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高中文科数学公式及知识点速记及必考点练习


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高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b]

上是减函数。 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 若 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数.
2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数, 偶函数的图象关于 y 轴对称。 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数,奇函数的图象关于原 点对称。 3 、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 : 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线

y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 f ?( x0 ) , 相 应 的 切 线 方 程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
4、几种常见函数的导数
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x ) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数的运算法则

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

' ' ' ' ' ' (1) (u ? v) ? u ? v . (2) (uv) ? u v ? uv . (3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos ?

9、正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符

号。 10、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ;

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tan(? ? ? ) ?
11、二倍角公式

tan ? ? tan ? . 1 tan ? tan ?

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2

12、三角函数的周期: 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

2?

?

; 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数, 且 A≠0,

ω >0)的周期 T ? 13、辅助角公式

? . ?

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan ? ?
14、正弦定理

b a

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
15、余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
16、三角形面积公式

S?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

17、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 18、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos?
19、平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? 20、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

x2 ? y2

cos? ?

a ?b ab

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

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21、向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 三、数列
22、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
23、等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
24、等差数列其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

25、等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

26、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 四、不等式 x? y ? xy ,当 x ? y 时等号成立。 27、已知 x, y 都是正数,则有 2 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4 五、解析几何
28、直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 29、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 30、平面两点间的距离公式

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d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
31、点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

32、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ? 33、直线与圆的位置关系

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0

;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0

;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 Aa ? Bb ? C 其中点到直线的距离 d ? . A2 ? B 2
34、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:

? x ? a cos? . ? ? y ? b sin ?

c x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a 2 ? c 2 ? b 2 , 离 心 率 e ? ? 1 , 参 数 方 程 是 2 a a b

c x2 y2 2 2 2 双曲线: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c ? a ? b ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 a a b
y?? b x. a
抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 (

p p ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到 2 2

准线的距离. 35、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
36、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2
2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x 0 ?

p .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准 2

线的距离。 )

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37、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2

六、立体几何
38、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 39、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 40、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行) .... 41、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 42、证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交 直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另 一个平面) 43、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 44、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r
2
2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R . 3
45、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 46、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 47、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
48、平均数、方差、标准差的计算

x1 ? x 2 ? ? x n 1 2 2 2 2 方差: s ? [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ( x n ? x) ] n n 1 标准差: s ? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n 八、复数
平均数: x ? 49、复数的除法运算

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? . c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
50、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 .

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

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?? cos? ? x 51、 ? ?? sin ? ? y
十、补充

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?

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1.向量 a=(3,4),b(5,12)。求|a-b|. 2.z=3+5i,求 z/1+i, |z-2| 3.求过点(1,2),(5,6)的直线 L 的方程,及的斜率 k.若一条直线过原点且与 L 垂直(平行) ,求 出直线方程。 4. 若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,求 a,b 5..首项为-24 的等差数列{an}从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是_______ x2 y2 6. 已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上.若焦距为 4,则 m=________ 10-m m-2 x2 y2 7. 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直 → → 线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是________. 2 8. 在复平面内,复数 对应的点到直线 y=x+1 的距离是________ 1-i
?1 ?1+i?2 i2? + 9. 已知集合 A=?2i,i2,|5i2|, i ,-2 ?,则集合 A∩R 的子集个数为________ ? ?

必考点学习 ab 若 a 与 b 的夹角为@,求 sin@,tan@

10. 已知某一随机变量 X 的概率分布表如下,且 E(X)=6.3,则 a 的值为________. X P 4 0.5 a 0.1 9 b

11.求 y=-2x+3 (x<0)的反函数________ . 12.阅读如图所示的流程图,运行相应的程序,输出的结果是________.

题 12 13..先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 朝上的面的点数分别为 x、y,则 log2xy=1 的概率为________.
?f?2?≤12 ? 14.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足条件? 为事 ? ?f?-2?≤4

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件 A,则事件 A 发生的概率为________. 15. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面 积等于________. 16. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形,则这个

几何体的侧面积为________.

17. 若

∈(0,

),且

,则 是常数,

的值等于_______. 的部分图象如图所示,则

18 函数

19. 在

ABC 中 , a , b , c 分 别 为 内 角 A , B , C 所 对 的 边 长 , a= ,求边 BC 上的高.

, b=



20. 如图,60°的二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平 面 内 , 且 都 垂 直 AB , 已 知 AB = 4 , AC = 6 , BD = 8 , 求 CD 的 长 .

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