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全国高中数学联赛模拟试题


一.

全国高中数学联赛模拟试题 张国庆 四川自贡蜀光中学 643000 填空题(每题 8 分,共 64 分)

1. 设 a 是 一 个 实 数 , 若 关 于 x 的 不 等 式 在 ? ? 是 。

? ? ?? , 上恒成立,则 a 的取值范围 ? 3 6? ?

1 2.已知 xy=1,且

0<y< ,则 2
3 ? P为椭圆

f ( x, y ) ?

x ? 4y x ? 16 y 2 的最大值是
2

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0)上任意一点,F1 , F2为左,右焦点 a2 b2



1 1 ? 的取值范围是 2 PF1 PF2 2

。 ,则

4.数列?an ?定义为:a1 ? cos? , an ? an?1 ? n sin ? ? cos? , n ? 1

S2014

=

5.底面半径为 1 的圆柱形容器里放 4 个半径为 0.5 的实心铁球,4 个球两两相切,其中底层 两球与容器底面相切,现往容器里注水,使水面浸没所有铁球,则需注水 6.某家电影院的票价为 5 元一张,现有 10 人,其中 5 人持有 5 元钞票,另外 5 人持有 10 元 钞票,假设开始售票时售票处没有钱,这 10 个人随机排队购票,则售票处不会出现找不开 钱的概率为 。 7.已知函数 f ( x) ? log a

1 (a ? 1) ,若函数 y ? g (x) 的图像上任意一点 P 关于原点的对 1? x

称点 Q 的轨迹方程恰好为 f(x),若 x ? ?0,1? ,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,则 m 的取值范围 是 8 设 f ( x)是定义在R上的函数 若 f (0) ? 2014 , 且对任意x ? R , f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2
x

f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2 x , 则f (2014 ) =
二.解答题(共 56 分)

( AB 9. 16分) ? xB ? x A 表示数轴上两点的距离,它可看作是满足一定 条 件 的 一 种
运算,这样将满足下列 3 个条件的一个 x 与 y 之间的运算 P(x,y)叫做 x 与 y 之间的距离 (1)非负性:P(x,y) ? 0 ,当且仅当 x=y 时取等号; (2)交换律:P(x,y)=P(y,x); (3)三角不等式:P(x,z) ? P(x,y)+P(y,z) 试确定运算 S(x,y)= 例。

x- y 1? x ? y

是否为一个距离?若是,请给予证明;若不是,请举出反

1

10(20 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ? 1(a ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标分别为
2

x1、 2 x
⑴证明: 1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ( ⑵证明: x1 ? ?1, x2 ? ?1 ⑶若 x1 , x2满足不等式 lg

x1 ? 1, 试求a的取值范围。 x2

11.(20 分)过直线 l: ? 7 y ? 70 ? 0上的点P作椭圆 5x 点分别为 M、N,连接 MN ⑴当 P 点在直线 l 上运动时,证明直线 MN 恒过定点 Q. ⑵当 MN//l 时,证明点 Q 平分线段 MN.

x2 y2 ? ? 1的切线PM、PN ,切 25 9





· · 一、(40 分)直线 l 切○O 于点 D,A、B、C、D 是○O 上顺时针依次排列的

四点, B、 在直线 l 上的投影依次为 x、 z, A、 C、 y、 求证: AB· CZ +BC AX =AC BY . 二、(40 分) 任给一个正整数 a, 定义一整数列 x1, 2, x ...xn, 1=a,xn=2xn-1+1 x (n≥1).令 yn=2xn-1,试确定最大可能的整数 k,使得存在某正整数 a 通过以上 关系得到的 y1,...yk 都是质数。 三、(50 分)给定正整数 m、n,证明:存在正整数 c,使得数 cm 与 cn 在 十进制表示下每个非零数字出现次数相同。 四、(50 分)在一个 999×999 的方格表中,一些方格是白色的,其他方格 均是红色的。设 T 是由三个方格 C1、C2、C3 组成的方格组(C1,C2,C3)的个数, 使得 C1、C2 在同一行,C2、C3 在同一列,且 C1、C3 是白色的,C2 是红色的。求 T 的最大值。

参考答案 一填空题 1. ?0,1?

2

令 t=sinx, t ? ??

? ?

3 1? , ? ,下面分情况分离系数 2 2?

? 2 ? ? 1 ? 2t 2 1 1 2 ? 若t ? ? ,0 ?则a ? ? ? 2t恒成立 , 而 ? 2t在?? ,0 ?上单调递减, 2 ? t t t 2 ? ? ? ? ?

