nbhkdz.com冰点文库

广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是() 2 2 2 2 A. y =﹣8x B. y =8x C. y =﹣

4x D. y =4x 2. (5 分)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,则 b=() A. B. C. D.

3. (5 分)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项的和为() A. 63 B. 64 C. 127 D. 128

4. (5 分)已知椭圆与双曲线 程为() A.

有共同的焦点,且离心率为

,则椭圆的标准方

B.

C.

D.

5. (5 分)若 p:|x|>1,q:x<﹣2,则?p 是?q 的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. (5 分)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足 a1003+a1013=π ,b6?b9=2,则 tan ()

A. 1

B. ﹣1

C.

D.

7. (5 分)若 A. B. C. D.

,则 sin2θ =()

8. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为()

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 2 B. 1 C. ﹣4 D. 4

9. (5 分)已知等腰三角形底边的两个端点是 A(﹣1,﹣1) ,B(3,7) ,则第三个顶点 C 的轨迹方程() A. 2x+y﹣7=0 B. 2x+y﹣7=0(x≠1) C. x+2y﹣7=0 D. x+2y﹣7=0(x≠1) 10. ( 5 分)下列命题正确的个数是() 2 2 ①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”; 2 2 ②若命题 p:? x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1>0; ③△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件; ④若 p∨q 为真命题,则 p、q 均为真命题. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. (5 分)设椭圆的两个焦点 分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的 一个交点为 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是() A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

12. (5 分)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且两个数列各项都为正数,{bn}的 公比 q≠1,若 a4=b4,a12=b12,则() A. a8=b8 B. a8<b8 C. a8>b8 D. a8>b8 或 a8<b8

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知 tan(α +β )=3,tan(α ﹣β )=5,则 tan2α =.

14. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1F2 在 x 轴上, 离心率为 Fl 的直线交于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为. 15. (5 分)在△ABC 中,若 B=60°,a=1,S△ABC= ,则 =.

. 过

16. (5 分)从双曲线

的左焦点 F 引圆 x +y =36 的切线,切点为 T,延长 FT 交双

2

2

曲线右支于点 P,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|的值为.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)双曲线 C 与椭圆 双曲线 C 的方程. + =1 有相同的焦点,直线 y= x 为 C 的一条渐近线.求

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

18. (12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x ﹣2 (A+B)﹣ =0,求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ABC 的面积.

2

x+2=0 的两根,角 A,B 满足 2sin

19. (12 分)已知 c>0 且 c≠1,设 p:指数函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为减函数,q:不等式 2 x+(x﹣2c) >1 的解集为 R.若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 c 的取值范围. 20. (12 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1) (1)求{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最小值.
2

x

21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x﹣8,g(x)=2x ﹣4x﹣16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥ (m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围.

2

2

22. (12 分)已知椭圆 C 方程为

=1(a>b>0) ,左、右焦点分别是 F1,F2,若椭圆 C

上的点

到 F1,F2 的距离和等于 4

(Ⅰ)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)直线 l 过定点 M(0,2) ,且与椭圆 C 交于不同的两点 A,B, (i)若直线 l 倾斜角为 (ii)若 ,求|AB|的值.

>0,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是() 2 2 2 2 A. y =﹣8x B. y =8x C. y =﹣4x D. y =4x 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的标准方程. 计算题. 根据准线方程求得 p,则抛物线的标准方程可得. 解:∵准线方程为 x=﹣2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ =2 ∴p=4 2 ∴抛物线的方程为 y =8x 故选 B 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了考生对抛物线基础知识的掌握. 2. (5 分)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,则 b=() A. B. C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由 B 和 C 的度数,利用三角形的内角和定理求出 A 的度数,然后由 a,sinA,sinB 的值,利用正弦定理即可求出 b 的值. 解答: 解:由内角和定理得:A=180°﹣60°﹣75°=45°, 根据正弦定理得: = ,又 a=8,sinA= ,sinB= ,

则 b=

=

=4



故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础 题.学生做题时注意内角和定理这个隐含条件. 3. (5 分)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项的和为() A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 考点: 等比数列的前 n 项和. 分析: 先由通项公式求出 q,再由前 n 项公式求其前 7 项和即可. 4 4 解答: 解:因为 a5=a1q ,即 q =16, 又 q>0,所以 q=2, 所以 S7= =127.

故选 C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项公式.

