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湖北省黄冈市黄梅一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(文科)


2014-2015 学年湖北省黄冈市黄梅一中高一 (上) 期中数学试卷 (文 科)
一、选择题 1. (5 分)sin(﹣660°)=() A. B. ﹣ C. D.﹣

2. (5 分)把﹣495°表示成 K?360°+θ(k∈Z)的形式,其中使|θ|最小的 θ 值是() A.﹣135° B.﹣45° C.45° D.135° 3. (5 分)若

cosθ>0,且 sin2θ<0,则角 θ 的终边所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. (5 分)已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ A.7 B. )= ,则 tan(α+ C. 1 )=() D.﹣1

5. (5 分)下列函数中,周期为 1 的奇函数是() A.y=1﹣2sin πx
2

B.

C.

D.y=sinπxcosπx

6. (5 分)若 α 是三角形的一个内角,且 sinα+cosα= ,则三角形的形状为() A.钝角三角形 B.锐角三角形
2

C.直角三角形

D.无法确定

7. (5 分)一个扇形 OAB 的面积是 1cm ,它的周长是 4cm,则弦|AB|=() A.sin1 B.cos1 C.2sin1 D.sin2 8. (5 分)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 A. B. 1 C. 对称,那么 a 等于() D.﹣1

9. (5 分)已知 sinα﹣cosα=2sinα?cosα,则 sin2α 的值为() A. B. C. D.

10. (5 分)将函数

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移

个单位,得到的函数的一个对称中心() A. B. C. ( ) D.( )

二、填空题 11. (5 分)已学科王知 sinφ=﹣ ,|φ|< ,则 tanφ=.

12. (5 分)sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=. 13. (5 分)函数
2

为增函数的区间是.

14. (5 分)函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为. 15. (5 分)三角函数式: ①y=3sin(2x﹣ ③y=3sin(2x﹣ 其中,在[ , ) ) ②y=3sin(2x+ ④y=3sin(2x+ ) )

]上的图象如图所示,函数是. (填上所有符合条件的函数序号)

三、解答题 16. (12 分) (1)求值 ;

(2)化简



17. (12 分)已知函数



(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 α 在第一象限且 ,求 f(α) .

18. (12 分)已知函数 f(x)=sin wx+ (1)求 w 的值; (2)若不等式 f(x)≥m 对 x∈[0,

2

sinwxsin(wx+

) (w>0)的最小正周期为 π.

]都成立,求 m 的最大值.

19. (12 分)已知 cos(x+

)= ,

<x<

,求

的值.

20. (13 分)若关于 x 的二次方程 ax +(2a﹣3)x+a﹣2=0 的两根为 tanα、tanβ. (1)若 a= ,求 tan(α﹣β)的值; (2)求 tan(α+β)的最小值. 21. (14 分)已知函数 f(x)=Asinwx+Bcoswx(其中 A、B、w 是常数 w>0)的最小周期为 2,并且当 x= 取得最大值 2. (1)求函数 f(x)的表达式 (2)在闭区间[ 在,说明理由. , ]上是否存在 f(x)对称轴,如果存在,求出其对称轴方程;如果不存

2

2014-2015 学年湖北省黄冈市黄梅一中高一(上)期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分)sin(﹣660°)=() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 专题: 分析: 解答: =cos30°=

运用诱导公式化简求值. 三角函数的求值. 利用诱导公式,把 sin660°等价转化为﹣cos30°,由此能求出结果. 解:sin(﹣660°)=﹣sin660°=﹣sin300° .

故选 C. 点评: 本题考查三角函数的诱导公式的灵活运用,是基础题.解题时要注意三角函数符号 的变化. 2. (5 分)把﹣495°表示成 K?360°+θ(k∈Z)的形式,其中使|θ|最小的 θ 值是() A.﹣135° B.﹣45° C.45° D.135° 考点: 终边相同的角. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用﹣495°=﹣135°﹣360°, 它的终边与﹣135°的终边相同, 故使|θ|最小的 θ 为﹣135° 解答: 解:﹣495°=﹣135°﹣360°,它的终边与﹣135°的终边相同,在第三象限内, 故选:A. 点评: 本题考查终边相同的角的表示方法,考查基本概念,基本知识的熟练程度,是基础 题. 3. (5 分)若 cosθ>0,且 sin2θ<0,则角 θ 的终边所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 象限角、轴线角;三角函数值的符号. 分析: sin2θ=2sinθcosθ,因为 cosθ>0,所以 sinθ<0,可以判定角 θ 的终边所在象限. 解答: 解:由 sin2θ=2sinθcosθ,因为 cosθ>0,所以 sinθ<0,可以判定角 θ 的终边所在象 限第四象限. 故选 D. 点评: 本题考查象限角,三角函数值的符号,二倍角的正弦,是基础题.

