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1-8届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

时间:2011-04-26


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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第1届 (1967 年于波兰的华沙) 【题1】质量M=0.2kg 的小球静置于垂直柱上,柱高h=5m。一粒质量m=0.01kg、 以速度 0=500m/s 飞行的子弹水平地穿过球心。球落在 M m ? 距离柱 s=20m 的地面上。问子弹落在地面何处?子弹动 能中有多少转换为热能? h 解:在所有碰撞情况下,系统的总动量均保持不变:

mv0 ? mv ? MV
其中 v 和 V 分别是碰撞后子弹的速度和小球的速 度. 两者的飞行时间都是 t ?

s S

1 球在这段时间沿水平方向走过 20m 的距离,故它在水平方向的速度为:, 3 20 V ? ? 19 .8 (m/s) , 1.01 5 由方程 0.01×500=0.01v+0.2×19.8 可求出子弹在碰撞后的速度为:v=104m/s 子弹也在 1.01s 后落地,故它落在与柱的水平距离为 S=vt=104×1.01=105m 的地面上。 碰撞前子弹的初始动能为 球在刚碰撞后的动能为

2h ? 1.01s g

1 2 mv 0 ? 1250 J 2

1 MV 2 ? 39.2 J 2 1 2 子弹在刚碰撞后的动能为 mv ? 54 J 2
与初始动能相比,两者之差为 1250 J-93.2 J=1156.8 J 这表明原来动能的 92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在完 全弹性碰撞的情形下,动能是守恒的。而如果是完全非弹性碰撞,子弹将留在球内。 【题 2】右图(甲)为无限的电阻网 A r r r r 络,其中每个电阻均为 r,求A、B两点 r r r r 间的总电阻。 解:如图(乙)所示 B A、B两点间的总电阻应等于C、D 两点间的总电阻与电阻r的并联,再与r串联 图(甲) 后的等效电阻。 A C r r r r 如果网络是无限的,则A、B 两点间的总电阻应等于C、D r r r r 两点间的总电阻,设为Rx。 B D 根据它们的串并联关系有:
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Rx ? r ?

rRx Rx ? r 1? 5 r 2

图(乙)

解上式可得: R x ?

【题 3】给定两个同样的球,其一放在水平面上,另一个以细线悬挂。供给两球相同的 热量,问两球温度是否趋于相同?说明你的理由(忽略各种热 量损失) 解答:如右图所示,球体受热,体积增大。放在水平面上 的球重心升高,克服重力做功要耗费一部分热量,于是剩下提 高球体温度的热量减少了些。以细线悬挂的球与之相反。结果 放在水平面上球的温度将稍小于以细线悬挂球的温度。 (这一差 -7 别是很小的,对于半径为 10cm 的铜球来说,相对差值约为 10 K) 【实验题】测定石油的比热。可供使用的物品有:天平、量热器、温度计、电源、开关、 导线、停表、电热器、容器、水和石油。 解答:把已知温度 t1 和质量 m1 的水,与已知温度 t2 和质量 m2 的石油在量热器里混合, 测出混合物的温度 t3。 从包含一方放热和另一方吸热的方程中可算出石油的比热。 这是通常 测定石油比热的方法。 也可以先用电热器加热水,再加热等量的石油,并且及时观察温度的改变。两条温度曲 线起始点的切线斜率与比热成反比关系,据此可以测定石油的比热。 【替换题】 (为在校没有上过电学的学生而设。 )密闭容器中装有一个大气压、温度为 0℃的干燥空气 10 升,加入 3 克水后将系统加热到 100℃,求容器的压强。 解:在 100℃时,全部水都处于汽相。3 克水是 atm 下的体积是: 22 .4 ? 由状态方程求出

1 摩尔(18÷3=6) ,它们在 100℃和1 6

1 373 ? ? 5.11 (升)㎏ 6 273

1 摩尔水蒸气的压强: 6

1 ? 22.4 p ? 10 6 ? 水气 273 373
解得: p水气 =0.507 atm

由空气的状态方程:

p 1 ? 空气 273 373

解得: p空气 =1.366 atm 把两部分压强相加得到总压强为:

p ? p空气 ? p水气 =1.366 atm+0.507 atm=1.873 atm
1 , 3 , 5

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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第2届 (1968 年于匈牙利的布达佩斯) 0 【题1】 在倾角为 30 的斜面上,质量为 m2=4 kg 的木块经细绳与质量为 m1=8 kg 、 半径为 r =5 cm 的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系 数 μ =0.2,忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。 解:如果绳子是拉紧,则圆柱体与木块一同加速运动, m2 m1 设加速度为 a,绳子中的张力为 F,圆柱体与斜面之间 的摩擦力为 S,则圆柱体的角加速度为 a/r。 a 对木块有:m2a=m2gsinα -μ m2gcosα +F 对圆柱体有:m1a=m1gsinα -S-F S r=Ia/r 其中 I 是圆柱体的转动惯量,S r 是摩擦力矩。 1 解以上方程组可得 , 3 (m ? m2 ) sin ? ? ?m2 cos? a?g 1 (1) , I m1 ? m2 ? 2 5 r

S?

I (m1 ? m2 ) sin ? ? ?m2 cos? g I r2 m1 ? m2 ? 2 r

(2)

F ? m2 g

? (m1 ?

I I ) cos? ? 2 sin ? 2 r r I m1 ? m2 ? 2 r
m1 r 2 2
2

(3)

均匀圆柱体的转动惯量为 I ?

代入数据可得 a=0.3317g=3.25m/s S=13.01 N F=0.196 N 讨论:系统开始运动的条件是 a>0。把 a>0 代入(1)式,得出倾角的极限 α 1 为:

tan?1 ? ?
0 /

m2 ? ? ? 0.0667 m1 ? m2 3

α 1=3 49 单从圆柱体来看,α 1=0; -1 0 / 单从木块来看,α 1=tg μ =11 19 如果绳子没有拉紧,则两物体分开运动,将 F=0 代入(3)式,得出极限角为:

t a? n2 ? ? (1 ?
α 2=30 58
0 /

m1r 2 ) ? 3? ? 0.6 I

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圆柱体开始打滑的条件是 S 值(由(2)式取同样的动摩擦系数算出)达到 μ m1gcosα , 由此得出的 α 3 值与已得出的 α 2 值相同。 圆柱体与木块两者的中心加速度相同,都为 g(sinα -μ gcosα )圆柱体底部的摩擦 力为 μ m1gcosα ,边缘各点的切向加速度为

a=μ (

m1 r 2 )gcosα , I
3 0

【题 2】 一个杯里装有体积为 300 cm 、温度为 0 C 的甲苯,另一个杯里装有体积为 110 3 0 3 cm 、温度为 100 C 的甲苯,两体积之和为 410 cm 。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯 0 -1 的体膨胀系数为 β =0.001( C) ,忽略混合过程中的热量损失。 0 解:若液体温度为 t1 时的体积为 V1,则在 0 C 时的体积为

V10 ?