4. (5 分)已知椭圆与双曲线 程为()

有共同的焦点,且离心率为

,则椭圆的标准方

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,c= , = ,可得 a=5,b= , ,即可求出椭圆的标准方程.

解答: 解:由题意,c= ∴a=5,b= ,

, =

∴椭圆的标准方程为



故选:B 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查双曲线、椭圆的性质,确定 a,b 是关键. 5. (5 分)若 p:|x|>1,q:x<﹣2,则?p 是?q 的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 根据绝对值的性质分别解出命题 p 和 q,然后再根据必要条件和充分条件的定义; 解答: 解:∵p:|x|>1,∴x>1 或 x<﹣1, ∵q:x<﹣2, ∴q? p,反之则不成立, 根据逆否命题的性质:?p? ?q,反之不成立, ∴?p 是?q 的充分不必要条件; 故选 A 点评: 此题主要考查充分条件与必要条件的定义, 及逆否命题与原命题的关系, 是一道基 础题. 6. (5 分)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足 a1003+a1013=π ,b6?b9=2,则 tan ()

A. 1

B. ﹣1

C.

D.

考点: 两角和与差的正切函数 ;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列与等比数列的性质,可得 a1+a2015=a1003+a1013=π ,b7?b8=b6?b9=2,于是 可得 = ,从而可得答案.

解答: 解:因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足:a1003+a1013=π ,b6?b9=2, 所以 a1+a2015=a1003+a1013=π , b7?b8=b6?b9=2, 所以 tan 故选:D. 点评: 本题考查等差数列与等比数列的性质,考查特殊角的正切,求得 关键,考查运算求解能力,属于中档题. = 是 =tan =tan = .

7. (5 分)若 A. B. C. D.

,则 sin2θ =()

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: 根据 sin( ﹣θ + +θ = ,利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到 ﹣θ )cos( +θ )相等都等于 )sin( ,然后利用正 )

﹣θ )sin(

+θ )和 cos(

弦函数为奇函数,余弦函数为偶函数求出 sin(θ ﹣ cos( +θ )的值,然后根据 2θ =[(θ ﹣

+θ )和 cos(θ ﹣

)+(θ +

)],利用两角和的余弦函数公

式化简后将相应的值代入即可求出 cos2θ 的值,然后根据角的范围,利用同角三角函数间 的基本关系即可求出 sin2θ 的值. 解答: 解:由于 cos( ﹣θ +θ 则 sin( )=cos =0 +θ )=cos( +θ )=﹣ ﹣θ )?cos( , +θ )= =cos(θ ﹣ ﹣θ )?cos( +θ )﹣sin( ﹣θ )sin( +θ )=cos(

﹣θ )sin( )sin( )=

所以 sin(θ ﹣ )cos(

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则 cos2θ =cos[(θ ﹣ sin(θ + )= )+(θ + )]=cos(θ ﹣ )cos(θ )﹣sin(θ ﹣ )

所以 sin2θ =

=

=

故选 B. 点评: 此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、 同角三角函数间的基本关系化 简求值, 会利用三角函数的奇偶性解决实际问题, 是一道中档题. 做题时注意灵活变换角度.

8. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为()

A. 2

B. 1

C. ﹣4

D. 4

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) .由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(1,0)

将 A 的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=2×1+0=2.即 z=2x+y 的最大值为 2. 故选:A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数 的几何意义,利用数形结合的数学 思想是解决此类问题的基本方法.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

9. (5 分)已知等腰三角形底边的两个端点是 A(﹣1,﹣1) ,B(3,7) ,则第三个顶点 C 的轨迹方程() A. 2x+y﹣7=0 B. 2x+y﹣7=0(x≠1) C. x+2y﹣7=0 D. x+2y﹣7=0(x≠1) 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 2 2 分析: 由两点间距离公式得 (x+1) +(y+1) =(x﹣3) +(y﹣7) ,化简可得 x+2y﹣ 7=0,利用 A,B,C 不共线,即可得出结论. 2 2 2 2 解答: 解:由两点间距离公式得 (x+1) +(y+1) =(x﹣3) +(y﹣7) , 化简可得 x+2y﹣7=0 ∵A,B,C 不共线, ∴x≠1 且 y≠3, 故选:D. 点评: 本题考查轨迹方程,考查学生的计算能力,容易误选 C. 10. (5 分)下列命题正确的个数是() 2 2 ①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”; 2 2 ②若命题 p:? x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1>0; ③△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件; ④若 p∨q 为真命题,则 p、q 均为真命题. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①利用否命题的定义即可判断出; ②利用“非命题”的定义即可判断出; ③△ABC 中,由正弦定理可得 ,因此 sinA>sinB?a>b?A>B,即可判断出;