于是a ? 0 ;

? 3 2? 2t 2 ? 1 1 1 ?, 则a ? 若t ? ?? ,? ? 2t ? 恒成立,而2t ? ? 2 ? t t t ? 2 ? 3 2? ?上单调递增,于是a ? 0; 在? ? ,? 2 2 ? ? ?
若t ? 0, 则a ? 1; 1 1 ? 1? ? 1? 若t ? ? 0, ?, 则a ? - 2 t恒成立,而 ? 2t在? 0, ?上单调递减,于是a ? 1; t t ? 2? ? 2? 综上所述,a的取值范围是?0,1?

2.

2 8

1 ? xy ? 1, 且0 ? y ? , 则x ? 4 y ? 0, 于是可将f ( x, y )的最大值问题等价转化为求g ( x, y )的最小值问题 2
于是g ( x, y ) ? x 2 ? 16 y 2 8 ? ( x ? 4 y) ? ? 4 2 , 当且仅当x ? 4 y ? 2 2时,取“?” x ? 4y x ? 4y 2 8

即f ( x, y )的最大值为

? 2 4a 2 ? 2b 2 ? 3.? 2 , ? b4 ?a ?
2

记 PF1 ? u , PF2 ? v, 则u ? v ? 2a,由均值不等式得uv ? a 2 由三角形边长不等式u ? v ? 2c
2 即(u - v)2 ? u ? v) - 4uv ? 4c 2 ,4uv ? 4a 2 ? 4c 2 ,? uv ? b 2 (

1 1 1 ? ? 2 2 a uv b 1 1 1 1 2 4a 2 2 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ? )2 ? ? ? ? 4a 2 ( ? 2 ) 2 ? 2 2 u v u v uv (uv) uv uv 4a 4a ? b 2 ? uv ? a 2 ,

3

1 1 2 1 1 4a 2 ? 2b 2 2 ?当uv ? a 时,( 2 ? 2 ) min ? 2 ;当uv ? b 时,( 2 ? 2 ) max ? u v a u v b4 ? 2 4a 2 ? 2b 2 ? 因此 PF1 ? PF2 的取值范围是? 2 , ? b4 ?a ?
2

4.1007 cos? ? 1013042 sin ? ? an ? an ?1 ? n sin ? ? cos? , an ?1 ? an ? (n ? 1) sin ? ? cos? , ? 两式相减得an ?1 ? an ?1 ? sin ? , 因此?an ? 的奇数项与偶数项都是等差数列,公差为sin? , 且a1 ? cos? , a2 ? sin ?

故由等差数列的求和公式知: S 2014 ? (a1 ? a3 ? ? ? a2013 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2014 ) 1007 ?1006 1007 ?1006 sin ? ? 1007 sin ? ? sin ? 2 2 ? 1007 cos? ? 1013042 sin ? ? 1007 cos? ?

1 2 5. ? ( )? 3 2 由于4个铁球两两相切,所以这4个小球的球心构成一个棱长为1的正四面体的四个顶点 易知水面高度就是一组对棱之间的距离与小球的直径之和,而一组对棱之间的距离 即为所在正方体对面之间的距离 2 2 ,所以水面高度为 ? 1 2 2 2 4 1 3 1 2 故注入水的体积为( ? 1 )? - 4 ? ? ) ? ? ( ? ( )? 2 3 2 3 2
1 6

6.

10! 5 这10个人按钞票的排列数为 ? C10 ? 252 5 ?5 !! 记p (m, n)表示m个手持5元,n个手持10元的人满足条件的排列方式数, 则p (m,0) ? 1, 当m ? n时,p(m, n) ? 0且p (m, n) ? p (m, n ? 1) ? p (m ? 1, n) 如图,p (5,5)等于从A到B不能穿越对角线的路径数,即p (5,5) ? 42 故所求概率为
1 4

42 1 ? 252 6
5 9 14 14 28 14 42 42 B

4

3

5

5

1

2

2

1

1

1

1

A

7.m ? 0 设y ? g ( x)图像上任意一点P ( x, y ), 则P关于原点的对称点Q (? x,? y )在y ? f ( x) 的图像上,则 ? y ? log a 1 , 即g ( x) ? log a (1 ? x),由f ( x) ? g ( x) ? m得 1? x 1? x 1? x log a ? m, 令F( x) ? log a , x ? ?0,1?,由题意知F ( x) min ? m即可,由于a ? 1 1? x 1? x 2 所以F ( x) ? log a (?1 ? )在?0,1?上是增函数,F ( x) min ? F (0) ? 0 ? m ? 0 1? x

8.2 2014 ? 2014

f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?? f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)? ? ? f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)? ? ? f ( x ? 6) ? f ( x)?