V1 1 ? ?t1
0

同理,若液体温度为 t2 时的体积为 V2,则在 0 C 时的体积为

V20 ?
0

V2 1 ? ?t 2

如果液体在 0 C 时的密度为 d,则质量分别为 m1=V10d m2=V20d 混合后,液体的温度为

t?

m1t1 ? m2 t 2 m1 ? m2

在该温度下的体积分别为 V10(1+β t)和 V20(1+β t) 。所以混合后的体积之和为 V10(1+β t)+V20(1+β t)=V10+V20+β (V10+V20)t = V10+V20+β

m1 ? m2 m1t1 ? m2 t 2 ? d m1 ? m2
m1t1 m2 t 2 ? ) d d

= V10+V20+β (

=V10+β V10t1+V20+β V20t2=V10(1+β t1)+V20(1+β t2) =V1+V2 3 体积之和不变,在本题仍为 410 cm 。当把多杯甲苯不断地加入进行混合,对任何数量 的甲苯这个结果都成立。 0 【题 3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内,以 45 角射 在半圆柱体的平面上(如右图) ,玻璃的折射率为 2 。试 问光线在何处离开圆柱体表面? 解:用角度 Ψ 描述光线在玻璃半圆柱体内 的位置如解图 2.3 所示。按照折射定律:

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sin 450 ? 2 sin ?
得:sin = , =30 所有折射光线与垂直线的夹角均为 0 0 30 ,有必要研究一下,当 Ψ 角从 0 增至 0 180 的过程中发生了什么现象。 0 不难看出,Ψ 角不可能小于 60 。 光线从玻璃射向空气全反射的临界角 由解图 3.2
0

?
A
O

B

? ?

sin ? t ?

1 2 ? n 2
0

求出: t=45 , 0 0 0 0 则:Ψ t=180 ―60 ―45 =75 0 如果 Ψ 角大于 75 ,光线将离开圆柱体。随着 Ψ 角的增加,光线将再次发生全反射, 0 0 0 0 此时 Ψ t=90 +30 +45 =165 0 0 0 0 故当:75 <Ψ <165 时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为 165 ―75 0 =90 。 【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子,每个盒上有两个插孔。不许打开盒子,试 确定盒中元件的种类, 并测定其特性。 可供使用的是, 内阻和精度已知交流和直流仪器, 以及交流电源(频率 50 HZ)和直流电源。 解:在任何一对插孔中都测不到电压,因此,盒子都不含有电源 先用交流, 再用直流测电阻, 有一盒给出相同的结果。 结论是: 该盒包含一个简单电阻, 其阻值由测量确定。 另一盒有极大的直流电阻,但对交流来说是导体。结论是:该盒包含一个电容,其电容 值由 C ?

1 算得。 ?R

第三个盒子对交流和直流都是导体,而交流电阻较大。结论是:该盒包含一个电阻和电 感,两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。

1 , 3 , 5

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第3届
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(1969 年于捷克斯洛伐克的布尔诺) 【题 1】右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为 mA=0.3kg,mB=0.2kg,mC=1.5kg。 (a)沿水平方向作用于 C 车的力 F 很大。使 A、B 两车相对 B C 车保持静止。求力 F 及绳子的张力。 F C A (b)C 车静止,求 A、B 两车的加速度及绳子的张力。 (忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量) 1 解: (a)A、B 两车相对 C 车保持静止,A 车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的拉力 , mA 3 为 mAg。这个力使 B 车得到加速度 a B ? g 。又三车系统以相同的加速度运动,则: mB , 5

F ? (m A ? mB ? mC )

mA g mB

由给定的数值得:aB=aC=aA=1.5g=14.7m/s 绳中的张力为:T=mAg=2.94N 水平推力为:F=29.4N (b)如果 C 车静止,则力 mAg 使质量 mA+mB 加速,加速度为:

2

a AB ?

mA g =0.6g=5.88N m A ? mB
/

绳中的张力为:T =mAg-mA×0.6g=1.176N 【题 2】在质量为 m1 的铜量热器中装有质量为 m2 的水,共同的温度为 t12;一块质量为 m3、温度为 t3 的冰投入量热器中(如右图所示) 。试求出在各种可 m 3 c 3 t3 能 情 形 下 的 最 终 温 度 。 计 算 中 t3 取 负 值 。 铜 的 比 热 c1 = 0 0 0.1kcal/kg· C ,水的比热 c2 =1kcal/kg· C ,冰的比热 c3 = 0 0.5kcal/kg· C,冰的熔解热 L=80kcal/kg。 m 2 c 2 t2 解:可能存在三种不同的终态: (a)只有冰; (b)冰水共存; m 1 c 1 t1 (c)只有水。 (a)冰温度升高,但没有熔化,达到某一(负)温度 ta; 放出的热量和吸收的热量相等: c3 m3(ta-t3)=(c1 m1+c2 m2) (t12-ta)+m2L 得出最终的温度为 t a ?

(m1c1 ? m2 c2 )t12 ? m3 c3t 3 ? m2 L m1c1 ? m2 c3 ? m3 c3
0

(1)

情况(a)的条件是 ta<0(注:指 0 C) ,如果上式的分子为负值,我们得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3―m2L (2) (c)现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为 tc,冰块吸收的热量 等于量热器和水放出的热量:c3 m3(0-t3)+m3 L+c2 m3tc=(c1 m1+c2 m2) (t12-tc) ( m c ? m c ) t ? m c t ? m L 2 2 12 3 3 3 3 得出最终的温度为 t c ? 1 1 (3) m1c1 ? m2 c2 ? m3 c2 这种情况只有在 tc>0时才能发生。取上式的分子为正值,得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12>―c3 m3t3+m3L (4) 0 (b)冰水共存这种情况是冰和水混合后都以 0 C 共存于量热器中。根据(2)式和(4) 式,条件为:―c3 m3t3―m2L<(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3+m3L
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如果混合后有 x 克冰熔化了,则―c3 m3t3+x L=(c1 m1+c2 m2)t12

(m1c1 ? m2 c 2 )t12 ? m3 c3t 3 L 于是混合后,在量热器中有质量为(m3―x)的冰和质量为(m2+x)的水。x 为负值意
故冰熔化了的质量为 x ? 味着有水结为冰,冰的质量增加。对于给定的数值,我们可以从公式容易得到最终的结果。 【题 3】在竖直平面内有半径 R=5cm 的线圈(如图) 。质量 m=1g 的小球系在长度为 l 的绝缘轻绳上,从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球 l -8 两者都带有 Q=9×10 C 的相同电量时,发现小球在垂 R Fn ? 直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 ? 解:如果线圈上的全部电荷集中与一点,则库仑力 F mg 为F ? k

Q2 l2

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为 , 它们在轴上的投影为 Fn=Fcos 。 小球的 重量为 mg。由上图可得: sin ? ? m g ? R ? m g F l Q2 k 2 l 所以: l ? 3

RkQ 2 9 2 2 =7.2cm(k=9×10 N m /C ) mg
l

(注:以上解答为原解,可能有错) R 另解: 如解答图 3.3.1, 在线圈上取一电荷微元, 长为 d ,电荷量为 d , 为线电荷密度,2π R =Q。则微元电荷对小球的作用力为:

?

