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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.3(一)


§ 2.3
一、基础过关

数学归纳法(一)

1. 某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时, 该命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题成立,那么可推导出 A.当 n=6 时命题不成立 B.当 n=6 时命题成立 C.当 n=4 时命题不成立 D.当 n=4 时命题成立 2.

一个与正整数 n 有关的命题,当 n=2 时命题成立,且由 n=k 时命题成立可以推得 n= k+2 时命题也成立,则 ( ) ( )

A.该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与 k 取值无关 D.以上答案都不对 1 3. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步验证 n 等于( 2 A.1 B.2 C.3 D.0 )

1 1 1 4. 若 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*),则 n=1 时 f(n)是 2 3 2n+1 ( A.1 1 1 C.1+ + 2 3 ) 1 B. 3 D.以上答案均不正确 ( )

1 1 1 1 5. 已知 f(n)= + + +?+ 2,则 n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4

an 6. 在数列{an}中,a1=2,an+1= (n∈N*),依次计算 a2,a3,a4,归纳推测出 an 的通 3an+1 项表达式为 2 A. 4n-3 2 C. 4n+3 二、能力提升 7. 用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)?(n+n)=2n· 1· 3· ?· (2n-1)(n∈N*),从 k 到 k+1 左 端需要增乘的代数式为 A.2k+1 2k+1 C. k+1 8. 已知 f(n)= B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 1 1 1 + +?+ (n∈N*),则 f(k+1)=________. n+1 n+2 3n-1 ( ) 2 B. 6n-5 2 D. n 2 -1 ( )

9. 以下用数学归纳法证明“2+4+?+2n=n2+n(n∈N*)”的过程中的错误为 ____________________________________________________________________. 证明:假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 2+4+?+2k=k2+k,那么 2+4+?+2k +2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1), 即当 n=k+1 时等式也成立.因此对于任 何 n∈N*等式都成立. 10.用数学归纳法证明 1 1 1 1 2 (1- )(1- )(1- )?(1- )= (n∈N*). 3 4 5 n+2 n+2 11.用数学归纳法证明:
- - n?n+1? 12-22+32-42+?+(-1)n 1· n2=(-1)n 1· . 2

12.已知数列{an}的第一项 a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N*),Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. 三、探究与拓展 n?n+1? 2 13.是否存在常数 a、b、c,使得等式 1×22+2×32+3×42+?+n(n+1)2= (an + 12 bn+c)对一切正整数成立?并证明你的结论.

答案
1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B 1 1 1 1 8.f(k)+ + + - 3k 3k+1 3k+2 k-1 9.缺少步骤归纳奠基 10.证明 1 2 2 2 (1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= = ,等式成立. 3 3 1+2 3

(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 1 1 1 1 2 (1- )(1- )(1- )?(1- )= , 3 4 5 k+2 k+2 当 n=k+1 时, 2?k+2? 1 1 1 1 1 2 1 2 (1- )(1- )(1- )?(1- )· (1- )= (1- )= = , 3 4 5 k+2 k+3 k+2 k+3 ?k+2??k+3? k+3 所以当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可知,对于任意 n∈N*等式都成立. 11.证明 (1)当 n=1 时,左边=1,右边=(-1)1 1×


1×2 =1, 2

结论成立. (2)假设当 n=k 时,结论成立.
- - k?k+1? 即 12-22+32-42+?+(-1)k 1k2=(-1)k 1· , 2

那么当 n=k+1 时, 12-22+32-42+?+(-1)k 1k2+(-1)k(k+1)2
- - k?k+1? =(-1)k 1· +(-1)k(k+1)2 2

-k+2k+2 =(-1)k· (k+1) 2 ?k+1??k+2? =(-1)k· . 2 即 n=k+1 时结论也成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n 都有此结论成立. 12.(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10, a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,
? ?n=1? ?5 猜想 an=? . n-2 * ?5×2 , ?n≥2,n∈N ? ?

(2)证明 ①当 n=2 时,a2=5×22 2=5,公式成立.


②假设 n=k(k≥2,k∈N*)时成立,即 ak=5×2k 2,


当 n=k+1 时,由已知条件和假设有 ak+1=Sk=a1+a2+a3+?+ak =5+5+10+?+5×2k 2.


5?1-2k 1? - =5+ =5×2k 1. 1-2


故 n=k+1 时公式也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n 2.


所以数列{an}的通项公式为
?5 ? an=? n-2 ? ?5×2

?n=1? ?n≥2,n∈N*?

.

13.解 假设存在 a、b、c 使上式对 n∈N*均成立,则当 n=1,2,3 时上式显然也成立, 1×2 = ?a+b+c?, ? 6 ? 1 此时可得? 1×2 +2×3 = ?4a+2b+c?, 2 ? ?1×2 +2×3 +3×4 =9a+3b+c,
2 2 2 2 2 2

1

解此方程组可得 a=3,b=11,c=10, 下面用数学归纳法证明等式 1×22+2×32+3×42+?+n(n+1)2= 10)对一切正整数均成立. (1)当 n=1 时,命题显然成立. (2)假设 n=k 时,命题成立. k?k+1? 2 即 1×22+2×32+3×42+?+k(k+1)2= (3k +11k+10), 12 则当 n=k+1 时,有 1· 22+2· 32+?+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 = = = = k?k+1? 2 (3k +11k+10)+(k+1)(k+2)2 12 k?k+1? (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 12 ?k+1??k+2? 2 (3k +5k+12k+24) 12 ?k+1??k+2? [3(k+1)2+11(k+1)+10]. 12 n?n+1? 2 (3n +11n+ 12

即当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对任何正整数 n,等式都成立.


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