4. (5 分)已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ A.7 B.

)= ,则 tan(α+ C. 1

)=() D.﹣1

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: α+ =(α+β)﹣(β﹣ ) ,依题意,利用两角差的正切即可求得答案. ) ,tan(α+β)= ,tan(β﹣ )= ,

解答: 解:α+

=(α+β)﹣(β﹣

∴tan(α+

)=tan[(α+β)﹣(β﹣

)]=

=

= .

故选:B. 点评: 本题考查两角和与差的正切函数,分析得到 α+ 于中档题. 5. (5 分)下列函数中,周期为 1 的奇函数是() A.y=1﹣2sin πx
2

=(α+β)﹣(β﹣

)是关键,属

B.

C.

D.y=sinπxcosπx

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题. 分析: 对 A 先根据二倍角公式化简为 y=cos2πx 为偶函数,排除;对于 B 验证不是奇函数可 排除;对于 C 求周期不等于 1 排除;故可得答案. 解答: 解:∵y=1﹣2sin πx=cos2πx,为偶函数,排除 A. ∵对于函数 数,排除 B. 对于 ,T= ≠1,排除 C. ,f(﹣x)=sin(﹣2πx+ )≠﹣sin(2πx+ ) ,不是奇函
2

对于 y=sinπxcosπx= sin2πx,为奇函数,且 T=

,满足条件.

故选 D. 点评: 本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法,一般先将函数化简为 y=Asin (wx+ρ)的形式,再由最小正周期的求法 T= 、奇偶性的性质、单调性的判断解题.

6. (5 分)若 α 是三角形的一个内角,且 sinα+cosα= ,则三角形的形状为() A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 把所给的等式两边平方, 得 2sinαcosα<0, 在三角形中, 只能 cosα<0, 只有钝角 cosα <0,故 α 为钝角,三角形形状得判. 解答: 解:∵(sinα+cosα) =
2

,∴2sinαcosα=﹣



∵α 是三角形的一个内角,则 sinα>0, ∴cosα<0, ∴α 为钝角,∴这个三角形为钝角三角形.

故选 A. 点评: 把和的形式转化为乘积的形式,易于判断三角函数的符号,进而判断出角的范围, 最后得出三角形的形状. 7. (5 分)一个扇形 OAB 的面积是 1cm ,它的周长是 4cm,则弦|AB|=() A.sin1 B.cos1 C.2sin1 D.sin2 考点: 扇形面积公式. 专题: 三角函数的求值. 2 分析: 设扇形的中心角为 α,半径为 r.根据扇形 OAB 的面积是 1cm ,它的周长是 4cm, 可得 =1,2r+αr=4,解出即可.
2

解答: 解:设扇形的中心角为 α,半径为 r. 2 ∵扇形 OAB 的面积是 1cm ,它的周长是 4cm, ∴ =1,2r+αr=4,

解得 α=2,r=1. ∴弦|AB|=2sin1. 故选:C. 点评: 本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式,属于基础题.

8. (5 分)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 A. B. 1 C.

对称,那么 a 等于() D.﹣1

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 将函数 y=sin2x+acos2x 利用辅角公式化简,再根据正弦函数在对称轴上取最值可得 方程,进而可得答案. 解答: 解:由题意知 y=sin2x+acos2x= 当 将 sin(2x+φ)

时函数 y=sin2x+acos2x 取到最值± 代入可得:sin[2×( )]+acos[2×( )]=

解得 a=﹣1 故选 D. 点评: 本题的考点是正弦型三角函数,主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性 问题,考查学生分析解决问题的能力.属基础题. 9. (5 分)已知 sinα﹣cosα=2sinα?cosα,则 sin2α 的值为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 出. 解答:
2

二倍角的正弦. 三角函数的求值. sinα﹣cosα=2sinα?cosα,两边平方,利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得 解:∵sinα﹣cosα=2sinα?cosα,
2 2

∴sin α+cos α﹣2sinαcosα=(sin2α) , 2 化为(sin2α) +sin2α﹣1=0, 解得 sin2α= ∴sin2α= . ,其中 <﹣1 舍去.

故选:B. 点评: 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式,属于基础题.

10. (5 分)将函数

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移

个单位,得到的函数的一个对称中心() A. B. C. ( ) D.( )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质进行 验证:若 f(a)=0,则(a,0)为一个对称中心,确定选项. 解答: 解:函数 析式为 再向右平移 当 x= 个单位得到图象的解析式为 =sin2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到图象的解

时,y=sinπ=0,所以

是函数 y=sin2x 的一个对称中心.

故选 A. 点评: 本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质.是三角函数中的重点知 识,在试题中出现的频率相当高. 二、填空题 11. (5 分)已学科王知 sinφ=﹣ ,|φ|< ,则 tanφ=﹣ .

