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广东省广州二中、深圳实验、珠海一中、中山纪念、惠州一中、东莞中学2009届高三第二次六校联考—数学(文)

时间:2010-05-22


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2009 届六校第二次联考 高三年级文科数学试卷
命题学校 中山纪念中学 苏建民 本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分,满分 150 分. 考试用时间 120 分钟. 注意事项:

1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上; 2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上. 答在第Ⅰ卷上不得分; 3.考试结束,考生只需将第Ⅱ卷(含答卷)交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

第Ⅰ卷(选择题、填空题共 70 分) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. 设全集 U ? R , A ? x x( x ? 3) ? 0 , B ? x x ? ? 1 , 则下图中阴影部 分表示的集合为 ( A. C.

?

?

?

?

U

A

? x x ? 0? ? x ?3 ? x ? ?1?
B. 2

) B. D.

B

? x ?3 ? x ? 0? ? x x ? ?1?
2

2. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 则 AB ? BC ? AC =( A. 0 C. D. 2 2

??? ??? ???? ? ?



3. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km , 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 , 灯塔 B 在观察 站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( A. a B.
?

?

) km

2a

C. 2 a

D.

3a
) D.

4. 曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程为( A. y ? 2 x ? 2 B. y ? 2 x ? 2

C. y ? x ? 1

y ? x ?1
)

5. 设函数 A. 2

? 2 x x ? ( ??, 2] f ( x) ? ? , ?log 2 x x ? (2, ??)

则满足 f ( x) ? 4 的 x 的值是 (

B. 16 C. 2 或 16 D. ?2 或 16 ? ? ? ? 3 1 1 b ,   cos   6. 设向量 a ? (sin x, ),   ? (      x), 且 a // b , 则锐角 x 为( ) 4 3 2 ? ? ? 5 ? A. B. C. D. 12 6 4 3 2 7. 已知等差数列 {an } 中, a3 , a15 是方程 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根, 则 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 等于( A. 18 B. ?18 C. 15 D. 12



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8. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值是4, 最小值是 0, 最小正周期是 一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是( A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? 2sin(4 x ? )

? ? , 直线 x ? 是其图象的 3 2

?
6

) )?2

B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin(4 x ?

?
3

)?2 )?2
)

?
3

?
6

9. 若函数 y ? f (x) 的图象如右下图所示, 则函数 y ? f (1 ? x) 的图象大致为 (

A.

B. A

C. A

D. A

    时 10. 已 知 a ? 0 且 a ? 1, f ( x) ? x2 ? a x   当 x ? (?1, 1)   均 有 f ( x) ? ,  
( ) A. ? 0 , ? ? ?2, ? ? ?

1  则实数 a 的取值范围是 , 2
D. ? 0  ? ? ?4, ? ? ,  ?

? ?

1? 2?

B. ?  ? ? ?1 ? ,1   ,  4 ?4 ?

?1

?

C. ?    ?1 ,? ,1? ? 2   ?2 ?

?1

?

? ?

1? 4?

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 函数 f ( x) ?

x?4 的定义域为_____ | x | ?5

________.

12. 若 f (n) 为 n 2 ? 1 的各位数字之和 (n ?N? ) , 如: 因为 142 ? 1 ? 197, 1 ? 9 ? 7 ? 17 , 所以 f (14) ? 17 . 记 f1 (n) ? f (n) , f 2 (n) ? f ( f1 (n)) , …, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) ( k ? N? ), 则 f2008 (8) = 13. 如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图, 则此几何体共由____ 14. 对于函数 f ( x) ? sin x ? cos x , 给出下列四个命题: ① 存在 ? ? (0, . _____块木块堆成.

?
2

) , 使 f (? ) ?

4 ; 3

② 存在 ? ? (0,

?
2

正视图

侧视图

) , 使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? 3? ) 恒成立;

③ 存在 ? ? R , 使函数 f ( x ? ? ) 的图象关于 y 轴对称; ④ 函数 f(x)的图象关于点 (

3? ,0) 对称; 4

俯视图

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⑤ 若 x ? ?0,

? ?? , 则 f ( x) ?[1, 2] . ? 2? ?
.