④若 p∨q 为真命题,则 p、q 只要有一个为真命题即 可. 2 2 解答: 解:①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,正确; 2 2 ②若命题 p:? x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1>0,正确; ③△ABC 中, 由正弦定理可得 , 因此 sinA>sinB?a>b?A>B, 因此 sinA>sinB

是 A>B 的充要条件,正确; ④若 p∨q 为真命题,则 p、q 只要有一个为真命题即可,因此不正确. 综上可得:正确的命题个数为 3. 故选:D. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定、正弦定理,考查了推理能力,属于基础题. 11. (5 分)设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的 一个交点为 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆的方程和点 P 的坐标, 把点 P 的坐标代入椭圆的方程, 求出点 P 的纵坐标的 绝对值,Rt△PF1F2 中,利用边角关系,建立 a、c 之间的关系,从而求出椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆的方程为 (a>b>0) ,设点 P(c,h) ,则 =1,

h =b ﹣

2

2

=

,∴|h|=



由题意得∠F1PF2=90°,∠PF1F2=45°, Rt△PF1F2 中,tan45°=1=
2 2 2

=



∴a ﹣c =2ac,e +2e﹣1=0,∴e= ﹣1, 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,直角三角形中的边角关系的应用.考查计算能力. 12. (5 分)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等 比数列,且两个数列各项都为正数,{bn}的 公比 q≠1,若 a4=b4,a12=b12,则() A. a8=b8 B. a8<b8 C. a8>b8 D. a8>b8 或 a8<b8 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 分别根据等差数列及等比数列的性质得到 a4+a12=2a8 和 b4b12=b8 ,根据已知 a4=b4, a12=b12,利用基本不等式即可得到 a8 与 b8 的大小关系. 解答: 解:根据等差数列的性质得:a4+a12=2a8, 2 根据等比数列的性质得:b4b12=b8 , 又 a4=b4,a12=b12,数列{bn}是各项均为正数且公比 q>1, ∴a4+a12=2a8=b4+b12>2 =2b8,

则 a8>b8. 故选:C. 点评: 此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质化简求值,掌握基本不等式的运用, 是一道中档题.学生做题时注意数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且公比 q>1 这个条 件的应用. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知 tan(α +β )=3,tan(α ﹣β )=5,则 tan2α =﹣ .

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 根据 tan2α =tan(α +β +α ﹣β )利用正切的两角和公式展开后,把 tan(α +β ) 和 tan(α ﹣β )的值代入即可求得答案. 解答: 解: tan2α =tan (α +β +α ﹣β ) = ﹣ , 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了两角和与差的正切函数.本题解题的关键是利用了 tan2α =tan (α +β +α ﹣β ) ,通过挖掘题设的条件达到解决问题的目的. = =

14. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1F2 在 x 轴上, 离心率为

. 过

Fl 的直线交于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为

+

=1.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意, △ABF2 的周长为 16, 即 BF2+AF2+BF1+AF1=16, 结合椭圆的定义, 有 4a=16, 即可得 a 的值; 又由椭圆的离心率, 可得 c 的值, 进而可得 b 的值; 由椭圆的焦点在 x 轴上, 可得椭圆的方程. 解答: 解:根据题意,△ABF2 的周长为 16,即 BF2+AF2+BF1+AF1=16; 根据椭圆的性质,有 4a=16,即 a=4; 椭圆的离心率为 将 a= ,即 = ,则 a=
2 2

c,
2

c,代入可得,c=2 + =1;

,则 b =a ﹣c =8;

则椭圆的 方程为

故答案为:

+

=1.

点评: 本题考查椭圆的性质,此类题型一般与焦点三角形联系,难度一般不大;注意结合 椭圆的基本几何性质解题即可.

15. (5 分)在△ABC 中,若 B=60°,a=1,S△ABC=

,则

=2.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,将 a,sinB 及已知面积代入求出 c 的值,再利用 余弦定理求出 b 的值,最后利用正弦定理即可求出所求式子的值. 解答: 解:∵B=60°,a=1,S△ABC= ∴S△ABC= acsinB=
2



c=
2 2

,即 c=2, ,

由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=1+4﹣2=3,即 b= 则由正弦定理得: = = =2.

