e , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g ( x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知: 2 2 当 2e ? ?a ? e 时,即 ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根; 2 当 a ? ?e 或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根; 当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根; 1 (3) 当 a ? 0 时 , f ( x ) 在 x ? [1, e] 时 是 增 函 数 , 又 函 数 y ? 是 减 函 数 , 不 妨 设 1 ? x1 ? x2 ? e , 则 x 1 1 1 1 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 1 1 1 即 f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h? x ? ? f ( x) ? 在 x ? [1, e] 时是减函数, x x2 x1 a 1 1 ? h?( x) ? ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ? [1, e] 时恒成立. x x x 1 1 ? y ? ? 2 x 2 在 x ? [1, e] 时是减函数 ? a ? ? 2e 2 x e
2

22.证明: (1)∵ 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, ∴ ∠ D=∠ CBE,
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∵ CB=CE,∴ ∠ E=∠ CBE,∴ ∠ D=∠ E; (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN, 则由 MB=MC 知 MN⊥ BC,∴ O 在直线 MN 上, ∵ AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M,∴ OM⊥ AD, ∴ AD∥ BC,∴ ∠ A=∠ CBE, ∵ ∠ CBE=∠ E,∴ ∠ A=∠ E,由(Ⅰ )知,∠ D=∠ E, ∴ △ ADE 为等边三角形 23.解: (1) C1 :

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,------------2 分

C 2 : y ? a ,-----------------------------------4 分
因为曲线 C1 关于曲线 C 2 对称, a

| OA |? 2 2 sin(? ?
(2)

?

? 1 , C 2 : y ? 1 ------5 分

) 4 ;

| OB |? 2 2 sin(? ?

?
2

) ? 2 2 cos ?

| OC |? 2 2 sin ? ,
| OD |? 2 2 sin(? ? 3? ? ) ? 2 2 cos( ? ? ) -----------------------8 分 4 4

| OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD |? 4 2 -----------------------10 分 24.解: (Ⅰ )由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , ∴a ? 3 ? ?2 ,∴a ? 1 。 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,
1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ? ∴? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。

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