?
Fti

Fni

Fi

Fi ? k

?dQ
l2

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解:Fni=Fi cos 解答图 Fti=Fi sin 在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元,如 解答图 3.3.2。对称的电荷微元,长也为 d ,电荷 量为 d ,它对小球的作用力为: Fi ? k
/

Fti

Fi

?dQ
l2

R

?
l

?

Fni

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解: Fn/i=Fi /cos 解答图 3.3.2 Ft/i=Fi /sin Fni 与 Fn/i 方向相同,合力为大小相加,Fti 与 Ft/i 方向相反,合力为大小相减,等于零。 所以线圈对小球作用的库仑力为:

2??Q Q2 cos? ? k 2 cos? Fn=∑Fni= k l2 l
对小球受力分析,小球受三力作用:重力 mg、 库仑力 Fn、拉力 T,如解答图 3.3.3。则:

R

l

T

?

?

Fn

mg

F

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l cos? Fn ? R mg
把 Fn= k

解答图 3.3.3

RkQ 2 Q2 3 l ? cos ? 代入上式解得: =7.2cm mg l2

(k=9×10 N m /C )

9

2

2

【题 4】一块平板玻璃放置在边长为 2cm 的玻璃立方体上,两者之间有一层平行的薄空 气隙。波长在 0.4μ m 到 1.15μ m 之间的电磁波垂直入射到平板上,经空气 隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强, d 其一是 1=0.4μ m。求空气隙的厚度。 解:光在厚度为 d 的空气隙中往返,经过的距离为 2d。光被玻璃反射 0 时,还经受 180 的相位改变。于是对波长为 1 的光,增强的条件为: 2d= k1?1 ?

?1
2

(k1=0,1,2,3,??)

类似地,对其它波长的光,产生极大增强的条件是: 2d= k 2 ? 2 ?

?2
2

(k2=0,1,2,3,??)

比较这两个条件,得到:

2k1 ? 1 ?2 ? 2k 2 ? 1 ?1

根据波长给定的范围,得到:

?2 1.15 = ? 2.875 ?1 0.4

这个比值的最小可能值为 1,最大可能值为 2.875。因此我们得到关于 k1 和 k2 的下列条 件:1<

2k1 ? 1 <2.875 2k 2 ? 1

(1)

对不同的 k1 和 k2,我们算出上述分数值,得到下表:

k1 k2
0 1 2 3 4 5

0 1 0.33 0.2 0.14 0.11 0.09

1 3 1 0.6 0.43 0.33 0.27

2 5 1.67 1 0.71 0.56 0.45

3 7 2.33 1.4 1 0.78 0.64

4 9 3 1.8 1.29 1 0.81

5 11 3.67 2.2 1.57 1.22 1

只有分数值满足条件(1)式的各个 k1 和 k2 对才是合格的,我们已在表格中算出。但 其中只有一对是允许的。这就是说,我们应当找出这样的一列,其中只能有一对是允许的 k1 和 k2。从表中看出,仅有的是 k1=2,k2=1 这一对,其分数值是 1.67,这就是解答。 对于 k1=0.4μ m 的光,根据 2d=2×0.4+0.2=1μ m,得到空气隙的厚度为 d=0.5μ m

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由 2×0.5= ? 2 ?

?2
2

得到第二个波长为 k2=0.667μ m 【实验题】给定一闭合电路,它是由已知电阻 R、未知电阻 X 以及内阻可以忽略的电源 组成的。电阻 X 是可调电阻器,由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和 零点在中心的电流计组成,它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻 X 及端电压之比。

R U X x E

R U X y

E

解答图 3.5.1 解答图 3.5.2 解答:联接两种补偿电路,如解答图 3.5.1 和解答图 3.5.2。第一次测量不包括 R。滑 动接触块的位置在第一次测量中由比率 x 给出, 在第二次测量中由 y 给出, 在此两中测量下, 电阻值之比等于电势差之比,所以有

E xX ? , U R? X
解得: X ? R (

E R ? yX ? U R? X

1 ) x? y

把 X ? R(

E xX 1 E x ) 代入 ? ? 得: U R? X x? y U 1? x ? y
1 , 3 , 5

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第4届 (1970 年于苏联的莫斯科) 【题 1】如图 4.1(a)、 (b) ,在质量 M=1kg 的木板上有质量 m=0.1kg 的小雪橇。雪橇
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上的马达牵引着一根绳子,使雪橇以速度 v0=0.1m/s 运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。 木板与雪橇之间的摩擦系数 μ =0.02。把住木板,起动马达。当雪橇达到速度 v0 时,放开 木板。在此瞬间,雪橇与木板端面的距离 L=0.5m。绳子拴在(a)远处的桩子, (b)木板 的端面上。 试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面?
m L
m L M

?
M

?

图 4.1(a) 图 4.1(b) 解: (a)在第一种情形中(如图 4.1(a) ) ,雪橇处于匀速运动状态。 雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为 ,它作用在木板上,产 生的加速度 a ? 5.1s
2 2 v0 v0 M 在这段时间内,雪橇的位移为 S 0 ? =0.255m ? 2a 2?m g

?mg
M

,直至木板达到雪橇的速度 v0 为止。加速时间为 t 0 ?

v0 v0 M = ? a ?m g

因此,雪橇离木板右端点的距离为 0.5m-0.255m=0.245m 雪橇不能达到木板的一端,因为这段时间以后,木板与雪橇以相同的速度 v0 一起运动。 在木板加速期间,马达必须用力 牵引绳子,但以后马达不能施加力的作用,它只是 卷绳子。 (b)在第二种情形中(如图 4.1(b) ) ,木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个 孤立系统,可以用动量守恒定律。当我们放开木板时,雪橇的动量为 mv0,释放后的木板具 有速度 v2,它由下式决定: mv0=M v2+m(v0+v2) 此式表明 v2=0,所以木板保持不动,雪橇以同一速度继续前进。 雪橇达到木板右端的时间为 t ?

L 0.5 =5 s ? v0 0.1
-8

【题 2】NaCl 的晶体点阵由边长为 5.6×10 cm 的立方晶胞组成,它是面心立方点阵。 钠原子量约为 23,氯原子量为 35.5, 3 NaCl 密度为 2.22g/cm 。试计算氢原子 的质量(如图 4.2) 。 解: 我们先求出一个晶胞的 Na 离子 5.6 10-8cm 数。在立方晶胞中心有一个离子,在立 方晶胞的每一边也有一个离子,但后者 仅有四分之一是属于这个晶胞的。 故钠离子数为: 1 ?