故答案为:2 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键.

16. (5 分)从双曲线

的左焦点 F 引圆 x +y =36 的切线,切点为 T,延长 FT 交双

2

2

曲线右支于点 P,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|的值为 2. 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 分析: 设双曲线的右焦点为 Q,|MO|= ( ) . ,|MT|= ,|MO|﹣|MT|=|= ﹣

解答: 解:设双曲线的右焦点为 Q, |MO|= ,|MT|= ,

∵|OF|=10,|OT|=6,所以|FT|=8, 则|MO|﹣|MT|=|= ﹣( )= .

故答案为 2. 点评: 本题考查圆的性质的综合运用,解题时要注意双曲线的性质的合理运用. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)双曲线 C 与椭圆 双曲线 C 的方程. 考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;反证法. 2 2 2 分析: 求出椭圆的焦点坐标;据双曲线的系数满足 c =a +b ;双曲线的渐近线的方程与系 数的关系列出方程 组,求出 a,b,写出双曲线方程. + =1 有相同的焦点,直线 y= x 为 C 的一条渐近线.求

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

解答: 解:设双曲线方程为

(a>0,b>0) (1 分)

由椭圆

+

=1,求得两焦点为(﹣2,0) , (2,0) , (3 分)

∴对于双曲线 C:c=2. (4 分) 又 y= x 为双曲线 C 的一条渐近线, ∴ = 解得 a=1,b= , (9 分) . (10 分)
2 2 2

(6 分)

∴双曲线 C 的方程为

点评: 本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是: a =b +c ; 2 2 2 双曲线中系数的关系是:c =a +b . 18. (12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x ﹣2 (A+B)﹣ =0,求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由已知可得 sin(A+B)= 即可求∠C 的值. (2)由已知可得 a+b=2 ,由△ABC 是锐角三角形,从而求得 A+B=120°,
2

x+2=0 的两根,角 A,B 满足 2sin

,ab=2,根据余弦定理可求 c 的值,由三角形面积公式即可求解. =0,得 sin(A+B)= ,

解答: 解: (1)由 2sin(A+B)﹣

∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+B=120°, ∴∠C=60°, 2 (2)∵a,b 是方程 x ﹣2 x+2=0 的两根, ∴a+b=2 ,ab=2, 2 2 2 ∴c =a +b ﹣2abcosC, 2 =(a+b) ﹣3ab=12﹣6=6, ∴c= , ∴S△ABC= absinC= = .

点评: 本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用,属 于基本知识的考查.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (12 分)已知 c>0 且 c≠1,设 p:指数函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为减函数,q:不等式 2 x+(x﹣2c) >1 的解集为 R.若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 c 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 分别求出当 p,q 为真命题时的 c 的取值范围,然后由题意可得 p 和 q 有且只有一 个正确,然后分两类由交集的运算可得答案. 解答: 解:当 p 正确时, x ∵函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为减函数,∴0<2c﹣1<1 ∴当 p 为正确时, <1;
x

当 q 正确时, 2 ∵不等式 x+(x﹣2c) >1 的解集为 R, 2 2 ∴当 x∈R 时,x ﹣(4c﹣1)x+(4c ﹣1)>0 恒成立. 2 2 ∴△=(4c﹣1) ﹣4?(4c ﹣1)<0,∴﹣8c+5<0 ∴当 q 为正确时,c> . 由题设,p 和 q 有且只有一个正确,则

(1)p 正确 q 不正确,∴



(2)q 正确 p 不正确∴

∴c> 1

∴综上所述,c 的取值范围是(

]∪(1,+∞)

点评: 本题为变量取值范围的求解, 涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法, 属基础 题. 20. (12 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1) (1)求{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最小值.
2

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)由 4Sn=(an+1) ,得 4Sn+1=(an+1+1) ,两者作差,研究{an}的相邻项的关系, 由此关系求其通项即可. (2) 由 ( 1) 可得 ,

裂项求和即可. 2 2 解答: 解: (1) 由题设条件知 4Sn= (an+1), 得 4Sn+1= (an+1+1), 两者作差, 得 4an+1= (an+1+1) 2 2 ﹣(an+1) .