其中正确命题的序号是

第Ⅱ 卷(解答题共 80 分) 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , a ? b ? (Ⅰ) 求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ) 若 0 ? ? ?

?

?

? ?

2 5 . 5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

16. (本小题满分 12 分)

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已知函数 f ( x) ? x3 ? (m ? 4) x2 ? 3mx ? (n ? 6) 在定义域内是奇函数. (1) 求 m , n 的值; (2) 求 f ( x ) 在区间 [?3, 2] 上的极值和最值.

17. (本小题满分 14 分)

已知点集 L ? ( x, y ) y ? m ? n , 其中 m ? (2x ? 2b, 1), n ? (1, 1? 2b) 为向量, 点列 P (an , bn ) 在点 n 集 L 中, P 为 L 的轨迹与 y 轴的交点, 已知数列 ?an ? 为等差数列, 且公差为 1, n ? N* . 1

?

?? ? ?

?

?? ?

?

?bn ? 的通项公式; ???? ????? ? (2) 求 OP ? OP ?1 的最小值; n n
(1) 求数列 ?an ? , (3) 设 cn ?

5 ?????? (n ? 2) , 求 c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn 的值. ? n ? an Pn Pn ?1

18. (本小题满分 14 分)

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(1) 如图 1, 在三棱锥 A ? BCD 中, M , N 分别是 ?ABC 和 ?ACD 的重心, 求证: MN // BD . (2) 如 图 2, 在 三 棱 锥 S ? ABC 的 侧 棱 SA, SB, SC 上 分 别 取 A?, B?, C? 三 点 , 使 SA? ?

1 SA , 2

1 SB? ? SB , 3
比.

SC ? ?

1 SC , 过 A?, B?, C? 三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积 4

A

M B C
图1

N D

S C' A' B'

A

C

B

图2

19. (本小题满分 12 分)

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某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售 1 进行扶持, 已知每投入 x 万元, 可获得纯利润 P ? ? ( x ? 40) 2 ? 100万元 (已扣除投资, 下同). 当地政 160 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来 10 年内对该项目每年都投 入 60 万元的销售投资, 其中在前 5 年中, 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路. 公路 5 年 建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的 5 年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在 159 119 外地销售的投资收益为: 每投入 x 万元, 可获纯利润 Q ? ? (60 ? x) 2 ? (60 ? x) 万元. 问仅从这 10 160 2 年的累积利润看, 该规划方案是否可行?

20.(本小题满分 14 分)

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已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

a , 将 y ? f ( x) 的图象向右平移两个单位, 得到 y ? g ( x) 的图象. 2x

(1) 求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2) 若函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称, 求函数 y ? h( x) 的解析式; (3) 设 F ( x) ?

1 f ( x) ? h( x), 设 F ( x) 的最小值为 m . 是否存在实数 a , 使 m ? 2 ? 7 , 若存在, 求出 a

a 的取值范围, 若不存在, 说明理由.

2008 年 11 月六校联考文科数学答案

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一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) CDDCC BCDAC 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. {x| x ? 4且x ? 5 } 12. 11 13. 5 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. 解:(Ⅰ)?a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) ,

14. ①③④⑤

?

?

? ? ………………………………………………………… (2) ? a ? b ? ? cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ? . ? ? 2 5 2 5 2 2 , , …………………… (4) ? ? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? a ?b ? 5 5 4 3 2 ? 2 c o?? ? ? ? ? , s ? cos ?? ? ? ? ? . ………………………………………… (7) 即 5 5 ? ? (Ⅱ)? 0 ? ? ? , ? ? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , ………………………………………… (8) 2 2 3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . ………………………………………………………… (9) 5 5 5 12 ? sin ? ? ? , ? cos ? ? , …………………………………………………………… (10) 13 13 ? sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ……………………………………………………………………… (12) ? ?
? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?
………………………………………………………… (13)