12 ?4 4
1 , 第 10 页/共3 28 页 , 5

氯离子也是这个数。密度可以表示为晶 图 4.2

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胞的质量与体积之比,故若用 m 表示氢原子的质量,则密度可表示为:

?=

4 ? 23m ? 4 ? 35.5m ? 2.22 (5.6 ? 10?8 ) 3

解上式可求得氢原子的质量为 m=1.66×10-24g=1.66×10-27kg 【题 3】半径 r=10cm 的金属球置于半径 R=20cm 的薄金属空心球内,两球同心。内球 -8 靠一根长导线经过外球的开孔接地。 若外球带电量 Q=10 C, 求外 R 球电势(如图 4.3) 。 解:这里有两个电容,并联连接。其一由外球和内球组成,另一 r 由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。 导体球相对远处地球的电容为

R 9 2 2 ,其中 k=9×10 N m /C ,R k


为导体球半径。在空心球情形,如果内球接地 ,电容为:

1 1 1 ? k( ? ) , Ca r R
所以: C a ?

图 4.3

1 Rr ? k R?r

R 1 Rr 1 R2 ? ? 两个电容并联总电容为: C ? ? ? k k R?r k R?r
把 R=0.2m,r=0.1m,k=9×10 N m /C 代入上式得:C=44.4×10 F=44.4 pF 故外球相对与地球的电势为: U ?
① 9 2 2 -12

Q =225V C

(注: Ca 是内外球组成的球形电容器的电容,与内球是否接地无关。 ) 【题 4】在半径 r=2m、孔径 d=0.5m 的凹面镜的焦点位置上,放一块圆形屏幕,使平 行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都 P ? 能达到该圆形屏幕。 试求圆形屏幕的直径。 ? 如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到 h 仅由原来的 1/8,问有多少部分的光能达 到在同样位置的屏幕上? ?? ? F O 解:我们只有采用较精确形式的反射 ? F1 定律, 通过利用某些数学近似来求解本题。 按照教科书中通常的理论推导,半径 PO=R 的凹面镜的焦点位于距离 R 的中点 F 处。我们用 h 表示凹面镜孔径之半。在 P 点的入射光线与半径的夹角为 ,反射后 与轴交于 F1 点。OP F1 是等腰三角形。 图 则: OF1 ?

R 2 cos ? R R R ? ? (s e ? c? 1) 2 c o? s 2 2
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故实际焦点与理论距离的偏差为

FF1 ? OF1 ? OF ?

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我们把圆形屏放在点 F 处,要求出屏幕的最小半径值 x。在直角三角形 P F F1 中,应用 2h R 2h 通常的小角近似, 得:x ? F1 F tan 2? ? F1 F sin 2? ? F1 F ? (sec ? ? 1) ? h(sec ? ? 1) R 2 R 对于小角度: cos? ? 1 ?

?2
2

,故 sec ? ?

1 ?2 ? 1? cos? 2

将? ?

h h3 代入,得焦“斑”的半径为 x ? R 2R 2

将数值:h=50/2=25cm;R=200cm,代入 即得:x=0.195cm=1.95mm 再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为 x,则入射到凹面镜的光束半径为

h ? 3 2R 2 x
如果我们用半径 kx 的屏代替半径为 x 的屏,则入射光束的半径为:

hk ? 3 2 R 2 kx
2 入射光的量正比于 hk ,因此

hk2 ? ( 2 R 2 kx ) 2 ? h 2 3 k 2
本题情形是 k ?

1 1 ,由此得出,落在圆形屏幕上光的量将是前者的 8 4

【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜,一块有几何图形的屏,一支杆和一把卷尺。 仅用所给的工具,以不同的方法测定透镜的焦距。 解答:有几种可能的方法。在凸透镜情形,我们用目视观查虚像的消失,并测定透镜的 距离。 我们注视着实像,借助于视差把杆放在实像的位置上,测量物距和像距,从而计算出焦 距。 再看凹透镜情形。 我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起, 并用上述方法之一 测量系统的焦距,然后算出凹透的焦距。 1 , 3 , 5

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第5届 (1971 年于保加利亚的索菲亚) 【题 1】 质量为 m1 和 m2 的物体挂在绳子的两端, 绳子跨过双斜面顶部的滑轮, 如图 5.1。 斜面质量为 m, 与水平面的夹角为 整个系 1和 2。

m1 m
??

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m2

??

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统初态静止。 求放开后斜面的加速度和物体的加速度。 斜面保持静止的条件是什么?摩擦可 以忽略。 解:我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度(正号表示向右的方向) 。用 a0 表示物体 相对斜面的加速度(正号表示左边物体 m 下降)两个物体在惯性系中的加速度 a1 和 a2 可由 矢量 a 和 a0 相加得到(如解 图 5.1 图 5.1) 。用 F 表示绳子中的张力。 a 对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。 a0 a1 m1 m2 a2 m 使物体 m1 加速下降的力是 a0 m1gsin 1-F a a 在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为 ?? ?? a0-acos 1 所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为: 解图 5.1 m1(a0-acos 1)=m1gsin 1-F 同样,对于 m2 有 1 m2(a0-acos 2)=F-m2gsin 2 , 两式相加: (m1cos a= (m1+m2) a0- (m1sin g (1) 1+m2cos 2) 1-m2sin 2) 3 我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。 , 斜面在惯性系中的速度为 v(向右) 。物体相对斜面的速度为 v0。故斜面上两物体在惯 5 性系中的速度的水平分量(向左)分别为:v0 cos 和 v0 cos 1-v 2-v 利用动量守恒原理:m1(v0 cos 1-v)+m2(v0 cos 2-v)=m v 对匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:m1(a0 cos 1-a)+m2(a0 cos 2 -a)=m a 所以 a ?

m1 cos?1 ? m2 cos? 2 a0 m ? m1 ? m2

(2)

上式给出了有关加速度的信息。很明显,只有当两物体都静止,即两个物体平衡时,斜 面才静止,这是动量守恒原理的自然结果。 由方程(1)和(2) ,可得到加速度为:

a0 ?

(m ? m1 ? m2 )(m1 sin ?1 ? m2 sin ? 2 ) g (m1 ? m2 )(m ? m1 ? m2 ) ? (m1 cos?1 ? m2 cos? 2 ) 2

a?

