苏州市高三数学二轮复习示范课教案--1.等差或等比数列的通项公式探索(吴蕾).doc

等差或等比数列的通项公式探索
吴江高级中学 吴 蕾 一、复习要点 1.由已知等差数列或等比数列公式求通项；2.由递推关系式求通项公式; 3.由 Sn 与 an 关系式求通项； 4.由等差或等比数列的性质求通项公式. 二、考点回顾 1.（09 江苏卷 18 题改编）设 ?an ? 是公差不为零的等差数列， Sn 为其前 n 项和， 满足 a22 ? a32 ? a42 ?

a52 , S7 ? 7 ，则数列 ?an ? 的通项公式为 ．

2. （10 年新课标卷 17 改编） 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ，an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 ， 则数列 ?an ? 的通项公式为 ．

3. 已知数列 {an } 的首项为 1，前 n 项和为 S n ，且 Sn?1 ? 2an( n ?2, n ? N * ，则 ?Sn ? 通项 ) 公式为 ， {an } 的通项公式为 ．

4.（09 年重庆卷 14 题）设 a1 ? 2 ， an ?1 ? 的通项公式 bn = ．

a ?2 2 * ， bn ? n ， n ? N ，则数列 ?bn ? an ? 1 an ? 1

5.(08 陕西)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 为 ．

3 3an ，? ， an ?1 ? ， n ? 1 2， 则 {an } 的通项公式 5 2an ? 1

三、典型例题 例 1 （10 年江苏 19（1） ）设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，已知 （1）求数列 ?an ? 的通项公式（用 n, d 表示）.

2a2 ? a1 ? a3 ，数列

? S ?是公差为 d 的等差数列.
n

1

变 式 ： 设各项 均为 正数的 等差 数列 {an } 的 前 n 项 和为 S n ， a1 ? 1 ， 如 果存 在 ．．

? 2n ? m ? k ? m, n, k ? N * (m ? n ? k ) ，使得 ? 成立，求数列 {an } 的通项公式。 ?2 Sn ? Sm ? Sk ?

例 2 （2012 年南通二模）设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* ，存在
k ? N* ，使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立，则称数列{ a n }为“Jk 型”数列．

（1）若数列{ a n }是“J2 型”数列，且 a2 ? 8 ， a8 ? 1 ，求 a2n ； （2）若数列{ a n }既是“J3 型”数列，又是“J4 型”数列，证明：数列{ a n }是等比数列.

2

思考题： （10 年江苏卷 20）设 M 部分为正整数组成的集合，数列 {an } 的首项a1 ? 1 ， 前 n 项和为 S n ， 已知对任意整数 k ? M ， 当整数 n ? k时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立. （1）设 M ? {1}, a2 ? 2, 求a5 的值； （2）设 M ? {3,4}, 求数列 an } 的通项公式 {

三、巩固检测 1. 12 年辽宁理 14 题） （ 已知等比数列 n｝ ｛a 为递增数列， a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ， 且 2 则数列｛an｝的通项公式 an =______________．

2. （07 年全国 2 理改编） 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,1) , an ?

3 ? an ?1 ，n ? 2，4，… ． 3， 则 2

{an } 的通项公式为

．

3.（04 年全国理 22）设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 Sn ? 2an ? (?1)n (n ? 1) ，则数 列 {an } 的通项公式为 .

4.（09 年全国卷Ⅰ理改编）在数列 {an } 中，a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? 则数列 {bn } 的通项公式为 ．

1 n

a n ?1 ，设 bn ? n ， n 2 n

3

1 3 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ，且前 n 项和 Sn 满
足 Sn － S n?1 = S n + S n?1 （ n ? 2 ） ．求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式．

5.（09 年广东卷文）已知点（1， ）是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ）的图象上一点，

6.（10 年湖北理 20 第一问）已知数列 {an } 满足: a1 ?

