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【赢在课堂】高考数学一轮复习 2.8函数与方程配套课件 理 新人教A版

时间:2014-04-18


第 8 讲 函数与方程

考纲展示
1. 结合二次函数的图象, 了解函数的零点 与方程根的联系, 判断一元二次方程根的 存在性与根的个数. 2. 根据具体函数的图象, 能够用二分法求 相应方程的近似解.

考纲解读
1.函数的零点、方程根的个数是历年 高考的重要考点. 2.利用函数的图形及性质判断函数的 零点, 及利用

它们求参数取值范围问题 是重点, 也是难点. 3. 题型以选择题和填空题为主 , 常与函 数的图象与性质交汇命题.

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x) 有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得方程 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 两个 (x1,0)或(x2,0) 一个 无交点 无 Δ=0 Δ<0

3.找零点的近似值 用二分法求函数零点的近似值关键有两点:一是初始区间的选取,既要 符合条件(包含零点),又要使其长度尽量小;二是随时进行精确度的判断,以 决定是停止计算还是继续计算. 4.判断函数 y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法 (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给 定区间上; (2)利用函数零点的存在性定理进行判断; (3)通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断.

1.若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(-∞,1] 【答案】B B.(1,+∞) D.[1,+∞)

)

【解析】∵ 函数 f(x)无零点?函数 f(x)的图象与 x 轴无公共点, ∴ Δ<0,即 4-4a<0.故 a>1.

2.函数 f(x)=3ax-2a+1 在区间[-1,1]上存在一个零点,则 a 的取值范围是( A.a≥
1 5 1 5

)

B.a≤1 D.a≥ 或 a≤-1
1 5

C.-1≤a≤

【答案】D 【解析】 函数 f(x)=3ax-2a+1 在区间[-1,1]上存在一个零点,则 f(-1)·f(1)≤0, 即 a≥ 或 a≤-1.
1 5

3.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) 【答案】C 有零点在区间(0,1)内. B.(-1,0) D.(1,2)

)

【解析】 由于 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理,知函数 f(x) 4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( A.0,2 C.0,1 2

)

B.0,

1 2 1 2

D.2,-

【答案】C 【解析】∵ 2a+b=0,∴ g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).故函数 g(x)的零点为 0 和- .
1 2

5.函数 f(x)=x- 的零点个数为 【答案】 2

4 x

.

【解析】方法一:由 x- =0(x≠0),得 x2-4=0(x≠0), 解得 x=± 2.故函数 f(x)=x- 有两个零点. 方法二:在同一直角坐标系中画出函数 y=x 与 y= 的图象(图略),观察其 交点的个数,显然有 2 个.
4 x 4 x

4 x

T 题型一零 点存在性的判断
例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利 用零点的存在性定理或利用两函数图象的交点来求解.

【解】(1)方法一: ∵ f(1)=12-3× 1-18=-20<0, f(8)=82-3× 8-18=22>0, ∴ f(1)·f(8)<0. 故函数 f(x)=x2-3x-18,在 x∈[1,8]上存在零点. 方法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0,x∈[1,8]. 于是(x-6)(x+3)=0. 解得 x=6∈[1,8],x=-3? [1,8]. 故函数 f(x)=x2-3x-18,在 x∈[1,8]上存在零点. (2)方法一:∵ f(1)=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0, ∴ f(1)·f(3)<0. 故函数 f(x)=log2(x+2)-x,在 x∈[1,3]上存在零点.

方法二:设函数 y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象,

从图象中可以看出当 1≤x≤3 时, 两函数图象有一个交点, 因此函数 f(x)=log2(x+2)-x,在 x∈[1,3]上存在零点.

函数的零点存在性问题常用的处理方法有三种:一是用 定理,二是解方程,三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是充分条件, 而并非是必要条件.

1.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( A. - ,0 C.
1 1 , 4 2 1 4

)

B. 0, D.

1 4 1 3 , 2 4 1 4

【答案】C 【解析】∵ 函数 f(x)是 R 上的增函数且其图象是连续的,且 f
1 1 1 4 +4× -3= 4-2<0,f

=

4

∴ 函数 f(x)在区间

1 1 1 1 2 = +4× -3= 2-1>0, 2 2 1 1 , 内存在唯一零点. 4 2

T 题型二零 点个数的判断
例 2 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]
时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是 .

函数零点的个数?方程解的个数?函数 y=f(x)与 y=log3|x| 图象的交点的个数.

【答案】 4 【解析】由题意知,函数 f(x)是周期为 2 的偶函数. 在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.

函数的零点问题要注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等 于零. (2)函数的零点也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标. (3)一般我们只讨论函数的实数零点. (4)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的根.