? ?3 ? 2 x ? 2 ? 3 ? 2 x ? 4 ? 63 ? 2 x ? 3 ? 2 x , 从而f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x 所以f (2014 ) ? f (2014 ) ? f (2012 ) ? f (2012 ) ? f (2010 ) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0) ? 3(2 2012 ? 2 2010 ? ? ? 2 2 ? 1) ? f (0) ? 2 2014 ? 2014
9.要说明S ( x, y )是否为距离,只要验证它是否满足三个条件即可。 S( x, y ) ? x? y 1? x ? y ? 0, 当且仅当x ? y时取等号,满足条件(); 1

S ( x, y ) ?

x? y 1? x ? y

?

y?x 1? y ? x

? S ( y, x)满足条件(2) ;

5

? f ( x) ?

x 1 ? 1? 在?0, ? ?上是增函数,且 ? 1? x 1? x x ? z ? ( x ? y) ? ( y ? z) ? x ? y ? y ? z x?z 1? x ? z ? ? f (x?z)? f (x? y ? y?z) x? y 1? x ? y ? y ? z ? y?z 1? x ? y ? y ? z

所以S ( x, y ) ? ? ?

x? y ? y?z 1? x ? y ? y ? z x? y 1? x ? y ?

y?z 1? y ? z

? S ( x, y ) ? S ( y, z )满足条件(3) x? y 1? x ? y 为一个距离。

综上,运算S ( x, y ) ?

10. 1 ( )由题意知x1、x2是关于x的一元二次方程ax2 ? x ? 1 ? 0的两个实根 1 1 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 x2 , 从而( ? x1) ? x2 ) ? 1 1 (1 a a

(2)由于ax2 ? x ? 1 ? 0有实根x1、x2 , 所以 1 ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ?4 ?a ? 0 1 ? 即0 ? a ? ? ? ? 1 4 ? ?? ? 1 ? 4 a ? 0 x1 x2 ? ? 4 ? a ? ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ?2 ? 0 ?? ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0即x1 ? ?1, x2 ? ?1 ?( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 1 ? 0
(3) lg x1 x 1 x1 ? 1 ? ?1 ? lg 1 ? 1 ? ? ? 10 x2 x2 10 x2 x2 x 1 1 1 ? 1 ?? ? ?? ? 10 1 ? x2 x2 1 ? x2 10 1 ? x2
2

由( ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1得x1 ? ? 1

? 1 1 1 10 1 1 ? x2 1? 1 解得 ? ? ? ,? a ? ?? ? ? ?( ? ) ? ? ? 2 11 x2 11 x1 x2 2? 4 x2 ? x2 1 1 1 当 ? ? 时,a取最大值 ; x2 2 4 当? 1 1 10 10 ? 或 时,a取最小值 x2 11 11 121

? 10 1 ? 所以a的取值范围是? ,? ?121 4 ?

6

11 .设P ( x0 , y0 ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则椭圆过M、N的切线方程为 x1 x y1 y x x y y ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 25 9 25 9 因为两切线都过点P,则有 x1 x0 y1 y0 x x y y ? ? 1, 2 0 ? 2 0 ? 1 25 9 25 9
这表明 M、 均在直线 N

x0 x y0 y ? ?1 25 9



上, 由两点决定一条直线知方程① 就是直线

( MN 的方程,其中 x0 , y0 )满足直线l的方程。
当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x0 遍取一切实数,相应的 y 0 >0, y0 ? 入①式消去 y 0 得

x0 x 5 x0 ? 70 ? y ? 1 ? 0 ?对一切 x0 ? R 恒成立可得: 25 63

5 x0 ? 10 代 7

? x 5y ? 25 ? 63 ? 0 x 5y 10 y ? x0 ( ? ) ? ( ? 1) ? 0 ? ? 25 63 9 ?10 y ? 1 ? 0 ? 9 ? 25 9 由此解得直线MN恒过定点Q( ,? ) 14 10
由?式知 (2)当MN // l时,

x0 5 x0 ? 70 ? 1 4375 代入?式得此时 MN 的方 ? ? , 解得x0 ? 25 63 ?7 533 ? 5 7 533 533 2 533 128068 程为 5 x ? 7 y ? ? 0 ③将此方程与椭圆方程联立消去 y 得 x ? x? ?0 35 25 7 1225

由此可得,此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为 533 25 9 7 ? 25 Q( ,? )的横坐标,即x ? ? 533 14 14 10 2? 25 ?
代入③式得弦中点纵坐标为 ? 所以 Q 点平分线段 MN.