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值.

分析: 先根据已知,确定﹣ 故可求 tanφ 的值. 解答: 解:已知 sinφ=﹣ 故有,﹣ 故有 cosφ= 故有 tanφ= =﹣ <φ<0, = , ,

<φ<0,再根据同角三角函数间的基本关系求出 cosφ 的值,

,|φ|<



故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考察了同角三角函数间的基本关系,属于基础题.

12. (5 分)sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=﹣ .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 先利用诱导公式 sin83°cos53°=cos7°sin37°,然后逆用两角差的正弦公式化简求值. 解答: 解:sin7°cos37°﹣sin83°cos53° =sin7°cos37°﹣cos7°sin37° =sin(7°﹣37°) =sin(﹣30°) =﹣ . 故答案为 .

点评: 本题主要考查了两角差的正弦公式的逆用,在逆用公式时要注意先化成公式的标准 形式. ].

13. (5 分)函数

为增函数的区间是[



考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 在三角函数式中先把 x 的系数用诱导公式变为正,表现出来是负号提前,这样要求 函数的增区间变成了去掉负号后的函数的减区间, 据正弦函数的减区间求出结果, 写出在规定 的范围的区间. 解答: 解:∵y=2sin( ∴只要求 y=2sin(2x﹣ ﹣2x)=﹣2sin(2x﹣ )的减区间, ) ,

∵y=sinx 的减区间为[2kπ+ ∴2x﹣ ∴x ∵x∈[0,π], ∴ 故答案为:[ , , ]. ∈[2kπ+ ,2k

,2kπ+ ], ,

],

点评: 在三角函数单调性运算时,若括号中给出的角自变量的系数为负,一定要先用诱导 公式把负号变正,否则,计算出的单调区间刚好相反,原因是复合函数单调性引起的. 14. (5 分)函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为[ ,4].
2

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由三角函数知识化简可得 y=2(sinx﹣ ) + ,令 sinx=t,则 t∈[﹣1,1],研究二次 函数 y=2(t﹣ ) + 的单调性和值域即可. 解答: 解:化简可得 y=3﹣sinx﹣2cos x 2 =3﹣sinx﹣2(1﹣sin x) 2 =2sin x﹣sinx+1 =2(sinx﹣ ) + , 令 sinx=t,则 t∈[﹣1,1], 由二次函数可知 y=2(t﹣ ) + 在 t∈[﹣1, ]单调递减,在 t∈[ ,1]单调递增, ∴当 t= 时,上取到最小值 , 当 t=﹣1 时,上取到最大值 4 故答案为:[ ,4] 点评: 本题考查复合三角函数的单调性和最值,换元是解决问题的关键,属基础题. 15. (5 分)三角函数式: ①y=3sin(2x﹣ ) ②y=3sin(2x+ )
2 2 2 2 2

③y=3sin(2x﹣ 其中,在[ ,



④y=3sin(2x+



]上的图象如图所示,函数是①②. (填上所有符合条件的函数序号)

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据图象可得函数在[ , ]上是增函数,且函数值由﹣3 增大到 3.根据 x∈[ ,

],对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论. 解答: 解:根据图象可得函数在[ 根据 x∈[ 可得 2x﹣ 3 增大到 3. 可得 2x+ 增大到 3. 可得 2x﹣ 条件. 可得 2x+ ∈[π,2π],故 y=3sin(2x+ )在[ , ]上不是增函数,不满足条件. ∈[﹣ , ],故 y=3sin(2x﹣ ) 在[ , ]上不是增函数,不满足 ∈[ , ],故 y=3sin(2x+ )在[ , ]上是增函数,且函数值由﹣3 , ], ∈[﹣ , ],故 y=3sin(2x﹣ )在[ , ]上是增函数,且函数值由﹣ , ]上是增函数,且函数值由﹣3 增大到 3.

故答案为:①②. 点评: 本题主要考查正弦函数的增区间,正弦函数的定义域和值域,属于基础题. 三、解答题 16. (12 分) (1)求值 ;

(2)化简



考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: (1)1=sin 40°+cos 40°,利用同角三角函数的关系式化简即可; (2)利用同角三角函数的关系式化简即可求值. 解答: 解: (1)原式= (2)原式= = =1 =1

点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,属于基础题.

17. (12 分)已知函数



(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 α 在第一象限且 ,求 f(α) .

考点: 正弦函数的定义域和值域;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)根据函数解析式中分母不为 0 求得 x 的范围,求得函数的定义域. (Ⅱ)根据 α 所在的象限和 cosα,求得 sinα 的值,进而利用两角和公式和二倍角公式对函数 f(x)的解析式化简整理,把 sinα 的值代入即可求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 故 f(x)的定义域为 ≠0 得 x+ ≠kπ,即 x≠ . ,

(Ⅱ)由已知条件得



从而

= = = .