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ? ? ? ? ? . ………………………………………………………………………… (14) 5 13 5 ? 13 ? 65
16. 解: (1) 依题意得 f (? x) ? ? f ( x) ,
3 2

……………………………………………………………… (1)

即 (? x) ? (m ? 4)(? x) ? 3m(? x) ? (n ? 6) ? ? x3 ? (m ? 4) x2 ? 3mx ? (n ? 6) , ……………………… (2) ∴2(m ? 4) x2 ? 2(n ? 6) ? 0 , ……………………………………………………………………… (3) 故m ? 4 , n ? 6.
2

…………………………………………………………………………………… (4)
3

(2) 由(1)得 f ( x) ? x ?12 x ,

……………………………………………………………………… (5)

∴ f ?( x) ? 3x ?12 ? 3( x ? 2)( x ? 2) , …………………………………………………………… (6) 当 x ? (?3, ?2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (?2 , 2) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ……………………………………………………………………………………………………… (8) 所以当 x ? ?2 时, f ( x ) 有极大值 16. ………………………………………………………………… (9) ? f (?3) ? 9 , f (2) ? ?16 , ……………………………………………………………………… (10) ? f max ( x) ? f (?2) ? 16 , ? f min ( x) ? f (2) ? ?16 . ……………………………………………… (12) 17. 解: (1) 由 y ? m ? n , m ? (2x ? 2b, 1), n ? (1, 1? 2b) , 得: y ? 2 x ? 1 即 L : y ? 2x ? 1

? ?? ? ?? ?

?

…………………… (2) ……… (3)

? 数列 ?an ? 为等差数列,

? P1 为 L 的轨迹与 y 轴的交点,
?

? P (0,1) 1
?

则 a1 ? 0, b1 ? 1

且公差为 1, ? an ? n ?1 (n ? N ) ,

………………………………… (4)

代入 y ? 2 x ? 1 , 得: bn ? 2n ?1 (n ? N ) (2) ? P (n ?1, 2n ?1) , ? P ?1 (n, 2n ? 1) , n n

……………………………………………………… (5)

???? ????? ? 1 21 ? OPn ? OPn ?1 ? (n ? 1, 2n ? 1) ? (n, 2n ? 1) ? 5n 2 ? n ? 1 ? 5(n ? ) 2 ? 10 20

……………………… (8)

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? n ? N? , 所以当 n ? 1 时, OP ? OP ?1 有最小值, 为 3 . …………………………………………… (9) n n ?????? ? (3) 当 n ? 2 时, Pn (n ? 1,2n ? 1) , 得: an ? Pn Pn ?1 ? 5(n ? 1), ………………………………… (10)

???? ????? ?

Cn ?

5 1 1 1 ? ? , ?????? ? ? n ? an ? Pn Pn ?1 n(n ? 1) n ? 1 n

………………………………………………………… (12)

1 1 1 1 1 1 ? C2 ? C3 ? ?? ? Cn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? . 2 2 3 n ?1 n n

……………………………… (14)

18. 解: (1) 连结 AM , 延长交 BC 于 P ; 连结 AN , 延长交 CD 于 Q , 连结 PQ .

………………… (1)

? M , N 分别是 ?ABC 和 ?ACD 的重心,
? AM AN 2 ? ? . AP AQ 3
……………………………………………… (3) ………………… (5)

A

? MN // PQ , 且 P, Q 分别是 BC , CD 的中点.

? PQ // BD ,

M
………………………………………………………… (6) …………………………………………… (7)

N D Q

B P C
S C' A' B'

由公理 4 知: MN // BD . (2) 解:

S?SB?C ? SB? ? SC ? sin ?B?SC ? 1 ? ? , ……………………… (10) S?SBC SB ? SC sin ?B?SC ? 12 设点 A? 到平面 SBC 的距离为 h? , A 点到平面 SBC 的距离为 h . 1 h? 1 ? SA? ? SA , ? ? . …………………………………………… (12) 2 h 2 1 S ? h? VS ? A?B?C ? VA?? SB?C ? 3 ?SB?C ? 1 . ……………………………… (13) ? ? ? 1 VS ? ABC VA? SBC 24 S?SBC ? h 3 故三棱锥被分成的两部分的体积比为 1: 23 . ………………………… (14)
19. 解: 在实施规划前, 由题设 P ? ?