9 恰为 Q 点的纵坐标 10

加试参考答案
一、作直径 DE,连 AD、AE,则 ? ADX= ? AED, ? AXD= ? EAD=90。 ,所以△ADX ∽△DEA,于是
AD AX ,即 AD2=DE·AX,同理 BD2=DE·BY,CD2=DE·CZ. ? DE AD

由托勒密定理,有 AB·CD+BC·AD=AC·BD.
CZ AX BY 所以,AB· DE· +BC· DE· =AC· DE·
7

即 AB· CZ +BC· AX =AC· BY . 二、满足题目最大整数 k=2,事实上,如果,yi 是质数,则 xi 也为质数,因 为,xi=1,则 yi=1 不为质数,若 xi=mn(整数 m、n>1),则 2m-1|2xi-1,即 xi 为分数, 则 yi 也为分数。 下面证明,对任意的奇质数 a1、y1、y2、y3 中至少有一个合数(假设不然, 则 x1、x2、x3 均为质数,由于 x1≥3 是奇数,则 x2>3,且 x2≡3(mod4) ,因此 x3 x ?1
3

≡7(mod8),则 2 是 x3 二次剩余,即存在 x∈N ,使得 x ≡2(mod x3)),从而,2 =2 ≡xx3-1 ≡1(mod x3),则 x3|y3,显然 y2 是合数,因为 x2>3,则 2 以 y2 是合数。 最后,如果 a=2,得 y1=3,y2=31,而 y3=211-1 能被 23 整除,所以 k=2. 三、证明: n 与 10 不互质, n=n1· α · β , 1, 若 设 2 5 (n 10) =1, b 使 bn=n1· 取 2
α +β

*

2

x2

2

x3

-1>2x2+1=x3,所

10sn+k 10rk+m ·5α +β ,将 bm 与 n1 看作原来的 m、n,因此可以不妨设(n,10)=1.此时,我

们可以取到正整数 c、k、r、s 满足 c=10t+
m

=10t+

n

.

为此,我们首先取正整数 r 满足 10rm-n>n2 且 10r>m,由于(n,10)=1,故 10 与 10rm-n 互质,因此我们可以取到 10 的某个幂次,被 10rm-n 除余 1,将这个 幂次记为 10s+2r,由 n≡10rm(mod10rm-n)知, 10sn2≡10s+2rm2≡m2(mod10rm-n),
s 2 2 所以 k= 10 n -m 为正整数,再取正整数

10rm-n

t>max{10sn+k,10rk+m}, 令 c=10t+ 10 n+k m
s

=10t+

10rk+m

n

.

此时,cm=10t·m+10sn+k,cn=10t·n+10rk+m,由于 10rm-n>n2,所以 10s(10rm-n)>10sn2>10sn2-m2,
s 2 2 即 k= 10r n -m <10s,所以 cm 由 m 的数字接若干 0 再接 n 的数字接若干 0 再接 k

10 m-n

的数字构成,cn 由 n 的数字接若干 0 再接 k 的数字接若干 0 再接 m 的数字构成, 显然在十进制表示下每个非零数字出现次数相同,证毕。 四、先证明:对于 n×n 的方格表有 T≦
4n4

27

.

8

设第 i 行有 ai 个白格,第 j 列有 bj 个白格,R 是红格的集合,对于每个红格 (i,j) ,有 aibj 个满足条件的方格组(C1,C2,C3) ,其中,C2=(i,j) ,于是, T=
(i, ?R j)

?

aibj.
1 2

由均值不等式得 T≤

(i, ?R j)

?

(a2i+b2j)=

1 2

?
j ?1

n

(n-aj)a2j+

1 2

?
j ?1

n

(n-bj)b2j, 这是

因为第 i 行有 n-ai 个红格,第 j 列有 n-bj 个红格。 对于 0≤x≤n, 由均值不等式知 (n-x)x2= 当且仅当 x=
2n 时,上式等号成立。 3 3 4n4 n 4n3 n 故 T≤ · + · 4n = . 2 27 2 27 27 2n 若 n=999,则 x= =666. 3 1 1 2n 3 4n3 (2n-2x)x· x≤ ( )= 2 2 3 27

,

对于每行、 每列均有 666 个白格的染法, 上述关于 T 的不等式的等号均成立。 下面的例子就能使得每行、每列均有 666 个白格,若 i-j≡1,2,...,666(mod999) ,则将方格(i,j)染为白色,其他方格染 为红色,于是,T 的最大值为
4×9994

27

=148×9993。

9


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