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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》立体几何中的向量方法(一).ppt1105111801706

时间:2012-11-05


法门高中

姚连省
1

一、引入新课

前面,我们把 平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2

(课本第 111 页)思考 1: 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置?

在空间中,我们取一定点 O 作为基点, 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 ??? ? ??? ? O P 来表示,我们把向量 O P 称为点 P 的位置向 量. P

⑵直线

P

? a

O 二、新知 A 探究

B

空间中任 意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定. 3

⑵直线

空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

P
? a

对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t 使得

此方程称为直线的向量参数方程
??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? O P ? O A ? t a 或 O P ? x O A ? yO B ( x ? y ? 1)

A
⑶平面
?
? b

P
? a
4

O

⑶平面
空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定.
? n ? b

P
? a

对于平面 ? 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x , y ) ,使得
??? ? ? ? OP ? xa ? yb

?

O

除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
5

? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在

直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? 给定一点A和一个向量 n ,那么 ? l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的.
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; ? 3.向量n 是平面的法向量,向 ?? 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0

A

6

(课本第 113 页)思考 2:

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u , v ,则

因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置,所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗?你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗?

平行

垂直

夹角

7

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? k b ; ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ? ? ? ? ∥? ? u ∥v ? u ? kv.

注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合.

画出图形意会
8

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? ? ? l ⊥m ? a ⊥b ? a ? b ? 0 ; 线线垂直 ? ? ? ? l ⊥? ? a ∥ u ? a ? k u ; 线面垂直

面面垂直

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

画出图形意会

9

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ?
a ?b 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), c o s ? ? ? ? ; 2 a b

?

? ? a?u ? 直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), s in ? ? ? ? ; 2 a u

? ? u?v 二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), c o s ? ? ? ? . u v

画出图形意会

以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
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三、课堂练 习
练习 1.已知两点 A (1, 2,),B 2 1 ,3 ) , 求直线 AB 与坐 ? 3 ( , ? 标平面 yOz 的交点 . 2.已知两点 A 1,,) , ( 1 2 ) ,(1,,),点 Q 在 O P ( 23 B 2, , P1 2
??? ??? 上运动 ,求当 Q A ? Q B

取得最小值时 ,点 Q 的坐标 .
1

3.在正方体 ABCD ?A B C D 1 1 1 面 A C D 1 的一个法向量 .

中,求证:

???? ? D B1

是平
11

练习 ? 3 ( 1 ? 1.已知两点 A (1, 2,),B 2,, 3) , , 求直线 AB 与坐标平面 yO z 的交点.

解:设直线 AB 与 yO z 平面的交点为 C (0, y 1 , y 2 )
??? ? ??? ? ??? ? 由 O C ?(1 ? t) A ? t O B 得 O (0 ,y 1 ,z 1 ) ?(1 ? t) ? 2 , 3 ) ? t ( 2 , 1, ? 3 ) (1, ? 0 ,y 1 ,z 1 ? (1 ? t, 2 ? 3 t, ? 6 t) ( ) ? 3 ??? ? ? O C ?( 0 , 5, ? 9)

12

练习 ( 2 3 ( 12 P 12 2.已知两点 A 1,,) ,B 2,,) ,(1,,),点 Q 在 O P
??? ??? 上运动,求当 Q A ? Q B 取得最小值时,点 Q ??? ??? ? 解:设 O Q ? ? O P ? ( ? ? ? ? ? ? ) ?? ?? ? ? ∴ QA ? QB ? 6? ? ? 16? ? ?? , ??? ??? ? ∴当 ? ? 时, Q A ? Q B 取得最小值, ?
4 4 8 此时 Q ( , , ) 3 3 3

的坐标.

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练习 3:在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, 是平面 A C D 1 的法向量 证:设正方体棱长为 1, ??? ???? ???? ? ? 以 D A , D C , D D 1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz
???? ? 求证: D B 1

???? ? ???? D B 1 ? (1, 1, 1) , A C ? ( ? 1, 1, 0 ) , ???? ? A D 1 ? ( ? 1, 0 , 1) ???? ???? ? ???? ? ???? D B 1 ? A C ? 0 ,所以 D B 1 ? A C , ???? ? ???? ? 同理 D B 1 ? A D 1 又因为 A D 1 ? A C ? A ???? ? ???? ? 所 以 D B1 ? 平 面 A C D , 从 而 D B1

是平面 A C D 1 的一个法向量.
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学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A ( 3, 0, 0 ), B (0, 4, 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 ) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.

四、课堂小 结

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课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A ( 3, 0, 0 ), B (0, 4, 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 ) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.

五、作业 布置
作业:课本 P 练习 1,2

113

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问题:如何求平面的法向量?

? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? ( a 1 , b1 , c 1 ), b ? ( a 2 , b 2 , c 2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
? ? ?n ?a ? 0 ? 组? ? ? ?n ?b ? 0 ?

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

六、教后反思:

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