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苏州市高三数学二轮复习示范课教案--1.等差或等比数列的通项公式探索(吴蕾).doc


等差或等比数列的通项公式探索
吴江高级中学 吴 蕾 一、复习要点 1.由已知等差数列或等比数列公式求通项;2.由递推关系式求通项公式; 3.由 Sn 与 an 关系式求通项; 4.由等差或等比数列的性质求通项公式. 二、考点回顾 1.(09 江苏卷 18 题改编)设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和, 满足 a22 ? a32 ? a42 ?

a52 , S7 ? 7 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 .

2. (10 年新课标卷 17 改编) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 , 则数列 ?an ? 的通项公式为 .

3. 已知数列 {an } 的首项为 1,前 n 项和为 S n ,且 Sn?1 ? 2an( n ?2, n ? N * ,则 ?Sn ? 通项 ) 公式为 , {an } 的通项公式为 .

4.(09 年重庆卷 14 题)设 a1 ? 2 , an ?1 ? 的通项公式 bn = .

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? an ? 1 an ? 1

5.(08 陕西)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 为 .

3 3an ,? , an ?1 ? , n ? 1 2, 则 {an } 的通项公式 5 2an ? 1

三、典型例题 例 1 (10 年江苏 19(1) )设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示).

2a2 ? a1 ? a3 ,数列

? S ?是公差为 d 的等差数列.
n

1

变 式 : 设各项 均为 正数的 等差 数列 {an } 的 前 n 项 和为 S n , a1 ? 1 , 如 果存 在 ..

? 2n ? m ? k ? m, n, k ? N * (m ? n ? k ) ,使得 ? 成立,求数列 {an } 的通项公式。 ?2 Sn ? Sm ? Sk ?

例 2 (2012 年南通二模)设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* ,存在
k ? N* ,使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立,则称数列{ a n }为“Jk 型”数列.

(1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数列.

2

思考题: (10 年江苏卷 20)设 M 部分为正整数组成的集合,数列 {an } 的首项a1 ? 1 , 前 n 项和为 S n , 已知对任意整数 k ? M , 当整数 n ? k时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立. (1)设 M ? {1}, a2 ? 2, 求a5 的值; (2)设 M ? {3,4}, 求数列 an } 的通项公式 {

三、巩固检测 1. 12 年辽宁理 14 题) ( 已知等比数列 n} {a 为递增数列, a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 , 且 2 则数列{an}的通项公式 an =______________.

2. (07 年全国 2 理改编) 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,1) , an ?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… . 3, 则 2

{an } 的通项公式为



3.(04 年全国理 22)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 Sn ? 2an ? (?1)n (n ? 1) ,则数 列 {an } 的通项公式为 .

4.(09 年全国卷Ⅰ理改编)在数列 {an } 中,a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? 则数列 {bn } 的通项公式为 .

1 n

a n ?1 ,设 bn ? n , n 2 n

3

1 3 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满
足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ) .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式.

5.(09 年广东卷文)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,

6.(10 年湖北理 20 第一问)已知数列 {an } 满足: a1 ?

3(1 ? an ?1 ) 2(1 ? an ) 1 ? , , 1 ? an 1 ? an ?1 2

an an?1 ? 0(n ? 1) ;数列 {bn } 满足: bn ? an?12 ? an 2 (n ? 1) ,求数列 {an } , {bn } 的通项公
式. 7.(12 年广东理 19)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, n ? N * , 且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列. (1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式.

8. ( 12 年 广 东 文 ) 设 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 Sn , 数 列 ?Sn ? 前 n 项 和 为 Tn , 满 足

(2)求数列 ?an ? 的通项公式.

Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * . (1)求 a1 的值;

9.(08 年山东理 19 改编)已知数列 {bn } , b1 ? 1 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,且满足 2bn ? 1(n≥2) ,求数列 {bn } 的通项公式. bn S n ? S n 2

10.(09 全国 2 理 19)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 , (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 ;


(2)求数列 {an } 的通项公式.

4

关于本节课的设计意图 一、高考趋势 数列是特殊的函数,是高中数学的重点内容,也是初等数论与高等数学知识的接轨 之处,深受命题人员的青睐,是高考重点考查内容之一。江苏卷的数列综合题的趋势主 要是以等差数列和等比数列为背景,考查等差或等比数列的定义、性质、通项公式与前 n 项和公式等,注重数列内部知识的综合,注重思想方法和探索能力的考查。在新高考 中,08 年、10 年、11 年都出现以奇数列 1,3,5,7,?为原型,考查数列的基础知识 和学生的推理能力。 二、本节课的教学目标 1.巩固求数列通项公式的基本方法:公式法,累加、累乘法,简单递推式求法; 2.由等差或等比数列的性质或衍生的性质探索通项公式,培养学生的逻辑思维能力与推 理能力。 三、选题说明 1.考点回顾的题目主要考查内容是: (1)等差数列的公式及性质求通项公式; (2)累加法求通项; (3) Sn 与 an 关系式求通项,并体现 Sn 与 an 之间的互化; (4)计算 bn ?1 得到 bn ?1 ? 2bn 这个递推关系式,再用公式求通项。同时渗透小题或难题可用 计算前几项进行归纳的思想; (5)取倒数后化为 an?1 ? pan ? q ( p, q 为常数) ; 2.例题设计 (1)例 1 由 Sn 与 an 关系式,并根据题意找出 a1 与 d 的关系,再将通项用 n , d 表示。 例 1 的变式是将探究命题“ Sn 是等差数列时,?an ? 从第二项起为等差数列”的逆命题 是否成立,从而推广到一般性。 (2)例 2 (2012 年南通二模) 设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* , 存在 k ? N* , 使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立,则称数列{ a n }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数 列.
a 解: (1)由题意,得 a 2 , a 4 , a 6 , a8 ,?成等比数列,且公比 q ? 8 a2

? ?

1 3

?1, 2

所以 a2n ? a2 qn?1 ? 1 2

??

n?4



(2)证明:由{ a n }是“ J 4 型”数列,得
a1 , a 5 , a 9 , a13 , a17 , a21 ,?成等比数列,设公比为 t .
5

由{ a n }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a 4 , a 7 , a10 , a13 ,?成等比数列,设公比为 ? 1 ; a 2 , a 5 , a8 , a11 , a14 ,?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a 3 , a 6 , a 9 , a12 , a15 ,?成等比数列,设公比为 ?3 ;



a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ?24 ? t 3 , 21 ? ?34 ? t 3 . a1 a5 a9
4

所以 ?1 ? ?2 ? ?3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ,且 t ? ? 3 . 于是 a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3 k ?2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1 ? a1

? ??
3 3

(3k ?1) ?1



k ?1 3

? ??

3k ?1



所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

,故{ a n }为等比数列.

说明:本题类似于 10 年江苏卷 20 题,是对等比数列的性质与通项的探求。

6


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