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 整理得(an+1﹣1) =(an+1) . 又数列 {an}各项均为正数,所以 an+1﹣1=an+1,即 an+1=an+2, 2 故数列{an}是等差数列,公差为 2,又 4S1=4a1=(a1+1) ,解得 a1=1,故有 an=2n﹣1 (2) 由 (1)可得 ∴Tn= 由其形式可以看出,Tn 关于 n 递增,故其最小值为 T1= 点评: 本题考查数列求和, 求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差, 采用裂 项求和的技巧求和,在裂项时要注意分母上两个因子相差 2 不是 1,故裂项后应乘以 ,此 是裂项时易出错的地方. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x﹣8,g(x)=2x ﹣4x﹣16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)直接因式分解后求解不等式的解集; (2)把函数 f(x)的解析式代入 f(x )≥(m+2)x﹣m﹣15,分离变量 m 后利用基本不等 式求解 m 的取值范围. 2 2 解答: 解:由 g(x)=2x ﹣4x﹣16<0,得 x ﹣2x﹣8<0, 即(x+2) (x﹣4)<0,解得﹣2<x<4. 所以不等式 g(x)<0 的解集为{x|﹣2<x<4}; 2 (2)因为 f(x)=x ﹣2x﹣8, 当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立, 2 则 x ﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15 成立, 2 即 x ﹣4x+7≥m(x﹣1) . 所以对一切 x>2,均有不等式 成立.
2 2 2 2



(当 x=3 时等号成立) .

所以实数 m 的取值范围是(﹣∞,2]. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法, 考查了数学转化思想方法, 训练了利用基本不 等式求函数的最值,是基础题.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

22. (12 分)已知椭圆 C 方程为

=1(a>b>0) ,左、右焦点分别是 F1,F2,若椭圆 C

上的点

到 F1,F2 的距离和等于 4

(Ⅰ)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)直线 l 过定点 M(0,2) ,且与椭圆 C 交于不同的两点 A,B, (i)若直线 l 倾斜角为 (ii)若 ,求|AB|的值.

>0,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过椭圆定义及将点 代入椭圆 C,计算即得结论;

(Ⅱ) (i)通过设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达 定理计算即可; (ii)通过设 l:y=kx+2 并代入椭圆 C 的方程,利用根的判别式大于 0 可得 k > ,利用韦达定理及
2

>0 计算可得 k <4,进而可得结论.

2

解答: 解: (Ⅰ)由题意得:2a=4,即 a=2, 又点 在椭圆 C 上,∴ , ,即 b =1,
2

∴椭圆 C 的方程为:

焦点 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ; (Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 直线 l 的斜率为 ,且过点 M(0,2) , 故直线 l 的方程为:y= x+2,代入椭圆 C 的方程, 2 整理得:13x +16 x+12=0, 由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ∴|AB|= |x1﹣x2|=2 ,x1x2= , = ;

(ii)由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0, 设 l:y=kx+2,代入椭圆 C 的方程,整理得: 2 2 (1+4k )x +16kx+12=0, 2 2 2 ∵△=(16k) ﹣4?(1+4k )?12=16(4k ﹣3)>0, ∴k > , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

=x1x2+y1y2>0, 又 y1y2=(kx1+2)?(kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4, 2 ∴x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k )
2 2

+2k(﹣

)+4

= ∴k <4, ∴ <k <4,
2 2

>0,

∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是: (﹣2,﹣

)∪(

,2) .

点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题.


广西桂林市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

B 两点. 的取值范围. 广西桂林市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1...

广西桂林市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷_理(含解析)

广西桂林市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷_理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。广西桂林市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)一、选择题(共 ...

广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷_理(含解析)

广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷_理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)一、选择题(共 ...

广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

(ii)若 ,求|AB|的值. >0,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 ...

广西梧州市2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题

广西梧州市2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题 一、选择题:(...

广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 文

广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 文_数学_高中教育_教育专区。2014 年秋季期期末考试高二年级 数学(文科)试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 ...

广西梧州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)

(ii)若 ,求|AB|的值. >0,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 ...

广西梧州市2014-2015学年高二数学试题 理

广西梧州市2014-2015学年高二数学试题 理_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014 年秋季期期末考试高 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 ...

广西桂林市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

广西桂林市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷(含解析)_数学_高中教育_...(x≠0)为有理数,则 x 为无理数”. 其中所有正确命题的序号是. 三、解答...