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高考数学线性规划题型总结1


高考数学线性规划题型总结 线性规划归类解析 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题(取值范围)

毛老师

?2 x ? y ? 2 ? 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 。 ? x ? y ?1 ? 解析:如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线

x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为 简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

?x ? 2 ? 2 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 3,5] ( 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将





y 2

B A

l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值
2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A 二、求可行域的面积

y =2 x x + y =2

O

2 x=2

?2 x ? y ? 6? 0 ? 3、 不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大





y

x+y – 3 = 0 B M A O


解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B 三、求可行域中整点个数 4 、满 足 | x | + | y | ≤ 2 的 点( x ,y )中 整 点( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 )有( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个

y =2

C x 2x + y – 6= 0 =5

?x ? ? ?x ? 解 : |x|+ |y|≤2 等 价 于 ? ?? x ?? x ?
为 13 个 , 选 D

y ?2 y ?2 ? y ?2 ? y ?2

(x?0,y? 0) (x?0,y ? 0)

y

( x? 0 , y ? 0 ) ( x? 0 , y ? 0)

作 出 可 行 域 如 右 图 ,是 正 方 形 内 部( 包 括 边 界 ) 容 易 得 到 整 点 个 数 , 四、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题

O

x

? x ? 1, ? 2 2 5、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

解析:如图 2,只要画出满足约束条件的可行域,而 x ? y 表示可行域内
2 2

1

图2

高考数学线性规划题型总结
2 2

毛老师

一点到原点的距离的平方。由图易知 A(1,2)是满足条件的最优解。 x ? y 的最小值是为 5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求 最优解。 五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。
? 6、在约束条件 ? y ? 0 ?x ? 0

? ?y ? x ? s ? y ? 2x ? 4 ?

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的

C

最大值的变化范围是() A. [6,1 5] B. [7 ,1 5]

C. [6, 8] 取 得 最

D. [7, 8] 大 值 , 即

解析:画出可行域如图 3 所示,当 3 ? s ? 4 时, 目标函数 z ? 3 x ? 2 y 在

B (4 ? s , 2 s ? 4)



z max ? 3(4 ? s ) ? 2(2 s ? 4) ? s ? 4 ? [7, 8) ; 当 4 ? s ? 5 时 , 目 标 函 数

z ? 3 x ? 2 y 在点 E (0, 4) 处取得最大值,即 z max ? 3 ? 0 ? 2 ? 4 ? 8 ,
故 z ? [7, 8] ,从而选 D; 点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数 Z 关于 S 的函数关系是求解 的关键。 7、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) 则 m 的 取 值 范 围 , 是 ( ) B、 0,6) ( C、 0,3) ( D、 -3,3) ( A、 -3,6) (

y

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?

?2 x ? y ? m ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? m ? 3 ? 0
,故 0< m< 3, 选 C

由右图可知 ?

?m ? 3 ? 3 ?m ? 3 ? 0
2

O

六、已知平面区域,逆向考查约束条件。 8、 已知双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该
2

区域的不等式组是()

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? (A) ? x ? y ? 0 (B) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ?
2 2

?x ? y ? 0 ? (C) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

?x ? y ? 0 ? (D) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

解析:双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,与直线 x ? 3 围成一个三 角形区域(如图 4 所示)时有 ?
?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?



点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。

??2 ? x ? y ? 2 z ? a x ? y(其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取值范围

9 已知变量 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 4

。若目标函数

为 。 解析:如图 5 作出可行域,由 z ? ax ? y ? y ? ? ax ? z 其表示为斜率 为 ?a , 纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数 z ? ax ? y(其中 a ? 0 ) 仅 在 点 ( 3 , 1 ) 取 得 最 大 值 。 则 直 线 y ? ? ax ? z 过 A 点 且 在 直 线 处

x ? y ? 4, x ? 3 (不含界线)之间。即 ? a ? ? 1 ? a ? 1. 则 a 的取值范围
为 (1, ?? ) 。 点评:本题通过作出可行域,在挖掘 ? a 与 z 的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变

2

高考数学线性规划题型总结 毛老师 化关系,建立满足题设条件的 a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题 的能力要求较高。 八、设计线性规划,探求平面区域的面积问题

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的 ?y ? 0 ?
面积是()(A) 4

2 (B)4 (C) 2 2

(D)2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区 ?y ? 0 ? 域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2) ,B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:
S ? 1 2 | B C | ? | A O |? 1 2 ? 4 ? 2 ? 4. 从而选B。

点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或 部分求解是关键。 九、研究线性规划中的整点最优解问题 11、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名, x 和 y 须满足约束条件

? 5 x ? 11 y ? ? 22 , ? 则 z ? 10 x ? 10 y 的 最 大 值 是 (A)80 ?2 x ? 3 y ? 9, ? 2 x ? 11 . ?
(D)95 解析:如图7,作出可行域,由 z ? 10 x ? 10 y ? y ? ? x ? 为 ? 1 ,纵截距为
z 10

(B) 85 (C) 90

,它表示为斜率

z 11 9 的平行直线系,要使 z ? 10 x ? 10 y 最得最大值。当直线 z ? 10 x ? 10 y 通过 A ( , ) z 10 2 2 取得最大值。 因为 x , y ? N , 故A点不是最优整数解。 于是考虑可行域内A点附近整点B (5, , (4, 4) C

4) ,经检验直线经过B点时, Z m ax ? 90. 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法, 通过分类讨论获得最优整数解。 十.比值问题 当目标函数形如 z ?

y?a x?b

时,可把 z 看作是动点 P ( x , y ) 与定点 Q ( b , a ) 连线的斜率,这样目标函

数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。

?x-y+2≤0, y 12 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( ?x+y-7≤0, x
9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞) 解析 9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

y 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O x

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得 2 2 x 9 y 最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 5 x

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