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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 6.4

时间:2015-07-14


第四节 简单线性规划

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)二元一次不等式(组)表示的平面区域: ①直线l:ax+by+c=0 平面区域 满足条件 一侧平面 区域 ax+by+c>0 直线上 ax+by+c=0 __________ 另一侧 平面区域 ax+by+c<0 __________

②二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by

平面区域 且不含边界,作图时边界直线画成_____, 虚线 当 +c=0某一侧的_________
我们在坐标系中画不等式ax+by+c≥0所表示的平面区域时,此区域应 实线 包括边界直线,此时边界直线画成_____. ③由于对直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y),把点的坐标(x,y)代 相同 所以只需在此直线的某一侧 入ax+by+c,所得到实数的符号都_____, 正负 即可判断ax+by+c >0(<0) 取一个特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c的_____ 原点 作为特殊点. 表示直线哪一侧的平面区域.当c≠0时,常取_____

(2)线性规划中的基本概念: 名 称 意 义 一次不等式(组) 由变量x,y组成的_______________ 线性函数 如z=x+2y 关于x,y的_________,

约束条件 目标函数

可行解
可行域 最优解

满足线性约束条件的解(x,y) 可行解 组成的集合 所有_______

最大值或最小值 的可行解 使目标函数取得_______________ 最大值 或 二元线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的_______ 最小值 问题 问题 _______

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:
①直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线; ②特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特 殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.

(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域: 对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有

①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.

(3)最优解和可行解的关系:
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,

有时唯一,有时有多个.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:特殊点法,平移法. (2)数学思想:数形结合思想. (3)记忆口诀:直线定界,特殊点定域,一画二移三求.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判

(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方. ( (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的. ( ) ( ) )

(4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴 上的截距. ( )

【解析】(1)错误,不等式Ax+By+C>0表示的平面区域不一定在直线 Ax+By+C=0的上方,因为(Ax+By+C)· B>0不一定成立. (2)错误,当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分 时,就无法表示平面上的一个区域. (3)正确,当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时 ,最优解无 穷多.

z (4)错误,目标函数z=ax+by(b≠0)中, 是直线ax+by-z=0在y轴上的 b

截距.

答案:(1)× (2)×

(3)√

(4)×

2.教材改编

链接教材

练一练
?x ? y ? 2 ? 0

x ? 3y ? 6 ? 0, (1)(必修5P108习题3-4A组T1改编)不等式组 ? 表示的平 ?

面区域是

(

)

【解析】选C.x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方部分,x-y+2≥0表示
直线x-y+2=0及其右下方部分.

故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分.

(2)(必修5P108习题3-4A组T4(1)改编)已知x,y满足线性约束条件
? ? x ? 4y ? 3, ? ? y ? 2x, ? 1 ? y ? x, 3 ?

则z=x+2y的最大值为

.

【解析】画出线性约束条件的可行域,平行移动直线x+2y=0,y=- 1 x,
2

当直线经过A点时,z取得最大值,
? x ? 4y ? 3, 9 3 ? 由? 得 A( , ), 1 7 7 y ? x, ? 3 ? 9 3 15 所以z ? x ? 2y ? ? 2 ? ? . 7 7 7 答案: 15 7

3.真题小试

? x ? y ? 7 ? 0, (1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件 ? ? x ? 3y ? 1 ? 0, ?3x ? y ? 5 ? 0, ?

感悟考题

试一试

则z=2x-y的最大值为 A.10 B.8

(

)

C.3

D.2

【解析】选B.画出可行域,可知可行域为三角形,经比较斜率,可知目 标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最 大值z=8.故选B.

? x ? y ? 2 ? 0, (2)(2014·天津高考)设变量x,y满足约束条件 ? ? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 1, ?

则目标

函数z=x+2y的最小值为 A.2 B.3

(

)

C.4

D.5

【解析】选B.作出可行域如图,结合图像可知,当目标函数通过点 (1,1)时,z取得最小值3.

? y ? x, (3)(2014·湖南高考)若变量x,y满足约束条件 ? ? x ? y ? 4, 且z=2x+y ? y ? k, ?

的最小值为-6,则k=

.

【解析】如图,画出可行域,l0:2x+y=0,当l0:2x+y=0运动到过点A(k,k) 时,目标函数取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2.

答案:-2

考点1

平面区域面积的问题
??1 ? x ? y ? 1

1 ? x ? y ? 3, 【典例1】(1)在平面直角坐标系xOy中,不等式组 ? ?