A

C

B

1 ( x ? 40) 2 ? 100(万元), 知每年只须投入 40 万, 即可获得最大利润 160

100 万元. 则 10 年的总利润为 W1=100× 10=1000(万元). …………………………………………… (3) 1 795 实施规划后的前 5 年中, 由题设 P ? ? (万 ( x ? 40) 2 ? 100知, 每年投入 30 万元时, 有最大利润 Pmax ? 160 8 元). ………………………………………………………………………………………………………… (5) 795 3975 ?5 ? 前 5 年的利润和为 (万元). ………………………………………………………………… (6) 8 8 设在公路通车的后 5 年中, 每年用 x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的(60-x)万元于外地区的销售投 资, ………………………………………………………………………………………………………… (7)

则其总利润为 1 159 2 119 W2 ? [? ( x ? 40) 2 ? 100] ? 5 ? (? x ? x) ? 5 ? ?5( x ? 30) 2 ? 4950. 160 160 2

……………………………… (9)

当 x=30 时,W2|max=4950(万元). ……………………………………………………………………… (10) 3975 ? 4950(万元). 从而 10 年的总利润为 ………………………………………………………… (11) 8

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? 3975 ? 4950? 1000, 8

? 该规划方案有极大实施价值.
x?2

…………………………………………… (12)

20. 解: (1) 由题设, g ( x) ? f ( x ? 2) ? 2

2 x?2 (2) 设点 ( x, y ) 在 y ? h( x) 的图象上, 点 ( x1 , y1 ) 在 y ? g ( x) 的图象上, 且与点 ( x, y ) 关于直线 y ? 1 对

?

a

.

……………………………………………… (2)

称, 则 ?

? x1 ? x , ? y1 ? 2 ? y

………………………………………………………………………………… (4)

2 x?2 x a 1 1 1 2 1 (3) 由题设, F ( x) ? ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 = ( ? )2 x ? x (4a ? 1) ? 2 ………………… (7) 2 a 4 2 a 2 ?a ? 0 1 1 1 x ① 当 a ? 0 时, 有 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 , 而 2 ? 0 , x ? 0 , a 4 2 ? F ( x) ? 2 , 这与 F ( x) 的最小值 m ? 2 ? 7 矛盾; …………………………………………… (8) 1 1 1 ② 当 0 ? a ? 时, 有 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 , 此时 F ( x) 在 R 上是增函数, 故不存在最小值; 4 a 4
……………………………………………………………………………………………………… (9) ③ 当 a ? 4 时, 有

? 2 ? y ? g ( x), ? y ? 2 ? g ( x) , 即 h( x) ? 2 ? 2 x ? 2 ?

a

.

…………………………………… (6)

1 1 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 , 此时 F ( x) 在 R 上是减函数, 故不存在最小值; a 4
……………… (11)

……………………………………………………………………………………………………… (10) ④当

1 1 1 (4 ? a)(4a ? 1) ? a ? 4 时, 有 ? ? 0 , 4a ? 1 ? 0 , F ( x) ? 2 ? 2, 4 a 4 4a
x

4a(4a ? 1) 时取得等号, 4?a (4 ? a)(4a ? 1) F ( x) 取最小值 m ? 2 ? 2 . ……………………………………………………… (12) 4a ? (4 ? a)(4a ? 1) 7 ? ? 1 ? 4a 4 又m ? 2? 7 及 ? a ? 4 , 得? …………………………………………… (13) 4 ?1 ? a ? 4 ?4 ? ?1 ?2 ? a ? 2 1 ? , ? ? a ? 2. ……………………………………………………………………… (14) ? 1 2 ? ?a?4 ?4 ?
当且仅当 2 ? 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn


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