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3. 函数的图像与性质


第讲函数的图像与性质
【课前小测】
1.(2015· 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x
-m|

-1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53), )

b=(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b B.a<c<b D.c<b<a<

br />
2.(2014· 福建)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则所给函数图象正确的是 ( )

? ?1+log2?2-x?,x<1, 3.(2015· 课标全国Ⅱ)设函数 f(x)=? x-1 则 f(-2)+f(log212)等于( ?2 ,x≥1, ?

)

A.3B.6C.9D.12 4.(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取 值范围是_________________________________________________________.

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【考点 1】函数的性质及应用
1.单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范 步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 2.奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于 y 轴对称,在关于坐 标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性; 奇函数的图象关于坐标原点对称, 在关于坐 标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. 3.周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0),则其一个周期 T=|a|. 例1 1 0, ?时,f(x) (1)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈? ? 2?

3? =-x2,则 f(3)+f? ?-2?的值等于________. (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a) +f(log 1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是________.
2

练1

(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对于任意 x∈R,恒有 f(x-1)=f(x+1)成

立,当 x∈[-1,0]时,f(x)=2x-1,则 f(2017)=________. 1 (2)已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调递增, 则满足 f(2x-1)<f( )的 x 的取值范围是( 3 1 2 A.( , ) 3 3 1 2 C.( , ) 2 3 1 2 B .[ , ) 3 3 1 2 D.[ , ) 2 3 )

【考点 2】函数图像及应用
1. 作函数图象有两种基本方法: 一是描点法, 二是图象变换法, 其中图象变换有平移变换、 伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点.

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例2

x (1)函数 y= -2sinx 的图象大致是( 2

)

(2)(2015· 北京)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 练2 ax+b (1)(2015· 安徽)函数 f(x)= 的图象如图所示,则下列结论成 ?x+c?2 ) B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

)

立的是(

A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0

(2)已知函数 y=f(x)是奇函数, 且函数 f(x+1)在[-1, +∞)上是增函数, 不等式 f(a2+2a)≤f(a +2),则实数 a 的取值范围是________.

【考点 3】基本初等函数的图像及性质
1.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1, a>1 两种情况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质. 1 2.幂函数 y=xα 的图象和性质,主要掌握 α=1,2,3, ,-1 五种情况. 2 例3 (1)(2015· 山东)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( B.a<c<b D.b<c<a )

A.a<b<c C.b<a<c

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log x,x>0, ? ? 2 (2)若函数 f(x)=?log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1 ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 练 3 ( ) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

)

(1)(2014· 浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能是

(2)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的函数, 其图象关于坐标原点对称, 且当 x∈(-∞, 0)时, 不等式 f(x)+xf′(x)<0 恒成立,若 a=20.2f(20.2),b=ln2f(ln2),c=-2f(-2),则 a,b,c 的 大小关系是( A.a>b>c C.c>a>b ) B.c>b>a D.a>c>b

【巩固练习】
1 x- ?,则函数 y=f(x+1)的大致图象为( 1.已知函数 f(x)=e|lnx|-? ? x? )

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2. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+4). 当-2≤x<0 时, f(x)=log2(-x); 当 0≤x<2 时, f(x)=2x 1,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2016)的值为(


)

A.630 C.2520

B.1260 D.3780

3.已知 f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x) =-g(x),则 h(x)( )

A.有最小值-1,最大值 1 B.有最大值 1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 x ? ?- 4 ,0<x≤4, 4.已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数,且当 x>0 时,h(x)=? 若 h(t)>h(2),则实 ?4-2x,x>4, ? 数 t 的取值范围为________.
2

【课后作业】
1.(2015· 广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y= 1+x2 1 C.y=2x+ x 2 1 B.y=x+ x D.y=x+ex )

f?x1?-f?x2? 2.(2015· 泸州诊断)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),都有 <0” x1-x2 的是( ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=x3 )

A.f(x)=lnx 1 C.f(x)= x+1

3.(2015· 山西大学附中月考)函数 y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是(

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1 ? ?x+x,x≥2, 4.函数 f(x)=? 的值域为( x ? ?2 ,x<1 A.(-∞,+∞) 5 C.(0,2)∪[ ,+∞) 2

)

B.(0,+∞) 5 D.(-∞,2)∪[ ,+∞) 2

5.(2014· 课标全国Ⅱ改编)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)等于 ( )

A.1B.-1C.3D.-3 1 6. 已知函数 f(x)满足: 当 x≥4 时, f(x)=( )x; 当 x<4 时, f(x)=f(x+1), 则 f(2+log23)等于( 2 1 1 1 3 A. B. C. D. 24 12 8 8 1 ? ?3ex?x≥2?, 7.已知函数 f(x)=? 则 f(ln3)=______. ?f?x+1??x<2?, ? 8. (2015· 福建)若函数 f(x)=2|x a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x), 且 f(x)在[m, +∞)上单调递增,


)

则实数 m 的最小值等于________.
??1-3a?x+10a, x≤7, ? 9.已知函数 f(x)=? x-7 是定义域上的递减函数,则实数 a 的取值范 ?a ,x>7 ?

围是________. 10.如果函数 f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(x)为增函数,对任意 x,y>0,都有 f(x· y)=f(x)+ f(y). (1)求 f(1)的值; x (2)求证:f( )=f(x)-f(y); y (3)已知 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围.

11.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(
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)

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 12.已知函数 f(x)=|log 1 x|,若 m<n,有 f(m)=f(n),则 m+3n 的取值范围是(
2

)

A.[2 3,+∞) C.[4,+∞)

B.(2 3,+∞) D.(4,+∞)

?-x+6,x≤2, ? 13.(2015· 福建)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 ? ?3+logax,x>2

a 的取值范围是________. 1+?-1?x 14.设函数 f(x)= (x∈Z),给出以下三个结论: 2 ①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的序号是________.

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