2.函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 【答案】C B.5 C.6

) D.7
2

【解析】 令 f(x)=xcos x2=0,可得 x=0 或 cos x2=0,故 x=0 或 x2=kπ+ ,k∈Z. 又 x∈[0,4],则 x2∈[0,16].因此 k=0,1,2,3,4 符合题意,故函数 f(x)在区间[0,4] 上的零点个数为 6.

T 题型三利 用零点求参数范围
例 3 若函数
2 g(x)=x+ (x>0),g(x)=m x

有零点,求 m 的取值范围.

2 【解】方法一:∵ g(x)=x+ ≥2 x

2 =2e,

等号成立的条件是 x=e, 故函数 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e, 则 g(x)=m 就有零点.

方法二:作出函数 零点,则只需 m≥2e.

2 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图,可知若使 x

g(x)=m 有

方法三:由 g(x)=m,得 x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根且 e2>0, 故根据根与系数的关系得 m>0, m > 0, m > 0, 即 该式等价于 故 m≥2e. 2 2 Δ = -4 ≥ 0, m ≥ 2或 m ≤ -2.

此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至 不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了 当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点求参数的范围时,一般采用数 形结合法求解.

2x -1,x > 0, 3.已知函数 f(x)= 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 -x -2x,x ≤ 0, m 的取值范围是 . 【答案】(0,1)

2x -1,x > 0, 【解析】画出函数 f(x)= 2 的图象,如图. -x -2x,x ≤ 0 由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 结合图象得 0<m<1,即 m∈(0,1).

T 题型四二 次函数的零点分布
例 4 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.
设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函 数性质加以限制.

【解】(1)由条件可知函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象与 x 轴的交点分 别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图①所示,得

图①

f(0) = 2m + 1 < 0 5 1 f(-1) = 2 > 0 1 故- <m<- . ? 2 m<- , 6 f(1) = 4m + 2 < 0 2 f(2) = 6m + 5 > 0 5 m>- .
6

m<- , 2 m∈,

1

图②

(2)若函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象与 x 轴的交点均落在区间(0,1)内, f(0) > 0 f(1) > 0 如图②所示,则可得不等式组 Δ≥0 0 < -m < 1 1 m>- , ? 故- <m≤1- 2. 2 m ≥ 1 + 2或 m ≤ 1- 2, -1 < < 0. m>
2 1 - , 2 1

二次函数零点分布问题,即一元二次方程根的分布问题,解题的关 键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程.

4.若关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有零点,求实数 m 的取值范围. 【解】设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2]. (1)f(x)=0 在区间[0,2]上有一解. ∵ f(0)=1>0, ∴ f(2)≤0,即 4+2(m-1)+1≤0? m≤- . (2)f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ ≥ 0?(m-1)2 -4 ≥ 0?m ≥ 3 或 m ≤ -1, 0<m-1 2 3 2

< 2?-3 < < 1,
3 2

因此- ≤m≤-1.

3 2

f(2) ≥ 0?4 + (m-1) × 2 + 1 ≥ 0?m ≥ - , 由(1)(2)可知 m≤-1.

1.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(

)

【答案】C 【解析】 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有 f(a)·f(b)<0,A,B 选项中不存在 f(x)<0,D 选项中零点两侧函数值同号,故选 C.

2.若方程 2ax2-x-1=0 在区间(0,1)内恰有一个解,则 a 的取值范围是( A.a<-1 C.-1<a<1 【答案】B B.a>1 D.0≤a<1

)

【解析】当 a=0 时,x=-1,不合题意,故排除 C,D.当 a=-2 时,方程可化为 4x2+x+1=0,而 Δ=1-16<0,无实根,故 a=-2 不适合,排除 A. 3.函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( A.(0,1) C.(2,e) 【答案】B 【解析】∵ f(1)·f(2)=(ln 2-2)·(ln 3-1)<0, ∴ 函数 f(x)的零点在区间(1,2)内. B.(1,2) D.(3,4)
2 x

)

4.若二次函数 y=ax2+bx+c 中,ac<0,则函数的零点个数是( A.1 C.0 【答案】B B.2 D.无法确定

)

【解析】∵ ac<0,∴ Δ=b2-4ac>0.故二次函数与 x 轴有两个交点,应选 B. 5.已知函数 f(x)=2mx+4,若在区间[-2,1]上存在 x0,使 f(x0)=0,则实数 m 的取 值范围是 . 【答案】 m≤-2 或 m≥1 【解析】∵ 由题意知 m≠0, ∴ f(x)=2mx+4 是单调函数. 又在区间[-2,1]上存在 x0,使 f(x0)=0, ∴ f(-2)·f(1)≤0, 即(-4m+4)(2m+4)≤0, 解得 m≤-2 或 m≥1.


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