表示

图形的面积等于 A.1

(

) C.3 D.4

B.2

? x ? y ? 1 ? 0, (2)已知不等式组 ? ? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域为D,若直线y=kx+1将 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?

区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是

.

【解题提示】(1)作出不等式组对应的平面区域,根据平面区域的图形 即可计算对应的面积. (2)画出不等式组表示的平面区域,直线y=kx+1过定点(0,1),利用面 积相等确定直线经过的区域边界上的点,然后代入求k值.

【规范解答】(1)选B.不等式组对应的平面区域如图, 对应的区域为正方形ABCD,其中A(0,1),D(1,0),边长AD= 2, 则正方 形的面积S=
2 ? 2 =2,故选B.

(2)区域D如图中的阴影部分所示,直线y=kx+1经过定点C(0,1),如果 其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的 中点即可.

由方程组 ? ?

x ? y ? 1 ? 0,

?3x ? y ? 3 ? 0, x ? y ? 1 ? 0, 由方程组 ? 解得B(2,3). ? ?3x ? y ? 3 ? 0, 所以AB的中点坐标为 ( 3 , 3 ),代入直线方程y=kx+1得,3 = 3 k+, 1 2 2 2 2 解得 k= 1 . 3 1 答案: 3

解得A(1,0).

? x ? 0, 【互动探究】若把本例题(2)的条件改为 ? ? x ? 3y ? 4, 所表示的平面区 ?3x ? y ? 4 ? 域被直线 y=kx+ 4 分为面积相等的两部分,则k的值是 . 3

【解析】由图可知,平面区域为△ABC边界及内部, y=kx+ 4
3 4 将区域平均分成面积相等的两部分, 3 5 5 1 4 7 故过BC的中点 D( 1 , ), =k ? + ,k= . 2 2 2 2 3 3 答案: 7 3

恰过 A(0, ),y=kx+

4 3

【规律方法】平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积: ①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的 已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; ②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形 (如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形, 可分割成几个三角形分别求解再求和即可.

(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形 结合的方法去求解.

? x ? 1, ? 【变式训练】已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为1的直角三角形 ?kx ? y ? 0 ?

区域,则实数k的值为 A.1 B.-1

(

)

C.0

D.-2

x ? 1, 【解析】选A.先作出不等式组 ? ?

?x ? y ? 4

对应的平面区域,如图:

要使阴影部分为直角三角形,
当k=0时,此三角形的面积为 1 ? 3 ? 3= 9 ? 1, 所以不成立,所以k>0,则
2 2

必有BC⊥AB,
因为x+y-4=0的斜率为-1,

所以直线kx-y=0的斜率为1,即k=1,
故选A.

0 ? x ? 1, 【加固训练】已知点P(x,y)满足 ? ?

图形的面积为
A.1

(
B.2

)

?0 ? x ? y ? 2,

则点Q(x+y,y)构成的

C.3

D.4

【解析】选B.设点Q(u,v),则x+y=u,y=v,
0 ? u ? v ? 1, 则点Q(u,v)满足 ? ? ?0 ? u ? 2,

在uOv平面内画出点Q(u,v)所构成的平面区域如图, 它是一个平行四边形,一边长为1,高为2, 故其面积为2×1=2. 故选B.

考点2

简单的线性规划问题 知·考情

线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式考查的重要内容, 在线性规划中,通过最优解求最值或求参数的取值范围问题是高考的 热点和重点,高考中常以选择题、填空题的形式出现.

明·角度 命题角度1:已知约束条件求目标函数的最值
? y ? x, 【典例2】(2014·广东高考)若变量x,y满足约束条件 ? ? x ? y ? 1, ?y ? - 1 ?

且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=

(

)

A.5

B.6

C.7

D.8

【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为

-2.

【规范解答】选B.如图,可行域是以 A( 1 , 1 ), B(-1,-1),C(2,-1)为顶
2 2

点的等腰直角三角形,

所以当动直线z=2x+y经过点C(2,-1)时取得最大值3,经过点B(-1,-1)
时取得最小值-3,所以m-n=6.

命题角度2:已知目标函数的最值,求参数的取值或取值范围
? x ? y-2 ? 0, 【典例3】(2014·北京高考)若x,y满足 ? 且z=y-x的最小 ?kx-y ? 2 ? 0, ? y ? 0, ?

值为-4,则k的值为 A.2

(

)

B.-2

C. 1
2

D. ? 1

2

【解题提示】作出可行域,向右下平移l0:y-x=0判断最小值.