3(1 ? an ?1 ) 2(1 ? an ) 1 ? ， ， 1 ? an 1 ? an ?1 2

an an?1 ? 0(n ? 1) ；数列 {bn } 满足： bn ? an?12 ? an 2 (n ? 1) ，求数列 {an } ， {bn } 的通项公
式． 7.（12 年广东理 19）设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1， n ? N * ， 且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列． （1） 求 a1 的值； （2） 求数列 ?an ? 的通项公式．

8. （ 12 年 广 东 文 ） 设 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 Sn ， 数 列 ?Sn ? 前 n 项 和 为 Tn ， 满 足

（2）求数列 ?an ? 的通项公式．

Tn ? 2Sn ? n2 ， n ? N * . (1)求 a1 的值；

9.（08 年山东理 19 改编）已知数列 {bn } ， b1 ? 1 ， Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和，且满足 2bn ? 1（n≥2） ，求数列 {bn } 的通项公式． bn S n ? S n 2

10.(09 全国 2 理 19)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 ， （1）设 bn ? an?1 ? 2an ，证明数列 {bn } 是等比数列 ；
；

（2）求数列 {an } 的通项公式．

4

关于本节课的设计意图 一、高考趋势 数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是初等数论与高等数学知识的接轨 之处，深受命题人员的青睐，是高考重点考查内容之一。江苏卷的数列综合题的趋势主 要是以等差数列和等比数列为背景，考查等差或等比数列的定义、性质、通项公式与前 n 项和公式等，注重数列内部知识的综合，注重思想方法和探索能力的考查。在新高考 中，08 年、10 年、11 年都出现以奇数列 1，3，5，7，?为原型，考查数列的基础知识 和学生的推理能力。 二、本节课的教学目标 1.巩固求数列通项公式的基本方法：公式法，累加、累乘法，简单递推式求法； 2.由等差或等比数列的性质或衍生的性质探索通项公式，培养学生的逻辑思维能力与推 理能力。 三、选题说明 1.考点回顾的题目主要考查内容是： (1)等差数列的公式及性质求通项公式； (2)累加法求通项； (3) Sn 与 an 关系式求通项，并体现 Sn 与 an 之间的互化； (4)计算 bn ?1 得到 bn ?1 ? 2bn 这个递推关系式，再用公式求通项。同时渗透小题或难题可用 计算前几项进行归纳的思想； (5)取倒数后化为 an?1 ? pan ? q （ p, q 为常数） ； 2.例题设计 （1）例 1 由 Sn 与 an 关系式，并根据题意找出 a1 与 d 的关系，再将通项用 n , d 表示。 例 1 的变式是将探究命题“ Sn 是等差数列时，?an ? 从第二项起为等差数列”的逆命题 是否成立，从而推广到一般性。 (2)例 2 （2012 年南通二模） 设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* ， 存在 k ? N* ， 使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立，则称数列{ a n }为“Jk 型”数列． （1）若数列{ a n }是“J2 型”数列，且 a2 ? 8 ， a8 ? 1 ，求 a2n ； （2）若数列{ a n }既是“J3 型”数列，又是“J4 型”数列，证明：数列{ a n }是等比数 列.
a 解： （1）由题意，得 a 2 ， a 4 ， a 6 ， a8 ，?成等比数列，且公比 q ? 8 a2

? ?

1 3

?1， 2

所以 a2n ? a2 qn?1 ? 1 2

??

n?4

．

（2）证明：由{ a n }是“ J 4 型”数列，得
a1 ， a 5 ， a 9 ， a13 ， a17 ， a21 ，?成等比数列，设公比为 t .
5

由{ a n }是“ J 3 型”数列，得
a1 ， a 4 ， a 7 ， a10 ， a13 ，?成等比数列，设公比为 ? 1 ； a 2 ， a 5 ， a8 ， a11 ， a14 ，?成等比数列，设公比为 ? 2 ； a 3 ， a 6 ， a 9 ， a12 ， a15 ，?成等比数列，设公比为 ?3 ；

则

a13 a a ? ?14 ? t 3 ， 17 ? ?24 ? t 3 ， 21 ? ?34 ? t 3 ． a1 a5 a9
4

所以 ?1 ? ?2 ? ?3 ，不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ，且 t ? ? 3 ． 于是 a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3 k ?2) ?1

，

a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1 ? a1

? ??
3 3

(3k ?1) ?1

，

k ?1 3

? ??

3k ?1

，

所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

，故{ a n }为等比数列．

说明：本题类似于 10 年江苏卷 20 题，是对等比数列的性质与通项的探求。

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