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1.5正弦函数y=sinx的图像与性质

时间:2012-03-14


北师大课标必修4 北师大课标必修4·§1.5

1.5.2 正弦函数的 图像

知识回顾
1. 三角函数是以角 实数)为自变量的函数 三角函数是以角(实数 为自变量的函数 实数 为自变量的函数.

y = sin x, x ∈ R
2. 常用画图的方法 描点法 常用画图的方法: π π π π y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 3 π 而 sin = ≈ 0.866, 不便于描 点 3 2

故介绍另一种画法:几何法 即利用三 故介绍另一种画法 几何法(即利用三 几何法 角函数线画图) 角函数线画图

正弦函数的图象 三角函数 正弦函数
y

三角函数线
sinα=MP α

正弦线MP
注意:三 注意: 角函数线 是有向线 段!

P T
-1
O

α

A(1,0)x M

问题提出 问题:如何利用单位圆中正弦线来作出正弦函 问题:如何利用单位圆中正弦线来作出正弦函 利用单位圆中正弦线来 数的图象? 数的图象? 描图: 描图:用光滑曲线
B
y 1

将这些正弦线的 终点连结起来 终点连结起来

O1

A O
-1

π
3

2π 3

π

4π 3

5π 3



x

y=sinx x∈R ∈ y=sinx x∈[0,2π] ∈ π f ( x + 2 kπ ) = f ( x ) 利用图象平移

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z π ∈

y
1

?

π
2

o -1

π
2

π

3π 2



x

y=sinx x∈[0,2π] ∈ π y=sinx x∈R ∈
-4π π -3π π -2π π -π π

正弦曲线
y
1

o
-1

π

2π π

3π π

4π π

5π π

6π π

x

y
1 -4π -3π -2π -π

正弦曲线
π

o
-1











x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在……, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在 的图象在 , 与 ∈ 的图象相同 [? 4π ,?2π ] , [? 2π ,0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ], …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

想一想
如何作出正弦函数的图象( 如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高 正弦函数的图象 时)?
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π

五点画图法
( π ,0)

?

π

五点法—— 五点法

( ,1) 2 (0,0) π -1 ( ,1) 2 (0,0) π ( 2 ,1) (0,0) π (0,0) ( 2 ,1) π (0,0) ( π ,1) (0,0) 2 ( 2 ,1) (0,0)

2

π

π

( π ,0) ( π ,0)

( π ,0) (3π ,-1) 3π ( π ,0)2 3,1) ( 2 π3π ( π ,0) ( 2 ,1)π ( 3 ,1) 2( 3,1) π ( π ,0) 2 3π ,-1) (π ( π ,0) 33 2 ,-1) π ( ( π ,0) ( (222,-1) ,-1)

3π 2

( 2π ,0) ( 2π ,0)



x

( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0)

例题解析 画出函数y=-sinx,x∈[0, 2π]的简图: 的简图: 例1.(1) 画出函数 , ∈ π 的简图
x
sinx -sinx
y 2 1

0 0 0

π
2

π 0 0

3π 2

2π 0 0 步骤: 步骤: 1.列表 列表 2.描点 描点 3.连线 连线

x

1 -1

-1 1

y=-sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

?

π
2

o -1

π
2

π

3π 2

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

例题解析
画出函数y=1+sinx,x∈[0, 2π]的简图: 的简图: 例1.(2) 画出函数 , ∈ π 的简图 x
sinx 1+sinx
y 2 1

0 0 1

π
2

π 0 1

3π 2

2π 0 1

1 2

-1 0

步骤: 步骤: 1.列表 列表 y=1+sinx,x∈[0, 2π] 2.描点 , ∈ π 描点 3.连线 连线
π
2

?

π
2

o -1

π

3π 2



x

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

课内练习
练习:在同一坐标系内, 练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sin(x+ 2 ),x∈[ , ∈
π
?

π
2

,

3π 2

] ;y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π

x x
y 2 1
?

?

π
2

0

π0
2

π2 0 -1

3 ππ 2

3π 22π

sinx π 1 0 sin( x+ 2 )

0 1

-1 0

0 1

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2

π
2

o -1

π

3π 2



x

课堂小结 几何画法

小 1. 正弦函数曲线
五点法



2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联 注意与诱导公式、 注意与诱导公式 系
y 1

?