(m1 cos?1 ? m2 cos? 2 )(m1 sin ?1 ? m2 sin ? 2 ) g (m1 ? m2 )(m ? m1 ? m2 ) ? (m1 cos?1 ? m2 cos? 2 ) 2
1

如果 m1sin

=m2sin

2



m1 sin ? 2 ? m2 sin ?1

则两个加速度均为零。 【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气,在 圆筒内有空气。 第一步, 水银柱高度 h1=70cm, 空气压强 pk1=1.314atm=133.4kPa=100cmHg, 0 温度为 0 C=273K。第二步,向上提升活塞,直至水银柱高度降为 h2=40cm,这时空气压强 为 pk2=0.79atm=80kPa=60cmHg。第三步,保持体积不变,提高温度到 T3,此时水银柱的 高度为 h3=50cm。 最后,第四步,温度为 T4, 水银柱的高度为 h4=45cm, 空气压强没有改变。 求出最后一步中氢气的温度和压强。
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解:我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用 L 表示。为了简 单起见,我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用 cmHg 为单位 给出(见解图 5.2 第一步至第四步) 。

L

70cm

40cm

50cm

45cm

次 数 氢气压强 氢气体积 空气压强 空气体积 两者温度

1

2

3

4

ph1 V h1
100cmHg

ph2 V h2
60cmHg

ph3 V h3


V k1
273K

V k2

273K 解图 5.2 从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律: (L-70) (100-70)=(L-40) (60-40) 由此式求得玻璃管的长度 L=130cm, 因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:V h1=60cm,V h2=90cm,V h3=80cm,V h4 =85cm 从第二步到第三步,氢气的状态方程为: (60 ? 40) ? 90 ? ( ph3 ? 50) ? 80 273 T3 对空气应用盖吕萨克定律:

pk3 V k3 T3



ph4 V h4 pk4 V k4 T4

pk 3 60 ? T3 273

从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便使空气压强保持不变。氢气的状态方 程为: ( pk 3 ? 50) ? 80 ? ( pk 4 ? 45) ? 85 T3 T4 解以上方程组,得:pk3=pk4=80cmHg, T3=364K, T4=451K, 所以氢气的压强为:ph3=30cmHg ph4=35cmHg 算出空气的体积比为:V k1:V k2:V k4=6:10:12.4 (注:cmHg 为实用单位,应转换成国际单位 Pa)

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【题 3】四个等值电阻 R、四个 C=1 F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连 接起来,如图 5.3 所示。各电池的电压为 U1=4V,U2=8V,U3=12V,U4=16V,它们的内电 阻均可忽略。 (a)求每个电容器的电压和电量, (b)若 H 点与 B 点短路,求电容器 C2 上的 电量。 U1 _ + C 解: (a) G _ + R G C1 C1 将这个网 C U2 U1 _ + F 络展开成 B C3 R R R U2 U 平 面 图 _ 3+ _ + C3 F B D H C2 (如解图 U 3 R C4 R _ + R 5.3.1 ) 。 H C4 U4 D _ + 由于电流 E U4 C2 R A _ + 不能通过 A E 电容器, 所以只在图 图 5.3 解图 5.3.1 中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中,电压为 12V,电阻为 4R。 因此电流为: I ?

U 4 ? U1 4R

于是就知道了电阻和电源两端的电压。 设 A 点的电势为零, 就能很容易地算出各点的电 势。 A 0 V B (U4-U1)/4 3 V C (U4-U1)/2 6 V G (U4-U1)/2+U1 10 V H (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4 13 V E (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/2 16 V D (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4-U3 1 V F (U4-U1)/4-U3+U2 11 V 从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下: -6 C1 (11-10)V=1V, 1×10 C。 -6 C2 (16-11)V=5V, 5×10 C。 -6 C3 (6-1)V=5V, 5×10 C。 -6 C4 (1-0)V=1V, 1×10 C。 _ + 2 C G 我们可以算出各电容器的储能量 CU /2。电容器 C1 和

C4 各有 0.5×10-6 J,电容器 C2 和 C3 各有 12.5×10-6 J。 (b)H 点与 B 点连接,我们得到两个分电路。如解图
5.3.2。在下方的分电路中,电流为

U1
U2 _ +
C2

R B U4 _ +

R H R E

U4 ,E 点相对 A 点的电 2R

R A

势是 U4=16 V,H 点与 B 点的电势是 U4/2=8 V。F 点的电

U 势为 4 ? U 2 =16 V 2
于是,电容器 C2 两极板的电势均为 16 V,结果 C2 上无电量。

解图 5.3.2
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【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离 镜面 3R,缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂 A v 直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度 v 2v 沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。 水的折射率为 n ?

4 。如图 5.4(a) ,5.4(b) 3

K1

T1

O

B

解:鱼在 1 秒钟内 游过的距离为 v。 图 5.4(a) 我们把这个距离 v C D ? 当作物, 而必须求 ? 出两个不同的像。 K2 B r E F 在计算中, 我们只 T2 O 考虑近轴光线和 小角度, 并将角度 的正弦用角度本身 图 5.4(b) 去近似。 在 T1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,如图 5.4(a)所示。从 T1 点以角度 r=∠A T1O 发出的光线,在 A 点水中的入射角为 r,在空气中的折射角为 n r。把出射光线 向相反方向延长,给出虚像的位置在 K1,显然∠K1A T1=n r-r=(n-1)r 从三角形 K1 T1 A,有:

K1T1 (n ? 1)r ? ? n ?1 K1 A r
K1AT1≈K1O-R

利用通常的近似:K1A≈K1O+R, 于是

K1O ? R ? n ?1 K1O ? R
n R 2?n

所以这个虚像与球心的距离为 K 1O ? 水的折射率 n ?

4 ,从而 K1O=2R。若折射率大于 2,则像是实像。有像距与物距之商 3

得到放大率为

K1O n ? T1O 2 ? n

对水来说,放大率为 2。 以与速度 v 相应的线段为物,它位于在 E 处的平面镜前的距离为 2R 处,它在镜后 2R 远的 T2 处形成一个与物同样大小的虚像。T2 离球心的距离为 5R。在一般情形下,我们假设 T2O=kR。T2 处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此,我们只要确定 T2 的实像而无需再去考虑平面镜。如图 5.4(b)所示。 我们需要求出以 r 角度从 T2 发出的光线在 C 点的入射角 β ,其中 r=∠CT2F。 在三角形 T2OC 中,

?
r

?

T2 O kR ? ?k CO R
?

β =k r

玻璃中的折射角为:

?
n

kr ? ?DCO ? ?CDO n
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需要算出∠DOB。 因为:∠COF=β -r=k r-r=r(k-1) 而且∠COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加,或与∠COF 和∠DOB 之和相加,两种情况都 等于 180 ,因此 ?DOB ? r (k ? 1) ?
0

2kr n

即 ?DOB ? r (

2k ? k ? 1) n

从三角形 DOK2,有

OK 2 ? DK 2

?
r( 2k ? k ? 1) n

?

k 2k ? k ?1 n

此外

OK 2 k ? , OK 2 ? R 2k ? k ?1 n

因此像距为: OK 2 ? 若 k=5,n=

nk R n(2k ? 1) ? 2k

4 10 R ,得 OK 2 ? 3 3

放大率为

OK 2 n ? OT2 n(2k ? 1) ? 2k
4 2 ,则放大率为 3 3

若 k=5,n=

综合以上结果,如鱼以速度 v 向上运动,则鱼的虚像以速度2v 向上运动,而鱼的实像 以速度

2 2 8 v 向下运动。两个像的相对速度为2v+ v= v, 3 3 3

是原有速度的 8 3 倍。 我们还必须解决的最重要的问题是: 从理论上已经知道了像是如何运动的, 但是观察者 在做此实验时,他将看到什么现象呢? 两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察 到两个反向的速度,其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处 看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离 8.33R。用肉眼看实像是可 能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者” , 是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远,尽管有距离差, 但所看到的速度将逐渐增加而接近

8 。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息。 3

两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为:

2n (k ? 1)(n ? 1) ? 2 ? n 2k (n ? 1) ? n

用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁 运动的杆代表一条鱼。 【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻 Rb 和电动势 U0。
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画出作为外电阻 R 函数的有用功率,总功率以及效率 的曲线。 解答:端电压为 U ?