【规范解答】选D.如图,作出可行域,向右下平移l0过点A时,

z取最小值,此时 x ? ? 2 , y ? 0,
所以 0 ?
2 ? ?4, 解得 k ? ? 1 . k 2 k

命题角度3:已知目标函数的最优解的个数求参数
? x ? y ? 2 ? 0, 【典例4】(2014·安徽高考)x,y满足约束条件 ? ? x ? 2y ? 2 ? 0, 若 ?2x ? y ? 2 ? 0, ?

z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为
1 A. 或 ? 1 2 B.2或 1 2 C.2或1 D.2或 ? 1

(

)

【解题提示】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,要

使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则目标函数和其中一条直线平
行,然后根据条件即可求出a的值.

【规范解答】选D.由线性约束条件可得其图像如图所示,由图像可知

直线z=y-ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一,此时a=2或-1.

【一题多解】解答本题,还有以下解法:

选D.画出可行域,如规范解答中图所示,可知点A(0,2),C(2,0),
B(-2,-2),则z(A)=2,z(C)=-2a,z(B)=2a-2. 要使对应最大值的最优解有无数组, 只要z(A)=z(B)>z(C)或z(A)=z(C)>z(B)或z(B)=z(C)>z(A), 解得a=-1或a=2.

悟·技法

1.利用可行域求线性目标函数最值的方法
首先利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得 点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法 利用约束条件作出可行域,通过分析可行域及目标函数确定最优解的 点,再利用已知可解参数的值或范围.

3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法 画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据 几何意义可求得最值.

通·一类
? x ? y ? 10, 1.(2015·吉安模拟)设变量x,y满足 ? ?0 ? x ? y ? 20, ?0 ? y ? 15 ?

则2x+3y的最大

值为

(

)

A.20
C.45

B.35
D.55

【解析】选D.可行域如图所示:

由?

? y ? 15, 得A(5,15),A点为最优解, ? x ? y ? 20

令z=2x+3y,所以zmax=2×5+3×15=55,故选D.

? x ? 1, 2.(2015·烟台模拟)实数x,y满足 ? ? y ? a ? a ? 1? , 若z=x+y的最大值为4, ? x ? y ? 0, ?

则实数a的值为 A.2

(

)

B.3

C.4

D.

3 2

【解析】选A.由z=x+y得y=-x+z,

作出不等式组表示的区域,平移直线y=-x+z,
结合图像可知当直线y=-x+z经过点D时, z的值最大,为4,
? x ? y ? 4, ? x ? 2, 由? 解得 ? ? x ? y ? 0, ? y ? 2,

即D(2,2),所以a=2,故选A.

? x ? y ? 5 ? 0, 2+y2的最 3.(2015·延安模拟)设x,y满足条件 ? 则 z=(x+1) ? x ? y ? 0, ? x ? 3, ? 大值为 . ? x ? y ? 5 ? 0, 【解析】作出不等式组 ? 表示的平面区域,如图中阴影部 ? x ? y ? 0, ? x ? 3, ? 分所示.

(x+1)2+y2可看作点(x,y)到点P(-1,0)的距离的平方,由图像可知可行

域内的点A到点P(-1,0)的距离最大.
解方程组 ?
? x ? 3, ? x ? y ? 5 ? 0,

得A点的坐标为(3,8),

代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80. 答案:80

? x ? 2y ? 4 ? 0, 4.(2014·浙江高考)当实数x,y满足 ? ? x ? y ? 1 ? 0, 时,1≤ax+y≤4 ?x ? 1 ?

恒成立,则实数a的取值范围是

.

? x ? 2y ? 4 ? 0, 【解析】作出不等式组 ? ? x ? y ? 1 ? 0, 所表示的区域,由1≤ax+y≤4, ?x ? 1 ? 由图可知,

a≥0且在(1,0)点取得最小值,在(2,1)点取 得最大值,所以a≥1,2a+1≤4,故a的取值 范围为 [1, 3 ]. 答案: [1, 3 ]
2 2

考点3

线性规划的实际应用

【典例5】某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、
煤和电如下表: 产品品种 劳动力(个) 煤( 吨) 电(千瓦)

A产品
B产品

3
10

9
4

4
5

已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,

现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供
电200千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润? 【解题提示】题目的设问是“该企业如何安排生产,才能获得最大利 润”,这个利润是由两种产品的利润所决定的 ,因此A,B两种产品的生 产数量决定着该企业的总利润,故可以设出A,B两种产品的生产数量, 列不等式组并建立目标函数求解.

