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概率统计2-3


§2.3随机变量的数字特征
?数学期望的概念 ?数学期望的简单性质 ?方差 ?切比雪夫不等式* ?矩 通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的 特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量 的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差 等。

数学期望(离散型)

1

>
考虑均值时遇到的问题
?对于随机变量X,要确定一个常数作为X取 值的平均水平遇到了两个问题:
当X可取无穷多个值时,无法用简单的平均 来确定这样的常数 即使X只取有限个值,比如 P{X=1}=0.01,P{X=2}=0.99,但是X的平均值是 1.5不能真实的反应出X的取值的平均水平

离散型数学期望的定义

2

离散型随机变量的数学期望
?定义2.6:设离散型随机变量X有概率分布为: ? P{X=xn}=pn (n=1,2,...), 若级数 x p
n ?1

?

n n

绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记作 ? EX,即 EX ? x p
n ?1

?

n n

形式上EX是X的各可能取值的加权平均, 实质上也确实刻画了X取值的真正“平均”

例题与讲解

3

例题与解答
?例1 若x服从0-1分布, 其概率函数为

P{x=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求Ex ?解 Ex=0?(1-p)+1?p=p

1-p 0
例题与解答

p p

1

x
5

例题与解答
?

例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用

x,h表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术. x 1 2 3 h 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5

P

0.1 0.6 0.3

?解 Ex=1?0.4+2?0.1+3?0.5=2.1 Eh=1?0.1+2?0.6+3?0.3=2.2 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分别 是2.1和2.2, 故乙射手较甲射手的技术好。
例题与讲解
6

? 1 - x ? e 1000 x ? 0 f ( x ) ? ? 1000 ?例4.某种电子元件使用寿命X~ ?0 规定:使用寿命在500小时以下为废品, x?0 ?

例题与解答

产值为0元;在500到1000小时之间为次品,产值为10元;在1000到 1500小时之间为二等品,产值为30元;1500小时以上为一等品,产 值为40元,求该种产品的平均产值.

?分析:平均产值即为产值的数学期望,故先求产值的概率 解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, x
P(Y=0)= P(X<500) ? ?
类似可得:
500 -?

f ( x )dx ? ?0
1000 500

500

P(Y=10)= P(500≤X<1000) ? ?

1 e 1000

-

x 1000 dx

1 - 1000 e dx 1000

=1-e-0.5

=e-0.5-e-1

P(Y=30)=e-1-e-1.5 ,

P(Y=40)=e-1.5

所以, EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30×( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5 =15.65(元)

连续型的数学期望

8

连续型随机变量的离散化
?假设连续型的随机变量X的概率密度为f(x), 现在我们 将整个实数轴划分成同样的宽度为?x的无穷多个小区间, 当试验的结果是落在第k个小区间里时, 我们干脆近 似认为是x等于此小区间的中点xk的事件发生了, 这 样就将x转化成为了一离散型的随机变量, 它等于xk 的概率近似为f(x)?x, 如果?x的值越小, 这样的近似 越准确. f(x )?x
k

...

?x

...
9

xk-2 xk-1 xk xk+1 xk+2
离散后数学期望的计算

离散后的期望计算
在这种情况下我们计算X的数学期望, 可得:
EX ?
k ?-?

?

??

xk f ( xk ) ?x

当?x?0时,得到的X的数学期望值是准确的
??

EX ?

-?

?

xf ( x )dx

数学期望(连续型)定义

10

连续型随机变量的数学期望
?定义 2.7 设连续型随机变量X有概率密度f(x), ?? 绝对收敛,则称: 若积分
-?

?

xf ( x )dx

??

EX ?

-?

?

xf ( x )dx

为连续型随机变量X的数学期望。

例题与讲解

11

例题与解答
?例5 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机 变量X的数学期望. ? 1 x ? [a, b] ? ?解 依题意, X ~ f ( x ) ? ? b - a
?0 ? 其它
b



1 dx EX=?-? xf ( x )dx ? ?a x b-a 1 1 2b a?b ? x ? b-a 2 a 2

??