U0R R ? Rb

电流为 I ?

U0 U ? R ? Rb R

总功率为 P0=U0I 有用功率为:P=U I 效率为 η =

P P0
P

利用以上公式,得到要求的六个函数,如解图 5.4(a)――(f)所示。
P

(a )
I

( b)
R

P=U0I-RbI2
P0

P=
P0

U 02 R ( Rb ? R) 2

(c)
I

(d)
R
2 U0 Rb ? R

P0=U0I

P0=

?

?

(e)
I

(f )
R

=1-

Rb I U0



R Rb ? R

测出适当选择的两个值,由以上公式便可求出 Rb 和 U0。这些数据应该是独立于外负载, 所以这样的测量并不可靠,大负载时尤其如此。 历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 1 , 第 18 页/共 28 页 3 , 5

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第6届 (1972 年于罗马尼亚的布加勒斯特) 【题1】给定三个圆柱,它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱;第二个是空 心圆筒,壁有一定厚度;第三个是同样壁厚的圆筒,但两端用 薄片封闭, 里面充满一种密度与筒壁相同的液体。 如将它们放 S 在倾角 α 为的斜面上,如图 6.1 所示,求出并比较这些圆柱 R 的线加速度。 研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。 圆柱与斜面 mg sin? 的摩擦系数为 μ ,液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。 解: 沿斜面方向作用在圆柱上的力是: 作用于质心重力的分量 ? mg sin 和作用于接触点的摩擦力 S,如图 6.1 所示。产生的 加速度 a : ma=mg sin -S 纯滚动时的角加速度为: 1 a , ?= R 3 转动的运动方程为: , a 5 RS ? I

R

以上方程组的解为:

a?

g sin ? I 1? mR 2

S?

m gsin ? ?

I m R2

I 1? m R2

(1)

当 S 达到最大可能值 μ mg cos 时,也就到了纯滚动的极限情形,这时:

I 2 ?m g cos? h ? m gsin ? h m R I 1? m R2
即维持纯滚动的极限条件为

tan? h ? ? (1 ?

m R2 ) I

(2)

下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。 (Ⅰ)实心圆柱的转动惯量为

I?

1 mR 2 2 2 g sin ? , 3
tan ah=3μ

从(1)式和(2)式分别得到

a?

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角加速度为:β =

a R

(Ⅱ)设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的 n 倍。因已知圆柱的质量是相等的,故可 以算出圆筒空腔的半径 r:

??R 2 L ? n??L( R 2 ? r 2 )


r 2 ? R2
转动惯量为:

n ?1 n

I ? 0.5n?? LR 2 ? R 2 ? 0.5n?? LR 2 ? r 2 ? 0.5mR 2
由(1)式和(2)式分别算出:

2n ? 1 n

a?
角加速度为:β =

2n g sin ? , 4n ? 1

tan ? h ?

4n ? 1 ? 2n ? 1

a R

(Ⅲ)对充满液体的圆筒,因液体与筒壁之间无摩擦力,故液体不转动。总质量为 m,但转 动惯量只需对圆筒壁计算:

I ? 0.5n?? LR 2 ? R 2 ? 0.5n?? LR 2 ? r 2 ? 0.5mR 2
由(1)式和(2)式分别算出:

2n ? 1 n

a?
角加速度为:β =

2n2 g sin ? , 2n 2 ? 2n ? 1

t a? nh ?

2n 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

a R
3n 3n 2 1∶ ∶ 4n ? 1 2n 2 ? 2n ? 1

现在比较三个圆柱体的运动特点:线加速度和角加速度之比为:

极限角正切之比为: 1∶

4n ? 1 2n 2 ? 2n ? 1 ∶ 3(2n ? 2) 3(2n ? 1)

如果斜面倾角超过极限角, 则圆柱又滑又滚。 此时三个圆柱体的摩擦力均为 μ mg cos , 故线加速度相同,为: a=g(sin - cos ) 角加速度由 ?=

R?mg cos ? 给出,但转动惯量在三种情况下各不相同。因此,若圆柱体又 I

滚又滑,则三种情况下的角加速度分别为:

?1 ?

2? cos ? g R

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?2 ?

2? cos ? n ? g R 2n ? 1

?3 ?

2? cos? n 2 ? g R 2n ? 1

【题2】有两个底面积为 1dm 的圆筒,如图 6.2 所示,左方圆筒装有一种气体,气体的质 0 量 4g,体积 22.4L,压强 1atm,温度 0 C。右方圆筒装有同种气体,气体的质量 7.44g,体 0 0 积 22.4L,压强 1atm,温度 0 C。左方圆筒筒壁绝热,右方圆筒靠一个大热库维持温度 0 C。 整个系统在真空中。放开活塞,它移动了 5dm 后达到平衡并静止。试问右方圆筒中的气体吸 收了多少热量?气体等容比热为 0.75cal/g?K。

2

00C
图 6.2 解:放开连杆前,右方气体压强为: 7.44/4=1.86(atm) 3 3 在达到平衡时, 左方气体体积为 22.4+5=17.4 (dm ) , 右方气体体积为 22.4+5=27.4 (dm ) 。 左方气体经绝热过程升高温度到 T,压强为 p。右方气体经等温膨胀到同一压强。等温膨胀 由下式表示: 1.86×22.4=×27.4 解得: p=1.521 atm 对左方气体应用绝热过程定律,得: k k 1×22.4 =1.521×17.4 由此可求得比热之商 k 如下

(

22 .4 k ) ? 1.521 17 .4
k

1.2874 =1.521 k=1.66 (看来它是一种单原子气体:氦。 ) 左方气体的温度可从状态方程算出:

1 ? 22.4 1.521 ? 17.4 ? 273 T
解得:

T=322.5K

t=49.50C

在这个过程中,右方气体的温度没有改变,它吸收了 0.75×4×49.5=148.5 cal 注 的热量,这些热量表现为气体的内能 。 (注:此处是指左方气体的内能。因为右方气体等温膨胀,所吸收的热量等于它对左方气体 所作的功。左方气体绝热压缩,右方气体对它所作的功等于左方气体内能的增量。 ) 【题3】将焦距为 f 的一个透镜,沿其表面的垂直方向切割成两部分。把两个半透镜移开一 段小距离 δ , 如果在透镜的一方距离 t >f 处放置一个单
? 第 21 页/共 28 页
S

d

h

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色点光源,问在透镜的另一方距离 H 处的屏幕上将出现多少干涉条纹? 解:由两部分透镜所产生的像是相干光源,所以可以发生干涉。设两个点光源的距离为 d, 若光程差等于波长 λ ,则在 h 远处的屏幕上将出现第一个极强,如解图 6.1 所示。即: d =λ 解图 6.1 由于 是小角,取近似 sin ? ?

