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2013届高三数学暑假天天练30

时间:2013-09-04


2013 届高三数学暑假作业
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1) A.200 C.400 D.-400 解析:S100=1-5+9-13+…+(4×99-3)-(4×100-3)=50×(-4)=-200. 答案:B 1 1 1 2.数列 1, , ,…,

的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+…+n A. C. 2n 2n B. 2n+1 n+1 )
n-1

·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(

)

B.-200

n+2 n D. n+1 2n+1
1 ? 2 ?1 ,分裂为两项差的形式为 an=2? - ,令 n= n n+1? n(n+1) ? ?

解析:该数列的通项为 an= 1,2,3,…,则 Sn=

1 1 ? ? 1 1 1 1 1 2?1- + - + - +…+ - . 2 2 3 3 4 n n+1? ? ? ∴Sn=2?1- 答案:B 3.设 f(n)=2+2 +2 +2 +…+2 2 n 2 n+1 A. (8 -1) B. (8 -1) 7 7 2 n+3 2 n+4 C. (8 -1) D. (8 -1) 7 7 解析: (n)为等比数列{2 f 2 n+4 = (8 -1). 7 答案:D 3 4.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= an-3,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3 C.3
n+1
3n-2 4 7 10 3n+10

? ?

1 ? 2n = . n+1? n+1 ?

(n∈N),则 f(n)等于(

)

2(1-8 ) }的前 n+4 项的和, 首项为 2, 公比为 8, f(n)= 故 1-8

n+4

)

-3 B.3 -3 +3 D.3 +3
n

n

n+1

-1-

3 3 3 解析:∵Sn= an-3,∴Sn+1= an+1-3,两式相减得:Sn+1-Sn= (an+1-an). 2 2 2 3 an+1 即 an+1= (an+1-an),∴ =3. 2 an 3 3 又∵S1= a1-3,即 a1= a1-3, 2 2 ∴a1=6. ∴an=a1·q
n-1

=6×3

n-1

=2×3 .

n

3 3 n n+1 ∴Sn= an-3= ×2×3 -3=3 -3,故应选 A. 2 2 答案:A 1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1- C.n +1-
2 2

)

1 1 2 B.2n -n+1- n n 2 2 1 2
n-1

D.n -n+1-

2

1 n 2

1 解析:该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ n, 2 1? 1 ?1 1 2 则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+? + 2+…+ n?=n +1- n.故选 A. 2? 2 ?2 2 答案:A 6.数列 an= 1

n(n+1)

9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n 10 )

=0 在 y 轴上的截距为( A.-10 B.-9

C.10 D.9 解析:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=a1+a2+…+an, 1 1 又∵an= - , n n+1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=1- + - +…+ - = , 2 2 3 n n+1 n+1 又∵ 9 = ,∴n=9, n+1 10

n

∴原题变为求 10x+y+9=0 在 y 轴上的截距,令 x=0,得 y=-9, ∴直线在 y 轴上的截距为-9.故选 B. 答案:B 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)
-2-

7. 已知函数 f(x)对任意 x∈R, 都有 f(x)=1-f(1-x), f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1) 则 +f(2)+f(3)=________. 解析:由条件可知:f(x)+f(1-x)=1. 而 x+(1-x)=1, ∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,

f(0)+f(1)=1,
∴f(-2)+f(-1)+…+f(2)+f(3)=3. 答案:3 1 2 3 4 n 8. + 2+ 3+ 4+…+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 2 3 n 解析:设 S= + 2+ 3+…+ n, 2 2 2 2 1 1 2 n-1 n 则 S= 2+ 3+…+ n + n+1. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 相减,得 S= + 2+…+ n- n+1 2 2 2 2 2 1? 1? ?1-2n? 2? ? n = - n+1. 1 2 1- 2 1 n ∴S=2- n-1- n. 2 2 1 n ∴原式=- n-1- n. 2 2 1 n 答案:- n-1- n 2 2 1 1 1 1 9.数列 2 , 2 , 2 , 2 …的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8 解析:an= 1 ? 1 1?1 = ? - ?, n +2n 2?n n+2?
2