数学期望反映了连续型随机变量的平均取值.
数学期望(离散型)性质
12

数学期望的性质
(1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+b)=EX+b; X c 证明:(1)离散型 P 1
(2)离散型
X
P

?
??? -?

(4)E(aX+b)=aEX+b
EX = c

aX ax1 ax2 ... axn ...
P p1 p2 ... pn ... ... pn ...

x1
p1

x2
p2

... xn ...

1 y 连续型:X~fX(x),Y=aX, 则,Y~ f X ( ) ,不妨设a>0, |a| a
EY=?
?? -?

E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+ ...+axn pn+ ... =aE(X)

yfY ( y )dy ?

??



y ? z ? a ?-? zf X ( z )dz =aEX a 随机变量函数的期望 (3)自证

?? y 1 y y y y f X ( )dy ? a ? f X ( )d ( ) -? a a a a a

13

随机变量X的函数g(X)的期望
?可以证明:随机变量X的密度为f(X),则随机变 量X的函数g(X)的数学期望为
? ? g ( xk ) pk 当X 为离散型 ? k ? E[ g ( X )] ? ? ?? ? ? g ( x ) f ( x )dx 当X 为连续型 ? -? ? ? 因为求g(X)的分布经常是不容易的, 这两个关于随机 变量函数g(X)的数学期望计算式无须求g(X)的分布, 因此极大地简化了数学期望的计算。
★另外, 易证: ? g ( X ) ? h( X )? ? E ? g ( X ) ? ? E ? h( X ) ? E

例题与讲解

14

例题与解答
例6.设随机变量X的概率分布为:
X P 0 1 2 1/2 1/4 1/4

求E(X2+2).

解: E(X2+2)= (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4
=1+3/4+6/4=13/4

例题与讲解

15

例题与解答

例7. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯每个

整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一 游客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处,且 X在[0, 60]上均匀分布,求该游客等侯时间的数学期望.
??
60 0

?1 x ? [0, 60] ? 解:由题意得X~ f ( x ) ? ? 60 ?0 其它 ?

设Y表示旅客候车时间, 5-X 0<X≤5, 则
Y=g(X)= 25-X 55-X 65-X

25 1 5 ? [ ? (5 - x )dx ? ? (25 - x )dx 5 60 0

1 g ( x )dx 60

5<X≤25, 25<X≤55, 55<X≤60.

? ? (55 - x )dx ? ? (65 - x )dx ]
25 55

55

60

1 ? (12.5 ? 200 ? 450 ? 37.5) 60
=11.67(分)

E(Y)=E(g(X))=

?-? g ( x ) f ( x )dx

??

例题与讲解
16

例题与解答
?例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量X(吨) 是个随机变量,它服从区间[2000,4000]上的均匀分 布,设该商品每出售一吨,可获利3万美元外汇,但 若销售不出去而压库,则每吨支付保养费1万美元, 问如何计划年出口量,可使期望获利最多。 ?解:设计划年出口量为a吨,年创利Y万美元,显然 y?[2000,4000],且有 X ?a ? 3a
EY ? ?
?? -?

由微积分可知: 1 ? 2000 [ ? (4 x - a )dx ? ? 3adx 当a=3500时, 2000 a EY最大。 1 ( - a 2 ? 7000a - 4000000) ? 1000 随机变量的方差
a
17

g ( x ) f ( x )dx ?

Y ? g( X ) ? ? ?3 X - (a - X ) 4000
1 g ( x )dx 2000 2000 4000

X ?a

?

随机变量的方差
?定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差; 显然,E(X-EX)=0。 ?定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在, 则称E(X-EX)2为X的方差,记为: DX= E(X-EX)2 特别,记 σx= DX 为X的标准差.

注意: 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.
结合随机变量函数的数学期望可得: (1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则 DX= E(X-EX)2 ? ? ( xn - EX )2 pn
(2)若X为连续型,X~f(x),则 DX= E(X-EX)2
n

方差的性质

??

??

-?