S ,各级极强的间距为: h dS ?h ??, S? h d

下面计算两个焦点的位置。 一个点光源位于焦距为 f 的透镜前 t 距离处,它产生的实像位于 k ? 示。

tf ,如解图 6.2 所 t? f

K1

A B D

?

d K2

t

k H

h

解图 6.2 若切口的宽度为 δ ,则两实像点间的距离可从下列比例式中得到:

d

?
因此 d ? ?

?

t?k t

t?k ?t ? t t? f

像点 K1 和 K2 是相干光源。它们发射出来的光束的干涉在屏幕上观察到。条纹的间距为

S?

?h
d

,其中 d 为已知。屏幕到像点的距离为: h ? H ? k ?

H (t ? f ) ? tf t? f

在此实验中,条纹间距为: S ?

? ?H (t ? f ) ? tf ? t?

干涉条纹出现在 K1 和 K2 发出的两束光交叠处。由相似三角形求得两束光交叠部分的直 径为 D ? ?

h?t t

用 S 除 D,得条纹数目为 N ?

D ?2 H ?t ? ? S ? H (t ? f ) ? tf

如果 f =10cm,t=20cm,δ =0.1cm,λ =0.5μ m,H=50cm,则得 N=46.6 。 当屏幕比 A 点更近时,对 D 必须另作计算。如屏幕在 B 点以内,则无干涉条纹。
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【实验题】给定两个圆柱体,它们的大小、形状、材料均相同,其一是实心体,另一个 内部有一个与圆柱轴平行的圆柱形空腔。后者两端用薄片封闭。试确定材料密度,以及空腔 轴与圆柱轴之间的距离。 解答: 实心圆柱体的密度可由其质量和体积确定。 其次我们测量有空腔的圆柱体的质量, 根据两个圆柱体质量之差,算出空腔的体积和直径。为求出两轴的距离,可以用几种方法。 例如,把圆柱体放在水平面上。确定使它恢复平衡的力矩最大时的位置,这时两轴构成的平 面是水平面,由于知道了空腔的大小,便可算出轴间距离。另一种方法在于测定圆柱体对空 腔最近或最远的那条母线的转动惯量。 1 历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 , 第7届 3 (1974 年于波兰的华沙) , 【题 1】一个处于基态的氢原子与另一个静止基态的氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰 5 撞的最小速度为多少?如果速度较大而产生光发射, 且在原速度方向可以观察到光。 问这种 光的频率与简正频率相差多少?氢原子质量是 1.67×10 kg ,电离能 E = 13.6 eV = -18 2.18×10 J。 解:处于基态的氢原子能量为 E1 ? ? E ?
-27

1 1 ,第一激发态能量为 E 2 ? ? E ? 2 。被氢 2 1 2

1 1 3 原子吸收的最小能量为 ?E ? E 2 ? E1 ? E ( 2 ? 2 ) ? E ? 1.163 ? 10 ?18 J 4 1 2 我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数据代最小速度。 如果碰撞是完全非弹性的, 则
m v2 碰撞中能量损失最大, 碰撞后的速度将是 v/2, 初动能与末动能之差为: ? 2 v 2m( ) 2 2 2 ? mv 2 4

这个值应等于最小的能量子 ?E ?

m v2 4

因此 v ?

4?E ? 6.26 ? 104 m/s m

非弹性碰撞后,两个原子的速度为

v ? 3.13 ? 10 4 m/s 2

本题第二问的解答与多普勒效应有联系。 对于比光速小很多的速度, 相对速度之比给出 4 8 -4 -2 频率相对变化的极好近似:6.26×10 ∶3×10 =2.09×10 =2.09×10 % y 两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率。 【题 2】给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按 下式变化 n ( x ) ?

n0 1? x r

?

d 1 , 3 O 束光在 O 点由空气垂直射入平板,并在 A 点以角 x , 度 射出,如图 7.1 所示。求 A 点的折射率 nA,并 5 ,β 1=300) 确定 A 点的位置及平板的厚度。 (设 n0=1.2,r=13cm 图 7.1 解:首先考虑光的路线,如解图 7.1 所示。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透 射光,可以应用斯奈尔

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定律:

sin ?1 n2 , ? sin ? 2 n1

s i? n2 n3 ? s i? n3 n2
?? ??
n1

更简单的形式是:

n1 sin ?1 ? n2 sin ? 2 ? n3 sin ? 3 ? ?
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里, 折射率只沿 x 轴变化,即 n x sin ? x =常数 在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点入射,即 0 nx=n0 x=90 则常数等于 n0,于是在平板内任意一点有

??
n2 n3 n4

解图 7.1

y

n x sin ? x =n0
nx 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为:

X

?x

sin ? x ?

n0 x r?x ? 1? ? nx r r

O x C x

由解图 7.2 表明光束的路径是一个为 XC=r 的圆,

解图 7.2

OC ? x =sin ? x 从而有: XC
现在我们已知光的路径,就有可能找到问题的解答。按照折射定律,当光线在 A 点射出 时,有: n A ?

sin ? sin ? ? 0 sin(90 ? ? A ) cos ? A
A

因为 nA sin

=n0,故有: sin ? A ?

n0 nA

cos ? A ? 1 ? (
于是 n A ?

n0 2 ) nA
n0 2 ) nA

sin ? 1? (

因此 n A ?

2 n0 ? sin 2 ?

在本题情形 n A=1.3 由 1 .3 ?

1 .2 x 1? 1 .3

得出 A 点的 x 坐标为 x=1 cm
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2 2 2

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光线的轨迹方程为 y +(1-x) =r 代入 x=1 cm,得到平板厚度为 y=d=5 cm 【题 3】 一科学探险队因船只失事流落荒岛。 他们没有能源, 却发现了一种惰性气体源。 这种气体比空气重,其压强与温度同周围的大气相等。探险队有两个膜片,其中一个能渗透 该气体,另一片只能渗透空气。试设计一个做工的热机。 解:我们要用到两个重要的定律。如果一个容器中装着气体混合物,则每种气体的分压 强等于这种气体在同样温度下单独占据相同体积时的压强。 压强计在混合气体中读出的是各 分压强之和。如果一膜片对某一气体是可渗透的,则在膜 片两侧该气体的分压强相等。我们设计这样的热机(见解 图 7.3)对惰性气体能渗透的那张膜片装在管子里,这个 管子把气源与活塞下面的圆筒连通。对空气能渗透的那张 膜片装在圆筒底部。在活塞下部总有同样的一个大气压压 1 对气体可渗透 2 强,因而空气对所做的功来说是没有关系的。首先,打开 管中的阀门1,导通可渗透气体的膜片。膜片两侧气体的 对气体可渗透 分压强将相等,于是活塞下部也有这一分压强。结果圆筒 气体源 内总压强将达到二个大气压,活塞上升做功。关闭阀门1 可停止活塞的上升运动,然后打开阀门2,活塞回到初始 位置而不做功。 解图 7.3 如果圆筒导热良好,且过程足够缓慢,则上述过程是等温的,做功等于