1 1 ??1-1?+?1-1?+?3-5?+…+? ? 3? ?2 4? ? ? ? ? ? ? ? 1?? ? ∴S = 2??1 1 ? ? ??n-n+2? ? ? ?
n

1 1 ? 1? 1 - = ?1+ - 2 n+1 n+2? 2? ? 3 2n+3 = - . 4 2(n+1)(n+2)

-3-

3 2n+3 答案: - 4 2(n+1)(n+2)
?n ? 10.函数 f(n)=? 2 ? ?-n
2

(n为奇数) (n为偶数)

,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+…+a1000=

__________. 解析:a2n=f(2n)+f(2n+1)=-4n +(2n+1) =4n+1,a2n-1=f(2n-1)+f(2n) =-(2n) +(2n-1) =-4n+1 所以数列的前 1000 项和可分为两部分: (a1+a3+a5+…+a999)+(a2+a4+a6+…+a1000)=1000. 答案:1000 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 1? ? 2 11.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=
2 2 2 2

Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

1? ? 2 解:(1)∵Sn=an?Sn- ?, 2? ?

an=Sn-Sn-1(n≥2),
1? ? 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ?, 2? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn① 由题意 Sn-1·Sn≠0, 1 1 故①式两边同除以 Sn-1·Sn,得 - =2.

Sn Sn-1

1 1 1 ∴数列{ }是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列,

Sn

S1 a1

1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,

Sn

∴Sn=

1 . 2n-1

Sn 1 (2)∵bn= = 2n+1 (2n-1)(2n+1)

-4-

1 ? 1? 1 - = ? ?, 2?2n-1 2n+1? ∴Tn=b1+b2+…+bn 1?? 1? ?1 1? ? 1 - 1 ?? = ??1- ?+? - ?+…+? ?? 3? ?3 5? 2?? ?2n-1 2n+1?? 1 ? 1? n = ?1- = . 2n+1? 2n+1 2? ? 12.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=
2

n2+n+1 ,求数列{bn}的前 99 项的和. an·an+1

解:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0), ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴a3=a1a9, ∴(a1+2d) =a1(a1+8d),∴d =a1d, ∵d>0,∴a1=d,① ∵S5=a5, 5×4 2 ∴5a1+ ·d=(a1+4d) ② 2 3 3 由①②得 a1= ,d= , 5 5 3 3 3 * ∴an= +(n-1)× = n(n∈N ). 5 5 5 (2)bn= 3 3 n· (n+1) 5 5 = = 25 n +n+1 · 9 n(n+1) 1 ? 25? 1 ?1+ - ?, 9 ? n n+1?
2 2 2 2 2

n2+n+1

∴b1+b2+b3+…+b99 1 ?1+1-2+1+1-1+1+1-1+…? 25 2 3 3 4 25 ? ?= ×?99+1- 1 ? = × ? 100? 9 ? ? 1 1 ? 9 ? ?+1+99-100 ? =275+2.75=277.75. 13.(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中,a1=1,

? 1?2 * 2an+1=?1+ ? ·an(n∈N ). ?
n?

-5-

(1)证明:数列{ 2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2

an n

an+1 1 an 解:(1)证明:由条件得 2= · 2, (n+1) 2 n
又 n=1 时, 2=1,

an n

an 1 故数列{ 2}构成首项为 1,公比为 的等比数列. n 2
从而 2=

an 1 n2 n-1,即 an= n-1. n 2 2
2 2

(n+1) n 2n+1 (2)由 bn= - n= n 得 n 2 2 2

Sn= + 2+…+

3 2

5 2

2n+1 n 2

1 3 5 2n-1 2n+1 ? Sn= 2+ 3+…+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 1 ? 2n+1 1 3 ?1 1 两式相减得 Sn= +2? 2+ 3+…+ n?- n+1 , 2 2 2? 2 2 2 ? 2n+5 所以 Sn=5- n . 2

-6-


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