【规范解答】设生产A,B两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,
?3x ? 10y ? 300, ?9x ? 4y ? 360, 依题意,得 ? ? ?4x ? 5y ? 200, ? ? x ? 0, y ? 0.

目标函数为z=7x+12y. 作出可行域,如图中阴影部分.

当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M时z取最大值.
?3x ? 10y ? 300, ? x ? 20, 解方程组 ? 得? ?4x ? 5y ? 200, ? y ? 24.

因此,点M的坐标为(20,24). 所以该企业生产A,B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.

【规律方法】解线性规划应用问题的四个步骤

(1)分析题意,设出未知量.
(2)列出线性约束条件和目标函数. (3)作出可行域并利用数形结合求解. (4)作答.

【变式训练】农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资

金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价

黄瓜
韭菜

4吨
6吨

1.2万元
0.9万元

0.55万元
0.3万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,则黄

瓜和韭菜的种植面积分别是多少亩?

【解析】设种植黄瓜x亩,韭菜y亩,
? x ? y ? 50, ? 由题意得 ?1.2x ? 0.9y ? 54, ? x ? 0, y ? 0, ? ? x ? y ? 50, 即? ?4x ? 3y ? 180, ? x ? 0, y ? 0, ?

设总利润为z,则z=x+0.9y. 作可行域如图所示,

? x ? y ? 50, 由 ? 得A(30,20). 4x ? 3y ? 180, ?

当目标函数线l向右平移,移至点A(30,20)处时,目标函数取得最大值, 即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大. 所以,黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时,一年的种植总利润最大.

【加固训练】甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位

同学往返车费是5元,每人可为3位老人服务,乙校每位同学往返车费是
3元,每人可为5位老人服务,两校都有学生参加,甲校参加活动的学生 比乙校至少多1人,且两校同学往返总车费不超过45元.如何安排甲、 乙两校参加活动的人数,才能使受到服务的老人最多?受到服务的老人 最多是多少?

【解析】设甲、乙两校参加活动的人数分别为 x,y,

受到服务的老人的人数为z=3x+5y,
? x ? y ? 1, 依题意,x,y应满足的约束条件为 ?5x ? 3y ? 45, ? ? x, y ? N*, ?

可行域为图中阴影部分中的整点,

画直线l0:3x+5y=0,并向右上方平移l0到l,当l经过可行域的某点,这一

点的坐标使目标函数取最大值.
x ? y ? 1, 解方程组 ? ? ?5x ? 3y ? 45,

得? ?

x ? 6,

? y ? 5,

M(6,5)满足约束条件,

因此,当x=6,y=5时,z取最大值, zmax=3×6+5×5=43. 答:甲、乙两校参加活动的人数分别为 6和5时,受到服务的老人最多, 最多为43人.

自我纠错17

求非线性目标函数的最值

?7x ? 5y ? 23 ? 0, 【典例】已知 ? x ? 7y ? 11 ? 0, 则x2+y2的最大值为___,最小值为___. ? ?4x ? y ? 10 ? 0, ?

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:上述解题过程中误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最 值认为是求三点A,B,C到原点的距离的平方的最值.

【规避策略】

1.准确作图
在利用可行域求目标函数的最值时首先要利用约束条件作出可行域, 一定要准确,特别是边界一定要明确是否包含. 2.准确理解目标函数的几何意义 在求非线性目标函数的最值时,一定要准确理解目标函数的几何意义, 利用其几何意义结合可行域准确解题.

?7x ? 5y ? 23 ? 0, 【自我矫正】不等式组 ? ? x ? 7y ? 11 ? 0, 表示的平面区域为如图所示 ?4x ? y ? 10 ? 0 ?

△ABC的内部(包括边界),

令z=x2+y2,则z即为点(x,y)到原点的距离的平方.

由? ?

7x ? 5y ? 23 ? 0,

? x ? 7y ? 11 ? 0,

得A点坐标(4,1),

此时z=x2+y2=42+12=17,
7x ? 5y ? 23 ? 0, 由? ? ?4x ? y ? 10 ? 0,

得B点坐标(-1,-6), 此时z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,

x ? 7y ? 11 ? 0, 由? 得C点坐标(-3,2), ? ?4x ? y ? 10 ? 0,

此时z=x2+y2=(-3)2+22=13,

而在原点处, ?

? x ? 0, ? y ? 0,

此时z=x2+y2=02+02=0,

所以当 ? ?

x ? ?1,

? y ? ?6 x ? 0, 时x2+y2取得最小值0. 当? ? ?y ? 0

时x2+y2取得最大值37,

答案:37 0


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