RT ln

V2 V1

这个过程不是循环过程,我们也不在乎它的效率。 有两个膜片就可以实现上述过程,只要有一个周围是真空的气体源。 【实验题】 两个同类的半导体二极管和一个欧姆电阻以未知方式联接, 并封闭在一个盒 里。盒子有两个引出线接线柱,不打开盒子 试测量该电阻的欧姆值。 解答:分别在两个方向测定两个不同电压下 的电流,我们得到下列结果:两个方向都能 观测到电流,但并不相同,且不是电压的线 性函数。根据这些结果,不难画出如解图 7.4 所示的网络。 解图 7.4 其次,画出两个方向的伏安图,找到在两个方向上电流相同的两个电压。电压之差 给出电阻两端的电压,除以电流,得出电阻的欧姆值。 历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第8届 1 (1975 年于德意志民主共和国的居斯特罗) , 0 【题 1】一根杆以恒定的角速度 ω 绕竖直轴旋转,杆与轴的夹角为(90 -α ) 。质量为 3 m 的质点可以沿杆滑动,摩擦系数为 μ 。求转动过程中,质点保 , 持在同一高度的条件(如图 8.1) 。 5 解:我们发现,采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如 果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值, 就称这个角 ε 为 “滑动 摩擦角” (如解图 8.1 所示) ,即 tan ε =μ 我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线 之间的夹角在滑动摩擦角之内,则摩擦力大到足以阻止运动。极
?
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限情形是合力与摩擦角的一臂重合。 对于本题, 当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况 (α +ε )角的双臂内(如解图 8.2 所示) 。 图 8.1

时, 合力应位于
m?2r

r

?

?

?

mg
?

?

1 , 3 , 5

解图 8.1 解图 8.2 2 2 把质点压在杆上的力是重力 mg 与 mω r=mω Lcosα 的合力。 故质点在向上滑动的极限 情 形 下 , 角 ( α + ε ) 的 正 切 为

tan( ? ??) ?

m? 2 L cos? ? 2 L cos? ? mg g

600

同理, 质点向下滑动的极限情形可用角 (α +ε ) 的正切得到。 于是,如果 tan( ?-? ) ?

450 300 150 0.3 m

? 2 L cos?
g

? tan( ? ??)

则质点在旋转杆上处于平衡。 从边界条件可以看出,存在着一个较高位置(Lf)和一个 较低位置(La) ,质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇

0.1

0.2

解图 8.3 平衡状态。在这两边界之外,质点无法平衡,质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置 Lf-La 可由边界条件导出:

L f ? La ?

2 g tan? ? cos ? (1 ? tan2 ? ? tan2 ? )
2 3

解图 8.3 对不同的 α 角,画出质点在杆上哪些部分处于随遇 -1 0 平衡, (取 ω =10 s ,μ =0.268,ε =15 ) 。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。 【题 2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件,并就不同类型的透镜讨论可行 性。 解答: 我们必须知道厚透镜的性质。 厚透镜 由下述数据表征:球形表面的半径 r1 和 r2,厚 r1 r2 度 d 和折射率 n (如解图 8.4 所示) 。 焦距 f=B F B F 由下式给出

?1 1 1 n ?1 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ( ) ? f n r1 r2 ? ? r1 r2
焦距是从主点 B 算起的。B 点离表面的距离为

d

A

f

解图 8.4

BA ? h ?

r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立, 但只对近轴光线才给出满意的结果, 因为是在一
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定的近似下得到的。 光被透镜色散。透镜对波长 λ a 的折射率是 n a,对波长 λ b 的折射率是 n b。按折射 率的幂次整理焦距公式,得 f(r1+r2-d)n2+[2fd-f(r1 +r2)-r1r 2]n-f d=0 这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可望解决。 先后以 n a 和 n b 代入方程,并令其相等:

n ?1 n ?1 1 1 1 1 (na ? 1)( ? ? d ? a ) ? (nb ? 1)( ? ? d b ) r1 r2 na r1r2 r1 r2 nb r1r2
结果得出 r1 ? r2 ? d (1 ?

1 ) na nb

如果半径 r1、r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两个不同的折射率 来说,焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 n a·n b 在起作用,而不是色散(n b-n a) 。 因为折射率大于1,于是括号内的数值小于1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相 当厚的。 结果讨论:首先透镜不能是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次, r1 和 r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。 如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值(注:即要求消除焦点色差) , 实现这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。 【题 3】质量为 m 的一簇离子在 P 点以同一速度 v 向不同方向散开(如图 8.2) 。垂直纸 面的均匀磁场 B 将这些离子聚焦于 R 点,距离 PR=2a,离子的轨道应是对称的。试确定磁 场区的边界。 磁场 解:在磁场 B 中,作用于电量为 Q、速度为 v 的质点 上的洛仑兹力为 Q v B。结果使粒子在半径为 r 的圆 v 轨道上运动,即: a a 2

QvB ?

mv r

P
图 8.2
y

R

质量为 m 的所有粒子都在半径为

r?

mv 的相同的圆轨道上运动。离开磁场后,它们将 QB

沿最后的切线方向直线飞行。 磁场边界应按所有离子都打在 同一点 R 的要求去寻找。要解决的数学问题是,粒子应从这 些半径为 r 的圆的何处离开, 才能使它们的切线在 R 点相交。 这些半径为 r 的圆的圆心都位于 y 轴上(如解图 8.5 所示) 在半径为 r 的圆轨道上运动的粒子,在坐标为(x,y) 的 A 点离开磁场,沿切线飞向 R。由相似三角形得到:

r
b

A

R



a

x

图 8.5

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y ?b a ? x ? x y
圆的方程为 x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 消去(y-b) ,得到满足条件的 A 点的集合,因此,表示磁场 边界的函数为:
P (a) R

y?

x(a ? x) r 2 ? x2

P R 这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线, (b) 把它对 y 轴反演即可。 表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离 a 和半径 r 的 相对大小(见解图 8.6(a) , (b) , (c) ) 。 P R (c) 如果半径 r 小于 a(小速度强磁场) ,则磁场边界无限延伸, ① 向任何方向出发的离子也都能聚焦 。 ② 如果半径 r 等于 a,所有的离子也都能聚焦 。磁场边界在 P 和 R 点处垂直出发,处在 有限的范围内。 如果半径 r 大于 a, 边界更为平坦。 那些出发方向比 P 点切线更陡的离子不能达到 R 点。 解图 8.6 ① (注: 原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在 r<a 时,v 与 x 轴夹角 0 ② 大于 90 的离子无法聚焦。 在 r=a 时, “所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。v 与 x 0 轴夹角大于 90 的离子也无法聚焦。 ) 【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为 0.25W, 可供使用的是:对所有量程内阻均已知的两个电表,一个 9V 的电池,一个可调电阻器及一 个固定电阻器。 解答: 通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线, 表明该半导体器件是 齐纳( Z e n e r )二极管。 (注:原文无详细解答,没有给出测量伏安特性的具体线路)

1 , 3 , 5

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