( x - EX ) 2 f ( x )dx
18

方差的性质
?(1) D(c)=0; ?(2) D(aX)=a2D(X) ?(3) D(X+b)=DX ?(4) DX=EX2-(EX)2 ? EX2 = DX +(EX)2 证明: (2) D(aX)=E[aX -E(aX)]2=E[a(X-EX)]2 =a2E(X-EX)2=a2D(X) (4) DX= E(X-EX)2=E[X2-2X(EX)+(EX)2] =EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 (注:EX是常数) =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2=EX2-(EX)2 例题与讲解

19

例题与解答
?例9 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机 变量X的方差. ? 1 x ? [a, b] ? ?解 依题意, X ~ f ( x ) ? ? b - a
1 则 ?-? x f ( x )dx ? ?a x b - a dx 1 1 3b 1 2 ? x ? ( a ? ab ? b 2 ) b-a 3 a 3 a?b 由例5知: EX ? 2 ( b - a)2 所以 DX ? EX 2 - ( EX )2 ? 12 例题与讲解

EX2=

??

?0 ?

其它
b

2

2

20

例题与解答
??

?x 0 ? x ? 1 ?例10:设 X ~ f ( x ) ? ? 2 - x 1 ? x ? 2 ? 求EX,DX. ?0 其它 ? ?解:

(1) EX= ?

-?

xf ( x )dx? ? x ? xdx ? ? x (2 - x )dx
0 1

1

2

1 31 1 3 2 2 ? x ? ( x - x ) =1 3 3 0 1 ?? 2 (2) E(X2)= ? x f ( x )dx
? ? x 3dx ? ? x 2 (2 - x )dx =7/6 0 1
1

-? 2

例题与讲解

所以, DX=EX2 ─(EX)2 =7/6 ─ 1=1/6
21

例题与解答
?例11.若随机变量X满足:E(X)=?,D(X)=? 2(?,?>0常数) 试证
明:对任意常数C,必有 E[(X ─ C)2] ≥ E[(X ─ ?)2]

?证明:
E[(X─C)2]=E[ X2 ─ 2CX+C2 ] =EX2 ─ E(2CX)+C2 =EX2 ─ 2C E(X)+C2 =[ (EX)2+DX ] ─ 2CE(X)+C2 = ?2+ ? 2 ─ 2C? +C2 = ? 2 +(? ─ C)2 而 E[(X ─ ?)2]=E(X ─ EX)2=DX= ? 2 所以, E[(X ─ C)2] ≥ E[(X ─ ?)2]

例题与讲解

22

?例12.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿 灯的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或 绿相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。求X的 概率分布与EX、DX。 ?解: X的取值为0,1, 2, 3 X 0 1 2 3 P(X=0)=1/2 P 1/2 1/4 1/8 1/8 P(X=1)=1/2×1/2=1/4 P(X=2)=1/2×1/2×1/2=1/8 P(X=3)=1/2×1/2×1/2=1/8 X的概率分布为: EX=7/8 EX2=15/8 DX=EX2 ─(EX)2=71/64 例题与讲解 23

例题与解答

例题与解答

? 3 x2 ?例13. 设X与Y同分布,X密度为 f ( x ) ? ? 8 ? ? 0 ⑴ 已知事件A={X>a}和B={Y>a} ?

0? x?2 其他

独立,且P(A+B)=3/4.求常数a ; ⑵ 求E(1/X2). ?解: (1)由已知得:P(A)=P(B), A, B独立, 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-[P(A)]2=3/4 故P(A)=1/2, 0<a<2(因为a≤0,P(A)=1;a≥2,P(A)=0), 23 2 a3 P(X>a)= ? x dx ? 1 =1/2 a 8 8 所以 a ? 3 4 2 1 3 2 (2)E(1/X2)= ?0 2 x dx ? 3 / 4 x 8 矩 24


?原点矩:对于正整数k,若E|Xk|<+∞,称 vk=EXk k=1,2,... 为随机变量X的k阶原点矩。 ?中心矩:对于正整数k,若E|Xk|<+∞,称 ?k=E(X─EX)k k=1,2,... 为随机变量X的k阶中心矩。 ?注:EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心 矩。
待续

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