π
2

o -1

π
2

π

3π 2
y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π



x

课后作业

用“五点法”作下面函数的图象. 五点法”作下面函数的图象 1、y=sin(x+π), x∈ [ 0,2π] 、 ∈ 2、 2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]

关键是把“五点”找准, 关键是把“五点”找准,并想一想 找 “五点”有什么规律? 五点”有什么规律?

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1.5.3 正弦函数的 性质

正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y =1
π
2

? 2π



?

π
2

O

?1

π

3π 2






y = ?1

x

(1)定义域 )

实数集R

1 当x=________________时, y max = _____ 时 2
(2)值域 )
π + 2kπ 2 当x=________________时, 时
?

π

+ 2kπ

? 1值域是: [? 1, ] ymin = _____ 1 值域是:
2kπ

(3)周期性 )

sin(x+2kπ)=sin x, (k∈Z),

(4)正弦函数的单调性 )
y
1 -3π
5π ? 2

-2π

3π ? 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2

x

7π 2



x
sinx

?

π
2



0 0



π
2



π 0



3π 2

-1

1

-1

y=sinx (x∈R) ∈ π ? ππ π + 2kπ ?, k ∈ Z 其值从-1增至 增区间为 [ ? ? 2 2kπ , 2 ] ? ? 2+ , 其值从 增至1 增至 ? ?

2 ? π π ,3π ] ? 减至-1 减区间为 [ +22kπ , 3π + 2kπ , k ∈ Z 其值从 1减至 减至 ?2 ? 2 2 ? ?

(5)正弦函数的奇偶性 )
y 1
y =1
π
2

? 2π



?

π
2

O

?1

π

3π 2






y = ?1

x

sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈

y=sinx (x∈R)是奇函数 ∈ 是

图象关于原点对称

y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称

y
1 -3π
?
5π 2

-2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2

x

7π 2



y=sinx

例1

比较下列各组正弦值的大小: 比较下列各组正弦值的大小:

1) sin(? )与 sin(? ) 8 10
1)因为 )

π

π

5 7 2) sin π与 sin π 8 8
π
8 <?

分析: 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。 单调性进行比较 分析: 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
解:

?

π
2

<?

π
10

<0

? π π? 并且f(x)=sinx在?? , ? 在 上是增函数, 并且 上是增函数,所以 ? 2 2?

sin( ?
2)因为 )

π

π

7 < < π <π 2 8 8

8 5π

) < sin( ?

π

10

)

并且f(x)=sinx在 [ 在 并且

上是减函数, , π ] 上是减函数,所以 2 5 7 π > sin π sin 8 8

π

例2

求函数 f ( x ) = sin( 2 x +

π
6

取何值时到达 ) 在x取何值时到达

最大值? 取何值是到达最小值? 最大值?在x取何值是到达最小值? 取何值是到达最小值 关键点: 关键点:把 2x +
π

π
看作一个整体。 看作一个整体。
6
π π

处到达最大值1。 解: f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = + 2kπ 处到达最大值 。即, 6 6 2 达到最大值1。 当 x = π + kπ (k ∈ z ) 时, f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最大值 。 6 6 π π π f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = ? + 2kπ 处达到最小值 。即, 处达到最小值-1。 6 6 2 π x = ? + kπ (k ∈ z ) 时, f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最小值 。 达到最小值-1。 当 3 6

例3

求函数f(x)=sin2x的最小正周期。 求函数f(x)=sin2x的最小正周期。 f(x)=sin2x的最小正周期

分析:本题的关键是找到满足f(x+T)=f(x)的最小正数。 分析:本题的关键是找到满足f(x+T)=f(x)的最小正数。 f(x+T)=f(x)的最小正数 解:根据诱导公式(1)得 根据诱导公式( sin(2x+2 π )=sin2x sin( 即 也就是 f(x+π )=f(x) sin2(x+π )=sin2x x ∈R x ∈R x ∈R

因此, π 是f(x)=sin2x的最小正周期。 f(x)=sin2x的最小正周期 的最小正周期。 因此,

课堂小结 正弦函数的性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性
R [-1,1] 奇

T=2kπ

最小正周期 : 2π

单调性

2 3π π ] 减 当 x ∈ [ 2 k π + ,2 k π + 2 2

当 x ∈ [2kπ ?

π
2

,2 k π +

π

] 增

最值

ymax = 1

y min = -1


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