点评: 本题主要考查了正弦函数的定义域和值域,考查了对三角函数基础知识的掌握.

18. (12 分)已知函数 f(x)=sin wx+ (1)求 w 的值; (2)若不等式 f(x)≥m 对 x∈[0,

2

sinwxsin(wx+

) (w>0)的最小正周期为 π.

]都成立,求 m 的最大值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先对三角关系式进行恒等变换,以函数的周期为突破口,进一步确定函数的 解析式. (2)利用(1)的结论,根据函数的定义域确定函数的值域,进一步利用恒成立问题,求出 m 的值. 解答: 解: (1)f(x)=sin wx+ = 由于函数的周期为:π 则:T= 所以:ω=1 (2)由(1)得:f(x)= 已知 x∈[0, 所以: 则: 0≤f(x)≤ 不等式 f(x)≥m 对 x∈[0, ]都成立 ] =π
2

sinwxsin(wx+

)=

+

只需满足 m≤f(x)min 即可 则:m≤0,即:m 的最大值为 0. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,利用函数的周期确定函数的解 析式,利用函数的定义域求三角函数的值域,恒成立问题的应用.

19. (12 分)已知 cos(x+

)= ,

<x<

,求

的值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 三角函数的求值.

分析: 利用二倍角公式可将原式化为原式=

=sin2xtan(x+

) ,依题

意,再分别求得 sin2x 与 tan(x+ 解答: (12 分) 解:原式=

)的值,代入即可求得答案.

=sin2xtan(x+

) , (2 分)

∵cos(x+ ∴sin(x+

)= ,

<x<



<x+

<2π,

)=﹣ ,tan(x+
2

)=﹣ , (4 分) )= , (4 分)

sin2x=﹣cos(2x+ ∴原式=

)=1﹣2cos (x+ (2 分)

×(﹣ )=﹣

点评: 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,属于中档题. 20. (13 分)若关于 x 的二次方程 ax +(2a﹣3)x+a﹣2=0 的两根为 tanα、tanβ. (1)若 a= ,求 tan(α﹣β)的值; (2)求 tan(α+β)的最小值. 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)当 a= 时,解方程 x ﹣ x﹣ =0,可得 x=1 或 x=﹣ ; 从而有
2 2



,利用两角差的正切即可求得答案;

(2)依题意,tanα+tanβ=﹣ ﹣a≥﹣ ,从而可得答案. 解答: (13 分) 解: (1)当 a= 时,

,tanα?tanβ=

,于是 tan(α+β)=

=

原方程为 x ﹣ x﹣ =0,即 5x ﹣2x﹣3=0, 解得 x=1 或 x=﹣ ;

2

2







∴tan (α﹣β) =

=

=4, 或 tan (α﹣β) =

=

=

﹣4. (6 分) (2)方程 ax +(2a﹣3)x+a﹣2=0 有实根,则
2



∴a≤ 且 a≠0, 由韦达定理,得 tanα+tanβ=﹣ ,tanα?tanβ= ,

∴tan(α+β)= ﹣a≥﹣ , ∴tan(α+β)的最小值为﹣ . (13 分) 点评: 本题考查两角和与差的正切函数,考查方程思想与运算求解能力,属于中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=Asinwx+Bcoswx(其中 A、B、w 是常数 w>0)的最小周期为 2,并且当 x= 取得最大值 2. (1)求函数 f(x)的表达式 (2)在闭区间[ 在,说明理由. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数;正弦函数的 对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用辅助角公式可知 f(x)=2sin(πx+θ) ,又 f( )=2sin( 可求得 θ= (2) πx+ ≤x≤ =4π+ ,于是可得函数 f(x)的表达式; ?4π+ ≤πx+ ≤4π+ (k∈Z) ,利用正弦函数的单调性质可知,当 ,于是可得答案. ) +θ)=2,|θ|< , , ]上是否存在 f(x)对称轴,如果存在,求出其对称轴方程;如果不存

时,f(x)有最小值﹣2,解得 x=

解答: 解: (1)f(x)=

sin(wx+θ) (其中 θ 为辅助角|θ|<

由题意得

=2,

=2,∴w=π; +θ)=2,|θ|< ,

∴f(x)=2sin(πx+θ) ,又 f( )=2sin( ∴θ= ,∴f(x)=2sin(πx+ ≤x≤ =4π+ , ,∴ ≤πx+ ) , (6 分) ≤

(2)∵ 当 πx+

,即 4π+

≤πx+ ; .

≤4π+

(k∈Z) ,

时,f(x)有最小值﹣2,解得 x=

∴在闭区间[

]上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x=

点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查辅助角公式的应用,突出考查正弦函数的单 调性与对称轴,属于中档题.


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